2023年人教版初三数学二次函数知识点总结归纳全面汇总归纳及经典习题含超详细解析答案1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 二次函数 一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数 2.二次函数2yaxbxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2yax的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.2yaxc的性质：上加下减。3.2ya xh的性质：左加右减。4.2ya xhk的性质：a的符号 开口方

2、向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值0 0a 向下 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值c 0a 向下 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h，X=h xh

3、时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0 0a 向下 0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0 学习必备 欢迎下载 三、二次函数图象的平移 1.平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式 2ya xhk，确定其顶点坐标hk，；保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移

4、，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”四、二次函数 2ya xhk与2yaxbxc的比较 从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，六、二次函数2yaxbxc的性质 1.当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y有最小值244acba 2.当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，

5、a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a 向下 hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k 是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数增大而减小时有最小值向下轴时随的增大而减小时随的增大而增大时有时有最大值的性质左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时学习必备 欢迎下载 y随x的增大而增大；当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y有最大值244acba 七、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2

6、yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a）；3.两根式（交点式）：12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a 当0a 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当0a 时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口

7、越大 2.一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴（同左异右 b 为 0 对称轴为 y 轴）3.常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当0c 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc 是二次函数2yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当240bac时

8、，图象与x轴交于两点 1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca 的两根.当0时，图象与x轴只有一个交点；当0时，图象与x轴没有交点.1当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2当0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2.抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数增大而减小时有最小值向下轴时随的增大而减小时随的增大而增大时有时有最大值的性质左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时学习必备 欢迎下载 二次函数对应练习试题 一、

9、选择题 1.二次函数247yxx的顶点坐标是()A.(2,11)B.（2，7）C.（2，11）D.（2，3）2.把抛物线22yx 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A.22(1)yx B.22(1)yx C.221yx D.221yx 3.函数2ykxk和(0)kykx在同一直角坐标系中图象可能是图中的()4.已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示,则下列结论:a,b 同号;当1x 和3x 时,函数值相等;40ab 当2y 时,x的值只能取 0.其中正确的个数是()A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知二次函数2(0)yaxbxc a的顶点坐标（-1，-3.2）及

10、部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程20axbxc 的两个根分别是121.3xx和（）.B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6.已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点(,)ac bc在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D 第四象限 7.方程222xxx的正根的个数为（）A.0 个 B.1个 C.2个.3 个 8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为 A.22yxx B.22yxx C.22yxx 或22yxx D.22yxx 或22yxx 二、填空题 9二次函数23yxbx的对称轴是2x，则b _。

11、是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数增大而减小时有最小值向下轴时随的增大而减小时随的增大而增大时有时有最大值的性质左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时学习必备 欢迎下载 10已知抛物线 y=-2（x+3）+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是_.11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2），当x0 时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。12抛物线22(2)6yx的顶点为 C，已知直线3ykx 过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13.二次函数2241yxx的图象是由22yx

12、bxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则 b=,c=。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB上离中心 M处 5 米的地方，桥的高度是(取 3.14).三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是30 x,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,52).(1)求这个二次函数的解析式;(2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?(3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随 x 的增大而增大?16.某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式2012hv tgt（0t2），其中重力加速度 g 以 10

13、 米/秒2计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？（2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.第 15 题图 是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数增大而减小时有最小值向下轴时随的增大而减小时随的增大而增大时有时有最大值的性质左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时学习必备 欢迎下载 17.如图，抛物线2yxbxc经过直线3yx 与坐标轴的两个交点 A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点

14、 P为抛物线上的一个动点，求使APCS：ACDS5：4 的点 P的坐标。18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为 260 元时，月销售量为45 吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元）（1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x

15、的取值范围）；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由 是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数增大而减小时有最小值向下轴时随的增大而减小时随的增大而增大时有时有最大值的性质左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时学习必备 欢迎下载 二次函数应用题训练 1、心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（分）之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0 x30).（1）当 x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当 x 在什么范围内时，学生的接受能力逐

16、步减弱？（2）第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？2、如图,已知ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB、AC 上.问矩形 DEFG 的最大面积是多少?FEBGDCA 3、如图,ABC 中,B=90,AB=6cm,BC=12cm.点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以每秒1cm 的速度移动;点 Q 从点 B 开始,沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动.如果 P,Q 同时出发,问经过几秒钟PBQ 的面积最大?

