2023年学案13 导数的概念及运算.pdf

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1、 1 第三章 导数及其应用 学案 13 导数的概念及运算 导学目标：1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念 了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数 yC(C 为常数)，yx，yx2，y1x，y x的导数熟记基本初等函数的导数公式(c，xm(m 为有理数)，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax 的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如 f(axb)的导数 自主梳理 2 1函数的平均变化率 一般地，已知函数 yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点

2、，记 x x1x0，y y1y0f(x1)f(x0)f(x0 x)f(x0)，则当 x0 时，商_ y x称作函数 yf(x)在区间x0，x0 x(或x0 x，x0)的平均变化率 2函数 yf(x)在 xx0处的导数(1)定义 函数 yf(x)在点 x0处的瞬时变化率_通常称为 f(x)在 xx0处的导数，并记作 f(x0)，即_(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是过曲线yf(x)上点(x0，f(x0)的_ 导函数 yf(x)的值域即为_ 3函数 f(x)的导函数 如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说 f(x)在开区间(a，b)内可导，其

3、导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作 f(x)的导函数，记作_ 4基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)C f(x)_ f(x)x(Q*)f(x)_(Q*)F(x)sin x f(x)_ F(x)cos x f(x)_ f(x)ax(a0，a1)f(x)_(a0，3 a1)f(x)ex f(x)_ f(x)logax(a0，a1，且x0)f(x)_(a0，a1，且 x0)f(x)ln x f(x)_ 5导数运算法则(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)f xg x_ g(x)0 6复合函数的求导法则：设函数 u(x)在点 x 处有导数 ux(x)，函数 yf

4、(u)在点x 处的对应点 u 处有导数 yuf(u)，则复合函数 yf(x)在点 x 处有导数，且 yxyu ux，或写作 fx(x)f(u)(x)自我检测 4 1在曲线 yx21 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1 x，2 y)，则 y x为 ()A x1 x2 B x1 x2 C x2 D2 x1 x 2设 yx2 ex，则 y等于 ()Ax2ex2x B2xex C(2xx2)ex D(xx2)ex 3(2010 全国)若曲线 yx12在点(a，a12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则 a 等于 ()A64 B32 C16 D8 4(2011 临汾模拟)若函数 f(

5、x)exaex的导函数是奇函数，并且曲线 yf(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是 ()Aln 22 Bln 2 C.ln 22 Dln 2 5(2009 湖北)已知函数 f(x)f(4)cos xsin x，则 f(4)_.5 探究点一 利用导数的定义求函数的导数 例1 利用导数的定义求函数的导数：6(1)f(x)1x在 x1 处的导数；(2)f(x)1x2.变式迁移 1 求函数 y x21在 x0到 x0 x 之间的平均变化率，并求出其导函数 探究点二 导数的运算 例 7 2 求下列函数的导数：(1)y(1 x)11x；(2)yln xx；(3)yxex；(4)ytan x.变式

6、迁移 2 求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)y3xex2xe；(3)yln xx21.探究点三 求复合函数的导数 8 例3(2011 莆田模拟)求下列函数的导数：(1)y(1sin x)2；(2)y11x2；(3)yln x21；(4)yxe1cos x.9 变式迁移 3 求下列函数的导数：(1)y1 13x4；(2)ysin22x3；(3)yx 1x2.探究点四 导数的几何意义 例 1 0 4 已知曲线 y13x343.(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程 变式迁移 4 求曲线 f(x)x

7、33x22x 过原点的切线方程 1 1 1准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线 yx3在其过(0,0)点的切线 y0 的两侧 2曲线的切线的求法：若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线过点 P 的切线则需分点 P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解(1)点 P(x0，y0)是切点的切线方程为 yy0f(x0)(xx0)(2)当点 P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：第一

8、步：设出切点坐标 P(x1，f(x1)；第二步：写出过 P(x1，f(x1)的切线方程为 yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1；第四步：将 x1的值代入方程 yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点 P(x0，y0)的切线方程 3求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形 1 2 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1已知函数 f(x)2ln(

9、3x)8x，则0lim x f 12 x f 1 x的值为 ()A10 B10 C20 D20 2(2011 温州调研)如图是函数 f(x)x2axb 的部分图象，则函数 g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是 ()A.14，12 B(1,2)C.12，1 D(2,3)3若曲线 yx4的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为 ()A4xy30 Bx4y50 1 3 C4xy30 Dx4y30 4(2010 辽宁)已知点 P 在曲线 y4ex1上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是 ()A.0，4 B.4，2 C.2，34 D.34，5(2011 珠海模拟)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意 x1，x2(x1x2)，|f(x2)f(x1)|0)，(2 分)又 f(x)在 x2 处的切线方程为 yxb，所以 2aln 22b，2a21，（5 分）解得 a2，b2ln 2.(7 分)(2)若函数 f(x)在(1，)上为增函数，则 f(x)xax0 在(1，)上恒成立，(10 分)即 ax2在(1，)上恒成立 所以有 a1.(14 分)