2023年普通高等学校招生全国统一测验考试全国I卷理科数学及超详细解析超详细解析答案解析.pdf

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1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）理科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合131xAx xBx，则（）A0IABx x BAB RU C1UABx x DAB I【答案】A【解析】1Ax x，310 xBx

2、x x 0ABx xI，1ABx xU，选 A 2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A14 B8 C12 D4【答案】B【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1 则正方形的面积为2 24，圆的面积为2 1，图中黑色部分的概率为2 则此点取自黑色部分的概率为248 故选 B 3.设有下面四个命题（）1p：若复数z满足1zR，则zR；2p：若复数z满足2z R，则zR；3p：若复数12zz，满足12z z R，则12zz；4p：若复数zR，则zR A13pp，B14pp

3、，C23pp，D24pp，【答案】B【解析】1:p设zabi，则2211abizabiabR，得到0b，所以zR.故1P正确；2:p若z 21，满足2z R，而zi，不满足2z R，故2p不正确；3:p若1z1，2z2，则12z z2，满足12z z R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p不正确；4:p实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p正确；4.记nS为等差数列na的前n项和，若4562448aaS，则na的公差为（）A1 B2 C4 D8【答案】C【解析】45113424aaadad 616 56482Sad 联立求得11272461548adad 3 得21 1

4、524d 624d 4d 选 C 5.函数 f x在 ，单调递减，且为奇函数若 11f，则满足121f x的x的取值范围是（）A22，B1 1，C 04，D 13，【答案】D【解析】因为 f x为奇函数，所以 111ff ，于是121f x等价于 121ff xf|又 f x在 ，单调递减 标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析1

5、2 1x 3x1 故选 D 6.62111xx展开式中2x的系数为 A15 B20 C30 D35【答案】C.【解析】66622111+11 11xxxxx 对 61x的2x项系数为2665C152 对 6211xx 的2x项系数为46C=15，2x的系数为15 1530 故选 C 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为 A10 B12 C14 D16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图 该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 24226S 梯 6212S 全

6、梯 故选 B 标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析 8.右面程序框图是为了求出满足321000nn的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A1000A和1nn B1000A和2nn C1000A和1nn D1000A和2nn 【答案】D【答案】因为要求A大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出“”中不能输入A10

7、00 排除 A、B 又要求n为偶数，且n初始值为 0，“”中n依次加 2 可保证其为偶 故选 D 9.已知曲线1:cosCyx，22:sin 23Cyx，则下面结论正确的是（）A把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线2C B把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2C C把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线2C D把1C上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2C【答案】D

8、标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析【解析】1:cosCyx，22:sin 23Cyx 首先曲线1C、2C统一为一三角函数名，可将1:cosCyx用诱导公式处理 coscossin222 yxxx横坐标变换需将1变成2，即112sinsin 2sin2224 C 上各坐短它原yxyxx点横标缩来 2sin 2sin233 yxx

9、 注意的系数，在右平移需将2提到括号外面，这时4x平移至3x，根据“左加右减”原则，“4x”到“3x”需加上12，即再向左平移12 10.已知F为抛物线C：24yx的交点，过F作两条互相垂直1l，2l，直线1l与C交于A、B两点，直线2l与C交于D，E两点，ABDE的最小值为（）A16 B14 C12 D10【答案】A【解析】设AB倾斜角为作1AK垂直准线，2AK垂直x轴 易知11cos22 AFGFAKAKAFPPGPP（几何关系）（抛物线特性）cosAFPAF 同理1cosPAF，1cosPBF 22221cossinPPAB 又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为2 标号回答非选择题时将答案

10、写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析2222cossin2PPDE 而24yx，即2P 22112sincosABDEP2222sincos4sincos224sincos241sin 24 21616sin 2，当4取等号 即ABDE最小值为16，故选 A 11.设x，y，z为正数，且235xyz，则（）A235xyz B523zxy C352yzx

11、 D325yxz【答案】D【答案】取对数：ln2ln3ln5xy.ln33ln22xy 23xy ln2ln5xz 则ln55ln22xz 25xz325yxz，故选 D 12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N：100N 且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是（）A440 B

12、330 C220 D110【答案】A【解析】设首项为第 1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第 3 组，以此类推 设第n组的项数为n，则n组的项数和为 12nn 由题，100N，令 11002nn14n且*nN，即N出现在第 13 组之后 第n组的和为122112nn n组总共的和为 2 122212nnnn 标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则

