2023年兰州石化职业技术学院数学单招试卷最新版测试版附超详细解析超详细解析答案解析.pdf

《2023年兰州石化职业技术学院数学单招试卷最新版测试版附超详细解析超详细解析答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年兰州石化职业技术学院数学单招试卷最新版测试版附超详细解析超详细解析答案解析.pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 考单招上高职单招网 danzhaowang 限时：20 分钟 总分值：28 分 1(总分值 14 分)已知 f(x)2x12x2，g(x)logax(a0 且 a1)(1)过 P(0,2)作曲线 yf(x)的切线，求切线方程；(2)设 h(x)f(x)g(x)在定义域上为减函数，且其导函数 yh(x)存在零点，求实数 a 的值 解：(1)f(0)0，P(0,2)不在曲线 yf(x)上，设切点为 Q(x0，y0)，f(x)2x，kf(x0)2x0，且 y0f(x0)2x0 x202，切线方程：y2x0 x202(2x0)(xx0)，即 y(2x0)xx202，(0,2)在切线上，代入可得 x0

2、 2.切线方程为 y2 或 y4x2.(2)h(x)2x12x2logax 在(0，)递减，h(x)2x1xln a0 在 x0 时恒成立，x0，1ln a2xx2在 x0 时恒成立 x0 时，2xx2(，1，1ln a1，0ln a1，考单招上高职单招网 danzhaowang 又h(x)2x1xln a存在零点，即方程 ln a x22ln a x10 有根，4ln2a4ln a0，ln a1 或 ln a0)，圆 C2与 y 轴相切，其圆心是抛物线 C1的焦点，点 M 是抛物线 C1的准线与 x 轴的交点N 是圆 C2上的任意一点，且线段|MN|的长度的最大值为 3，直线 l 过抛物线

3、C1的焦点，与C1交于 A，D 两点，与 C2交于 B，C 两点(1)求 C1与 C2的方程；(2)是否存在直线 l，使 kOAkOBkOCkOD3 2，且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差数列，假设存在，求出所有满足条件的直线 l；假设不存在，说明理由 解：(1)当点 N 为圆 C2与 x 轴不是坐标原点的另一交点时，|MN|的长度最大，为32p，32p3p2.抛物线 C1的方程为 y24x；圆 C2的方程为(x1)2y21.(2)设直线 l 的方程为 myx1，A(x1，y1)，D(x2，y2)，B(x3，y3)，C(x4，y4)由 myx1，y24x，y24my40，考单招上高职单招

4、网 danzhaowang y1y24m，y1y24，x1x2y21y22161，kOAkODy1x1y2x2x2y1x1y2x1x2y1y2 y1y24x1x2 4 m，由 myx1，x12y21，解得 x11m1m2，y111m2，或 x21m1m2，y211m2.B1m1m2，11m2，C1m1m2，11m2，kOBkOCy3x3y4x4x3y4x4y3x3x42m，kOAkOBkOCkOD3 2，6m3 2，m22，此时直线 l：22yx1.由 22yx1，y24x，得 y22 2y40，|AD|1m2|y1y2|6，|AB|CD|2|BC|AD|3|BC|6，|AB|，|BC|，|C

5、D|成等差数列，存在直线 l，它的方程为 2xy 20.考单招上高职单招网 danzhaowang (二)限时：20 分钟 总分值：28 分 1(总分值 14 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点是(1,0)，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 P(4,0)且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，设点 A关于 x 轴的对称点为 A1.求证：直线 A1B 过 x 轴上一定点，并求出此定点坐标；求 OA1B 面积的取值范围 解：(1)易得 a2c，c1，则 b 3，所以椭圆的标准方程为x24y231.(2)证明：不妨设直

6、线方程为 l：xmy4，代入x24y231，得(3m24)y224my360.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，考单招上高职单招网 danzhaowang 则有 y1y224m3m24，(*)y1y2363m24，(*)由 A关于 x 轴的对称点为 A1，得 A1(x1，y1)，根据题设条件设定点为 Q(t,0)，得 kQBkQA1，即y2x2ty1tx1，整理得 tx1y2x2y1y1y2 4my1 y2 4my2 y1y1y242my1y2y1y2，将(*)(*)代入得 t1，则定点为 Q(1,0)由中判别式 0，解得 m2 或 m0)(1)假设 f(1)g(1)，f(1)g(1)，

7、求 F(x)f(x)g(x)的极小值；(2)在(1)的条件下，是否存在实常数 k 和 m，使得 f(x)kxm 和 g(x)kxm？假设存在，求出 k和 m 的值假设不存在，说明理由；考单招上高职单招网 danzhaowang (3)设 G(x)f(x)2g(x)有两个零点 x1，x2，且 x1，x0，x2成等差数列，试探究G(x0)值的符号 解：(1)由 f 1 g 1，f 1 g 1 b1，ab2 a1，b1.F(x)f(x)g(x)x2ln xx，利用导数的方法求得 F(x)的极小值为 F(1)0.(2)因为 f(x)与 g(x)有一个公共点(1,1)，而函数 f(x)x2在点(1,1)

8、的切线方程为 y2x1，下面验证：f x 2x1，g x 2x1，都成立 由于 x2(2x1)(x1)20，知 f(x)2x1 恒成立；设 h(x)g(x)(2x1)ln xx1，h(x)1x11xx，由 h(x)0 得 x1.在(0,1)上，h(x)0，h(x)单调递增；在(1，)上，h(x)0，h(x)单调递减 又因为 h(x)在 x1 处连续，所以 h(x)h(1)0，所以 g(x)2x1.故存在 k和 m，使得 f(x)kxm，g(x)kxm，且 k2，m1.考单招上高职单招网 danzhaowang (3)g(x0)的符号为正，因为 G(x)x22aln xbx 有两个零点 x1，x

9、2，则有 x212aln x1bx10，x222aln x2bx20，得 x22x21a(ln x2ln x1)b(x2x1)0，即 x2x1ba ln x2ln x1x2x1.于是 G(x0)2x0ax0b(x1x2b)2ax1x2 a ln x2ln x1x2x12ax1x2 ax2x1lnx2x12x2x11x2x11.当 0 x11，G(x0)ax2x1ln t2t2t1.设 u(t)ln t2t2t1，则 u(t)1t2t 1t20，所以 u(t)在(1，)上为单调增函数，而 u(1)0，所以 u(t)0，又因 a0，x2x10，所以 G(x0)0，同理，当 0 x20，综上所述，G(x0)的符号为正 考单招上高职单招网 danzhaowang