2023年求数列通项公式方法经典全面汇总归纳.pdf

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1、求数列通项公式方法（1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 例：1 已知等差数列na满足：26,7753aaa，求na；2.已知数列na满足)1(1,211naaann，求数列na的通项公式；3.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn），求数列na的通项公式；4.已知数列na满足211,211nnaaa，求数列na的通项公式；5.设数列na满足01a且111111nnaa，求na的通项公式 6.已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。7.等比数列na的各项均为正数，且13221 aa，62239aaa，求数列na的通项公式 8.已知

2、数列na满足)1(3,211naaann，求数列na的通项公式；9.已知数列na满足2122142nnnaaaaa且，（Nn），求数列na的通项公式；10.已知数列na满足，21a且1152(5)nnnnaa（Nn），求数列na的通项公式；11.已知数列na满足，21a且115 223(5 22)nnnnaa （Nn），求数列na的通项公式；12.数列已知数列na满足111,41(1).2nnaaan则数列na的通项公式=（2）累加法 1、累加法 适用于：1()nnaaf n 若1()nnaaf n(2)n，则 21321(1)(2)()nnaafaafaaf n 两边分别相加得 111()n

3、nkaaf n 例：1.已知数列na满足141,21211naaann，求数列na的通项公式。2.已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。3.已知数列na满足112 313nnnaaa ，求数列na的通项公式。4.设数列na满足21a，12123nnnaa，求数列na的通项公式 （3）累乘法 适用于：1()nnaf n a 若1()nnaf na，则31212(1)(2)()nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111()nnkaaf ka 例：1.已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。2.已知数列na满足321a，nnanna11

4、，求na。3.已知31a，nnanna23131)1(n，求na。（4）待定系数法 适用于1()nnaqaf n 解题基本步骤：1、确定()f n 2、设等比数列1()naf n，公比为 3、列出关系式)()1(1211nfanfann 4、比较系数求1，2 5、解得数列1()naf n的通项公式 6、解得数列na的通项公式 例：1.已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。2.（2006，重庆,文,14）在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_ 3.（2006.福 建.理22.本 小 题 满 分14分）已 知 数 列na满 足*111,

5、21().nnaaanN求数列na的通项公式；4.已知数列na满足1123 56nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1152(5)nnnnaxax 5.已知数列na满足1135 241nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1123(2)nnnnaxyaxy 6.已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na 7.已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz 8.已知数列na满足11124 31nnnaaa，求数列na的通项公式。递推公式为nnnqapaa12（其中 p，q 均为常数）

6、。先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa 其中 s，t 满足qstpts 9.已知数列na满足211256,1,2nnnaaaaa，求数列na的通项公式。10.已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；11.已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na （5）递推公式中既有nS 分析：把已知关系通过11,1,2nnnS naSSn转化为数列na或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。1.（2005 北京卷）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2

7、，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 2.（2005山 东 卷）已 知 数 列na的 首 项15,a 前n项 和 为nS，且*15()nnSSnnN，证明数列1na 是等比数列 3已知数列na中，31a前n和1)1)(1(21nnanS 求证：数列na是等差数列 求数列na的通项公式 4.已知数列na的各项均为正数，且前 n 项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa，且249,aaa成等比数列，求数列na的通项公式。（6）根据条件找1n与n项关系 例 1.已知数列na中，nnaCaa1,111，若21,25nnabC，求数列nb的通项公式 2.（2009 全国卷理）在数列na中，1

8、1111,(1)2nnnnaaan （I）设nnabn，求数列nb的通项公式 （7）倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例：1.已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。（8）对无穷递推数列 消项得到第1n与n项的关系 例：1.（2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan ，求na的通项公式。2.设数列na满足211233333nnnaaaa，a*N求数列na的通项；（8）、迭代法 例：1.已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。解：因为3(1)21nn

9、nnaa，所以 1212(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)11 2(3)(323(1)2323(1)21223(2)23(1)233(2)(1)2332 3(2)(1)21 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaa 2)(1)(1)123!21 nn nnna 又15a，所以数列na的通项公式为(1)123!25n nnnna。（9）、变性转化法 1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式 例：已知数列na满足512 3nnnaa ，17a，求数列na的通项公式。解：因为5112 37nnnaaa ，所以100nnaa，。两边取常用对数得1lg5lglg3lg 2nnaan 2、换元法 适用于含根式的递推关系 例：已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令1 24nnba，则21(1)24nnab