13、若复数满足则若复数则答案解析若要使前N项和为 2 的整数幂，则 12nnN项的和21k应与2n 互为相反数 即*21214kn kn N，2log3kn 295nk，则2912954402N 故选 A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知向量ar，br的夹角为60，2a r，1b r，则2abrr_【答案】2 3【解析】22222(2)22cos602ababaabb rrrrrruu rr221222222 444 12 2122 3abruu r 14.设x，y满足约束条件21210 xyxyxy ，则32zxy的最小值为_【答案】5 不等式组21210

14、xyxyxy 表示的平面区域如图所示 yx2x+y+1=0 x+2y-1=01CBA 由32zxy得322zyx，求z的最小值，即求直线322zyx的纵截距的最大值 当直线322zyx过图中点A时，纵截距最大 标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析由2121xyxy 解得A点坐标为(1,1)，此时3(1)2 15z 15.已知双曲

15、线2222:xyCab，（0a，0b）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若60MAN，则C的离心率为_【答案】2 33【解析】如图，OAa，ANAMb 60MAN，32APb，222234OPOAPAab 2232tan34bAPOPab 又tanba，223234bbaab，解得223ab 2212 31133bea 16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，D、E、F为元O上的点，DBC，ECA，FAB分别是一BC，CA，AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，

16、ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm）的最大值为_ 标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析【答案】4 15【解析】由题，连接OD，交BC与点G，由题，ODBC 36OGBC，即OG的长度与BC的长度或成正比 设OGx，则2 3BCx，5DGx 三棱锥的高222251025

17、10hDGOGxxxx 212 3 33 32ABCSxx 则21325103ABCVShxx45=32510 xx 令 452510f xxx，5(0,)2x，3410050fxxx 令 0fx，即4320 xx，2x 则 280f xf 则38045V 体积最大值为34 15cm 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为23sinaA（1）求sinsinBC；（2）若6cosco

18、s1BC，3a，求ABC的周长【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）ABC面积23sinaSA.且1sin2SbcA 21sin3sin2abcAA 标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析223sin2abcA 由正弦定理得223sinsinsinsin2ABCA，由sin0A得2si

19、nsin3BC.（2）由（1）得2sinsin3BC，1coscos6BC ABC 1coscos cossinsinCcoscos2ABCBCBBC 又 0A，60A，3sin2A，1cos2A 由余弦定理得2229abcbc 由正弦定理得sinsinabBA，sinsinacCA 22sinsin8sinabcBCA 由得33bc 333abc ，即ABC周长为333 标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部

20、分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析 18.（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD中，且90BAPCDP （1）证明：平面PAB 平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，求二面角APBC的余弦值【解析】（1）证明：90BAPCDP PAAB，PDCD 又ABCD，PDAB 又PDPAPI，PD、PA 平面PAD AB 平面PAD，又AB平面PAB 平面PAB 平面PAD（2）取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE ABCD 四边形ABCD为平行四边形 OEAB 由（1）知，AB 平面PAD OE 平面PAD，又PO、AD 平面

21、PAD OEPO，OEAD 又PAPD，POAD PO、OE、AD两两垂直 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 设2PA，0 02D，、220B，、002P，、2 02C，022PD uuu r，、222PB uuu r，、2 2 0 0BC uuu r，设nxyzr,为平面PBC的法向量 由00n PBn BCr uuu rr uuu r，得22202 20 xyzx 令1y，则2z，0 x，可得平面PBC的一个法向量012n r,90APD，PDPA 又知AB 平面PAD，PD 平面PAD PDAB，又PAABAI PD 平面PAB 标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写

22、在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析即PDuuu r是平面PAB的一个法向量，022PD uuu r,23cos32 3PD nPDnPDn uuu r ruuu rruuu rr,由图知二面角A PBC为钝角，所以它的余弦值为33 19.（12 分）为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据

23、长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2N，（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在33，之外的零件数，求1P X 及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在33，之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：（II）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.9

24、5 经计算得1619.97iixx，16162221111160.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1216i L，用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除 33，之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量Z服从正态分布2N，,则330.997 4PZ 160.997 40.9592，0.0080.09 【解析】（1）由题可知尺寸落在33，之内的概率为0.9974，落在33，之外的概率为0.0026 0016160C10.99740.99740.9592P X 11010.9

25、5920.0408P XP X 由题可知160.0026XB，160.00260.0416E X（2）（i）尺寸落在33，之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在33，之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理（ii）39.973 0.2129.334 标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析 39.973 0.2121