17、最大面积是多少?BQCPA 是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数增大而减小时有最小值向下轴时随的增大而减小时随的增大而增大时有时有最大值的性质左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时学习必备 欢迎下载 4、如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.4 m

18、(0,3.5)3.05 mx yO 5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m？(2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x 6、某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价 x(元)满足关系：m=1402x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的

19、销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数增大而减小时有最小值向下轴时随的增大而减小时随的增大而增大时有时有最大值的性质左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时学习必备 欢迎下载 二次函数对应练习试题参考答案 一，选择题、1A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 二、填空题、9 4b 10 x-3 11 如224,24yxyx 等（答案不唯一）121 13-8 7 1415 三、解答题 15(1)设抛物线的解析式为2bxcyax,由题意可得 解得15,3,22abc 所以215322yxx

20、 (2)1x 或-5 (2)3x 16（1）由已知得，211520102tt ，解得123,1tt当3t 时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米（2）由题意得，2520htt 25(2)20t，可知顶点的横坐标2t，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升 17（1）直线3yx 与坐标轴的交点 A（3，0），B（0，3）则9303bcc 解得23bc 所以此抛物线解析式为223yxx（2）抛物线的顶点 D（1，4），与x轴的另一个交点C（1，0）.设 P2(,23)a aa，则211(423):(4 4)5:422aa .化简得22

21、35aa 当223aa0 时，2235aa 得4,2aa P（4，5）或 P（2，5）当223aa0 时，2235aa 即2220aa，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（2，5）18（1）5.71024026045=60（吨）（2）260(100)(457.5)10 xyx，化简得：23315240004yxx （3）24000315432xxy23(210)90754x 红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元 （4）我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额)5.71026045(xxW23(160)192

22、004x 来说，当 x 为 160 元时，月销售额 W最大当 x为 210 元时，月销售额 W不是最大小静说的不对 方法二：当月利润最大时，x 为 210 元，此时，月销售额为 17325 元；而当 x 为 200 元时，月销售额为 18000 元1732518000，当月利润最大时，月销售额 W不是最大小静说的不对 32652baabcc 是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数增大而减小时有最小值向下轴时随的增大而减小时随的增大而增大时有时有最大值的性质左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时学习必备 欢迎下载 二次函数应用题训练参考答案 1、（1）0 x13，

23、13x30；（2）59；（3）13.2、过 A 作 AMBC 于 M,交 DG 于 N,则 AM=222012=16cm.设 DE=xcm,S 矩形=ycm2,则由ADGABC,故ANDGAMBC,即161624xDG,故DG=32(16-x).y=DGDE=32(16-x)x=-32(x2-16x)=-32(x-8)2+96,从而当 x=8 时,y 有最大值 96.即矩形DEFG 的最大面积是 96cm2.3、设第 t 秒时,PBQ 的面积为 ycm2.则AP=tcm,PB=(6-t)cm;又BQ=2t.y=12PBBQ=12(6-t)2t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)2+9,当

24、 t=3 时,y 有最大值 9.故第 3 秒钟时PBQ 的面积最大,最大值是 9cm2.4、解：(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).5.3,0,2.0,5.15.105.3,5.3,022cbacbacab得 抛物线的表达式为y=0.2x2+3.5.(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为 h+1.8+0.25=(h+2.05)m,h+2.05=0.2(2.5)2+3.5,h=0.2(m).5、解：(1)依题意得 鸡场面积 y=.350312xx y=31x2+350 x=31(x250 x)=31(

25、x25)2+3625,当 x=25 时，y最大=3625,即鸡场的长度为25 m 时，其面积最大为3625m2.(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为nx50m.y=nx50 x=n1x2+n50 x=n1(x250 x)=n1(x25)2+n625,当 x=25 时，y最大=n625,即鸡场的长度为25 m 时，鸡场面积为n625 m2.结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是 25 m.6、解：(1)y=2x2+180 x2800.(2)y=2x2+180 x2800=2(x290 x)2800=2(x45)2+1250.当 x=45 时，y最大=1250.每件商品售价定为45 元最合适，此销售利润最大，为1250 元.是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一次项系数增大而减小时有最小值向下轴时随的增大而减小时随的增大而增大时有时有最大值的性质左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时