2023年常微分课后超详细解析超详细解析答案解析第二章.pdf

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1、常微分课后答案解析第二章 第一章 绪论 1、1 微分方程:某些物理过程的数学模型 1、2 基本概念 习题 1、2 1.指出下面微分方程的阶数,并回答方程就是否线性的:(1)yxdxdy24;(2)012222xydxdydxyd;(3)0322ydxdyxdxdy;(4)xxydxdydxydxsin3522;(5)02cosxydxdy;(6)xedxydy22sin.解 (1)一阶线性微分方程;(2)二阶非线性微分方程;(3)一阶非线性微分方程;(4)二阶线性微分方程;(5)一阶非线性微分方程;(6)二阶非线性微分方程.2.试验证下面函数均为方程0222ydxyd的解,这里0就是常数.(1

2、)xycos;(2)11(cosCxCy就是任意常数);(3)xysin;(4)22(sinCxCy就是任意常数);(5)2121,(sincosCCxCxCy就是任意常数);(6)BABxAy,()sin(就是任意常数).解 (1)yxdxydxdxdy2222cos,sin,所以0222ydxyd,故常微分课后答案解析第二章 xycos为方程的解.(2)yxCyxCy2211cos,sin,所 以0222ydxyd,故xCycos1为方程的解.(3)yxdxydxdxdy2222sin,cos,所 以0222ydxyd,故xysin为方程的解.(4)yxCyxCy2222sin,cos,所

3、 以0222ydxyd,故xCysin2为方程的解.(5)yxCxCyxCxCy2222121sincos,cossin,所以0222ydxyd,故xCxCysincos21为方程的解.(6)yBxAyBxAy22)sin(,)cos(,故0222ydxyd,因此)sin(BxAy为方程的解.3.验证下列各函数就是相应微分方程的解:(1)xxysin,xyyxcos;(2)212xCy,xxyyx2)1(2(C就是任意常数);(3)xCey,02yyy(C就是任意常数);(4)xey,xxxeyeyey2212;(5)xysin,0cossinsin222xxxyyy;(6)xy1,1222x

4、yyxyx;(7)12xy,xyxyy2)1(22;(8)()(xfxgy,)()()()(2xfxgyxgxfy.常微分课后答案解析第二章 证明 (1)因为2sincosxxxxy,所以xxxxxxxyyxcossinsincos.(2)由于21xCxy,故 xxCxxCxxxyyx2)12(1)1()1(2222.(3)由于xCey,xCey,于就是022xxxCeCeCeyyy.(4)由xey,因此xxxxxxxxeeeeeeyeyey22212)(2.(5)因为xycos,所以 0cossinsinsin2sincoscossinsin22222xxxxxxxxxyyy.(6)从21x

5、y,得1111122222xyyxxxxxyx.(7)由xy2,得到 xyxyxxxxxy2)1(2)1)(1()1(2222222.(8)()()()()()()()()()()()()()()(222xfxgyxgxfxfxgxfxgxgxfxfxgxfxgxfy.4.给定一阶微分方程xdxdy2,(1)求出它的通解;(2)求通过点)4,1(的特解;(3)求出与直线32 xy相切的解;(4)求出满足条件210ydx的解;(5)绘出(2),(3),(4)中的解的图形.解 (1)通解 Cxxdxy22.(2)由41xy,得到3C,所以过点)4,1(的特解为32xy.(3)这时122xx,切点坐

6、标为)5,1(,由51xy,得到4C,所以与直线32 xy相切的解为42xy.常微分课后答案解析第二章(4)由231)31()(10310210CCxxdxCxydx,得到35C,故满足条件210ydx的解为352xy.(5)如图 1-1 所示.-3-2-1123x24681012y 图 1-1 5.求下列两个微分方程的公共解:(1)422xxyy;(2)2422yyxxxy.解 公共解必须满足2424222yyxxxxxy,即 022242xyxy,得到2xy 或212 xy就是微分方程422xxyy与2422yyxxxy的公共解.6.求微分方程02yyxy的直线积分曲线.解 设直线积分曲线

7、为0CByAx,两边对x求导得,0 yBA,若0B,则0A,得到0C,不可能.故必有0B,则BAy,代入原方程有 02BCxBABAxBA,或0)(22BABCxBABA,常微分课后答案解析第二章 所以,0,022BABCBABA,得到 0,0CA或BCA.所求直线积分曲线为0y与1xy.7.微分方程32224xyyyx,证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线,也就是此微分方程的积分曲线.证明 设0),(yxF就是微分方程32224xyyyx的积分曲线,则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线就是0),(yxF.由于0),(yxF适合微分方程32224xyyyx,故3222)

8、,(),(4xyyyxFyxFxyx,分别以yx ,代yx,亦有 3222)()(),(),()(4yxyyxFyxFxyx,而由0),(yxF,得到),(),(yxFyxFyyx,从而0),(yxF也就是此微分方程的积分曲线.8.物体在空气中的冷却速度与物体与空气的温差成比例,如果物体在 20 分钟内由100C 冷至60C,那么,在多久的时间内,这个物体的温度达到30C？假设空气的温度为20C.解 设物体在时刻t的温度为)(tuu,20au,微分方程为)(auukdtdu,解得ktaCeuu,根据初始条件10000uut,得800auuC,因此 ktaaeuuuu)(0,根据60,201uu

9、t,得到kaaeuuuu2001)(,由此202lnln20110aauuuuk,所以得到teu202ln8020,当30u时,解出60t(分钟)1(小时).在 1 小时的时间内,这个物体的温度达到30C.9.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程:(1)曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为;常微分课后答案解析第二章(2)曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l;(3)曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a;(4)曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分;(5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方;(6)曲线上任一点的切线的纵截距就是

10、切点的横坐标与纵坐标的等差中项;(7)曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比.(提示:过点),(yxd 的横截距与纵截距分别为yyx与yxy).解 (1)曲线上任一点为),(yx,则xyyxyy1tan,即tantanyxxyy.(2)曲线上任一点),(yx处的切线方程为yyxYXy,与两坐标轴交点为),0(yxy与)0,(yyyx,两点间距离为lyxyyyyx22)(,即 222)()(lyxyyyx.(3)由(2),有 221ayxyyyyx,或yayyx222)(.(4)由(2),有 2yxyy,或0 yyx.(5)由(2),2xyxy.(6)同样由(2),2yxyxy,或xyxy 2.(7)易得kxy (k为常数且0k).