26、0.606 339.33410.606，9.229.33410.606Q，需对当天的生产过程检查 因此剔除9.22 剔除数据之后：9.97169.2210.0215 2222222222222222 9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.01 10.029.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.91 10.02110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02150.008 0.0080.09 20.（12 分）已知椭圆C：22221xyab0ab，四点 111P，

27、201P，3312P，4312P，中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；（2）设直线l不经过2P点且与C相交于A、B两点，若直线2P A与直线2P B的斜率的和为1，证明：l过定点【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P、4P 又4P横坐标为 1，椭圆必不过1P，所以过234PPP，三点 将 2330112PP，代入椭圆方程得 222113141bab，解得24a，21b 椭圆C的方程为：2214xy（2）当斜率不存在时，设:AAl xmA myB my，221121AAP AP Byykkmmm 得2m，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足 当斜率存在时，设1lykxb b 1122A

28、 xyB xy，标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析联立22440ykxbxy，整理得222148440kxkbxb 122814kbxxk，21224414bxxk 则22121211P AP Byykkxx21212112xkxbxxkxbxx x 222228888144414kbkkbkbkbk 811411k bbb，

29、又1b 21bk ，此时64k ，存在k使得0成立 直线l的方程为21ykxk 当2x 时，1y 所以l过定点21，21.（12 分）已知函数 2e2 exxf xaax（1）讨论 fx的单调性；（2）若 fx有两个零点，求a的取值范围【解析】（1）由于 2e2 exxf xaax 故 22 e2 e1e12e1xxxxfxaaa 当0a 时，e10 xa，2e10 x 从而 0fx恒成立 fx在R上单调递减 当0a 时，令 0fx，从而e10 xa，得lnxa x ln a，lna ln a，fx 0 fx 单调减 极小值 单调增 综上，当0a 时，()f x在R上单调递减；当0a 时，()

30、f x在(,ln)a 上单调递减，在(ln,)a上单调递增（2）由（1）知，当0a 时，fx在R上单调减，故 fx在R上至多一个零点，不满足条件 当0a 时，min1ln1lnffaaa 令 11lng aaa 标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析令 11ln0g aa aa ，则 2110gaaa 从而 g a在0，上单调增，

31、而 10g故当01a 时，0g a 当1a 时0g a 当1a 时0g a 若1a，则 min11ln0fag aa ，故 0fx 恒成立，从而 fx无零点，不满足条件 若1a，则min11ln0faa ，故 0fx 仅有一个实根ln0 xa，不满足条件 若01a，则min11ln0faa ，注意到ln0a22110eeeaaf 故 fx在1ln a，上有一个实根，而又31ln1lnlnaaa 且33ln1ln133ln(1)ee2ln1aafaaaa 3333132ln11ln10aaaaaa 故 fx在3lnln1aa，上有一个实根 又 fx在ln a，上单调减，在ln a，单调增，故 f

32、x在R上至多两个实根 又 fx在1ln a，及3lnln1aa，上均至少有一个实数根，故 fx在R上恰有两个实根 综上，01a （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参考方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cossinxy，（为参数），直线l的参数方程为41xatyt ，（t为参数）（1）若1a ，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a【解析】（1）1a 时，直线l的方程为430 xy 曲线C的标准方程是2219xy，标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上

33、无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析联立方程2243019xyxy，解得：30 xy或21252425xy，则C与l交点坐标是30，和21242525，（2）直线l一般式方程是440 xya 设曲线C上点3cossinp，则P到l距离5sin43cos4sin41717aad ，其中3tan4 依题意得：17maxd，解得16a 或8a 标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写

34、在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2411f xxaxg xxx ，（1）当1a 时，求不等式 f xg x的解集；（2）若不等式 f xg x的解集包含1 1，求a的取值范围【解析】（1）当1a 时，24fxxx ，是开口向下，对称轴12x 的二次函数 211121121xxg xxxxx ，x，当(1,)x时，令24

35、2xxx ，解得1712x g x在1，上单调递增，f x在1，上单调递减 此时 f xg x解集为17112，当1 1x，时，2g x，12f xf 当1x ，时，g x单调递减，f x单调递增，且 112gf 综上所述，f xg x解集17112，（2）依题意得：242xax 在1 1，恒成立 即220 xax 在1 1，恒成立 则只须 2211201120aa ，解出：11a 故a取值范围是1 1，标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一选择题本题共小形来自中国古代的太极图正方形内圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点则率为则此点取自黑色部分的概率为故选设有下面四个命题若复数满足则若复数满足则若复数满足则若复数则答案解析