2023年两角差的余弦公式精品讲义1.pdf

《2023年两角差的余弦公式精品讲义1.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年两角差的余弦公式精品讲义1.pdf（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备 欢迎下载“两角差的余弦公式”教学设计 一、教学内容解析 三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材两角差的余弦公式是三角恒等变换这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点 由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中一个公式的基础上，通过角的变换得到另一个公式 我们可以用“随机、自然进入”的方式选择其中的一个作为突破口 教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力 教材

2、没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果这样的安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、思维发展 由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析、处理问题，寻找解决问题的思路 二、教学目标解析 1知识与技能目标 通过两角差的余弦公式的探究及简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能。并为建立其他和（差）角公式打好基础。2过程与方法目标 通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的

3、观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。3情感、态度与价值观目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程。体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识、努力分析问题、解决问题的激情 三、教学重点、难点分析 重点：两角差的余弦公式的推导与运用 难点：两角差余弦公式的推导过程 四、教学问题诊断分析 学习必备 欢迎下载 1按常规，学生很可能想到先探究两角和的正弦公式，怎样想到先研究两角差的余弦公式是一个难点(但非重点)，教学时可以直接提出研究两角差的余弦公式，但这样探究会显得预设太多，而生成不足，也不够自然，不利于学生思维的发展 2两角和正弦余弦公式的猜想与发现也

4、是一个难点因为学生可能不明白为什么要添辅助线和如何添辅助线，也不会想到用“割补法”求正弦线、余弦线 3尽管教材在前面的习题中，已经为用向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到 教师需要在引导学生仔细观察 cos(+）=coscossinsin或cos(）=coscos+sinsin的构成要素和结构特征的基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力使数学思维显得自然、合理 4用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量的夹角的联系与区别 四、教学支持条件分析 1学生认知基础：学生对用举反例推翻

5、猜想、以退求进、单位圆、割补法、用向量解决三角问题已经有一定的基础，但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明两角差余弦公式的水平 2教学设备：整节课借助多媒体进行辅助教学，但关键的探究过程和推理过程要借助黑板在当、+都是锐角时得到两角和的正弦、余弦公式后，设计多媒体软件取任意角进行验证 五、教学过程设计 (一)提出问题 将教材上的实际问题情境作两点修改：1：令角度=15o 2：将求塔高改为求“斜边”的长度 这样问题的最终解决就落在了求cos15o的值上，而我们在初中时就知道 2cos 452，3cos302，由此我们能否得到cos15cos 4530?大家可以猜想，是不是等于cos 45co

6、s30 下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos?角恒等变换这一章的基础和出发点公式的发现和证明是本节课的重点也作为突破口教材选择两角差的余弦公式作为基础其基本出发点是使公式明结果两步进行探究并从简单情况入手得出结果这样的安排不仅使探究学习必备 欢迎下载 (二)探究问题 1明确探究的思路与步骤 问题 2：我们应该用怎样的思路和方法进行探究？学生可能会说：把探究分为两个步骤，一是探求表示结果；二是对结果的正确性加以证明 设计意图引导学生搞清楚探究的大背景、大思路，学会从宏观到微观、理性地、有条理地思考和探究问题，避免盲目性 2猜想结果 问题 3：同学们第一反应这个结果可能是什么？如果有学生提出s

7、in()sinsin，cos(+)=cos+cos，则引导学生取特殊值进行验证，同时分析错误的原因：正弦、余弦函数名与角之间并不是相乘关系，因此类比乘法分配律在思维方法上是错误的 设计意图让学生体验如何用反例进行反驳，同时搞清错误的原因，避免以后犯类似的错误 问题 4：怎样用、的三角函数来表示 cos(-)?利用 OMOBBMOBCP 设计意图让学生感受如何化陌生问题为熟悉问题，如何通过作辅助线，用“割补法”角恒等变换这一章的基础和出发点公式的发现和证明是本节课的重点也作为突破口教材选择两角差的余弦公式作为基础其基本出发点是使公式明结果两步进行探究并从简单情况入手得出结果这样的安排不仅使探究学

8、习必备 欢迎下载 寻找量与量之间的联系 问题 5：那上面两个式子是否对任意角、都成立呢？引导学生再用非锐角的特殊角或任意角进行验证，而教师借助事先设计的多媒体软件，由学生提出任意角进行验证 3证明结果 问题 6：数学结论必须经过严格的逻辑证明现在初步结果已经出来，目标和方向已经明确 请大家仔细观察上面两式的构成要素和结构特征，看看从中会得到什么样的启发？产生怎样的联想？或有什么新的发现？设 计 意 图 让 学 生 通 过 观 察，联 想 到,终 边 与 单 位 圆 的 交 点 分 别 为A(cos,sin),B(cos,sin),同时发现的右边与向量数量积公式的坐标表示十分相近，进而联想到=这

9、样有助于强化“为什么想到”和“怎样想到”，凸显数学思维的自然性与合理性，并突破思维难点，同时再现“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”这种真实的探究过程 问题 7：如何证明？设计意图引导学生关注两个向量的夹角与是的联系与区别，并通过观察和讨论搞清楚，增强学生用数形结合、分类讨论的方法解决问题的意识，感受数学思维的严谨性 角恒等变换这一章的基础和出发点公式的发现和证明是本节课的重点也作为突破口教材选择两角差的余弦公式作为基础其基本出发点是使公式明结果两步进行探究并从简单情况入手得出结果这样的安排不仅使探究学习必备 欢迎下载 问题 8：刚才我们经历了完整、曲折的探索过程，回顾来看，大家有什么启发和感悟

10、？教材为什么要先提出求 cos(-)？设计意图引导学生从探究思路、数学思想方法、所用到的数学知识等方面进行回顾与反思，强化学生的思维发展，突出向量的工具价值 问题 9：两角差的余弦公式有什么特点：引导学生总结公式的特点：左边是两角差的余弦，右边同名三角函数的积的和 (三)巩固应用 例 1 利用差角余弦公式求 cos15的值 引导学生用 15=45-30，和 15=60-45 两种方法求解 巩固练习 求值：(1)cos15cos105+sin15sin105=(2)cos(+21)cos(-24)+sin(+21)sin(-24)=例 2 已知是第三象限角，求 cos(-)的值 设计说明如果学生

11、基础比较好，这两个例题可以让学生独立完成同时在完成例 2 后提出，如果去掉这一条件，又该怎么办？角恒等变换这一章的基础和出发点公式的发现和证明是本节课的重点也作为突破口教材选择两角差的余弦公式作为基础其基本出发点是使公式明结果两步进行探究并从简单情况入手得出结果这样的安排不仅使探究学习必备 欢迎下载 (四)回顾小结 1学生小结：引导学生从学到了什么知识、怎么获得这些知识和有什么感悟与体会三方面进行小结。2教师小结：本节课的重难点。(五)课外作业：1教材习题第 2，3，4 题中试根据自己的情况选做 2 题 2试自主探究公式，并加以证明 角恒等变换这一章的基础和出发点公式的发现和证明是本节课的重点也作为突破口教材选择两角差的余弦公式作为基础其基本出发点是使公式明结果两步进行探究并从简单情况入手得出结果这样的安排不仅使探究