2023年抛物线及其性质知识点归纳总结大全和经典例题及解析.pdf

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1、 1 抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】1抛物线定义：平面内到一定点 F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线 2抛物线四种标准方程的几何性质：图形 参数 p 几何意义 参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 22(0)ypx p 22(0)ypx p 22(0)xpy p 22(0)xpy p 焦 点位 置 X正 X负 Y正 Y负 焦 点坐 标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p 准 线方 程 2

2、px 2px 2py 2py 范 围 0,xyR 0,xyR 0,yxR 0,yxR 对 称轴 X轴 X轴 Y轴 Y轴 顶 点坐 标 0,0 离心率 1e 通 径 2p 焦半径11(,)A x y 12pAFx 12pAFx 12pAFy 12pAFy 焦点弦长AB 12()xxp 12()xxp 12()yyp 12()yyp 焦点弦长AB以AB为直径的圆必与准线l相切 2 的补充11(,)A x y 22(,)B xy 假设AB的倾斜角为，22sinpAB 假设AB的倾斜角为，则22cospAB 2124px x 212y yp 112AFBFABAFBFAFBFAFBFp 3抛物线)0(

3、22ppxy的几何性质：(1)范围 因为 p0，由方程可知 x0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向(3)顶点0，0，离心率：1e，焦点(,0)2pF，准线2px，焦准距 p(4)焦点弦：抛物线)0(22ppxy的焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB,则pxxAB21|弦长|AB|=x1+x2+p,当 x1=x2时，通径最短为 2p。4焦点弦的相关性质：焦点弦AB，),(11yxA,),(22yxB，焦点(,0)2pF(1)假设 AB是抛物线22(0)ypx p的焦点弦过焦点的弦，且

4、11(,)A x y，22(,)B xy，则：21 24pxx，21 2y yp。(2)假设 AB是抛物线22(0)ypx p的焦点弦，且直线 AB的倾斜角为，则22sinPAB0。(3)已知直线 AB是过抛物线22(0)ypx p焦点 F,112AFBFABAFBFAFBFAFBFp(4)焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径 (5)两个相切：1 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.2 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5弦长公式：),(11yxA,),(22yxB是抛物线上两点，则 221212()()ABxxyy|

5、11|1212212yykxxk 【经典例题】1抛物线二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率 e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的 1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华美的篇章.3【例 1】P为抛物线pxy22上任一点，F为焦点，则以 PF为直径的圆与 y 轴 .A相交 .B相切 .C相离 .D位置由 P确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02pF，准线是:2pl x .作 PH l于 H，交 y 轴于 Q，那么PFPH，且2pQHOF.作 MN y 轴于 N则 MN是梯形

6、 PQOF的 中位线，111222MNOFPQPHPF.故以 PF为直径的圆与 y 轴相切，选 B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.2焦点弦常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例 2】过抛物线022ppxy的焦点 F作直线交抛物线于1122,A x yB xy两点，求证：112ABxxp 2pBFAF211【证明】1如图设抛物线的准线为l，作 1AAl11111,2pA BBlBAAx 于，则 AF，122pBFBBx.两式相加即得：12ABxxp 2当 AB x 轴时，有

7、AFBFp，112AFBFp成立；当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦 AB的方程为：2pyk x.代入抛物线方程：2222pkxpx.化简得：222222014pk xp kxk 方程1之二根为 x1，x2，1224kxx.XYPHMNO(,0)2pF:2pl x=-22ypx=QXYFA(x,y)11B(x,y)22A1B1l 4 122111212121111112224xxpppppAFBFAABBxxx xxx 121222121222424xxpxxppppppxxpxx .故不管弦 AB与 x 轴是否垂直，恒有pBFAF211成立.3切线抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题，

8、又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例 3】证明：过抛物线22ypx上一点 M x0，y0的切线方程是：y0y=px+x0【证明】对方程22ypx两边取导数：22.py ypyy，切线的斜率 00 x xpkyy.由点斜式方程：20000001pyyxxy ypxpxyy 20021ypx，代入（）即得：y0y=px+x0 4定点与定值抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线xy82上，且动圆恒与直线02 x相切，则此动圆必过定点 .4,0.2,0.

9、0,2.0,2ABCD 显然.此题是例 1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选 B.2.抛物线22ypx的通径长为 2p；3.设抛物线22ypx过焦点的弦两端分别为1122,A x yB xy，那么：212y yp 以下再举一例【例 4】设抛物线22ypx的焦点弦 AB在其准线上的射影是 A1B1，证明：以 A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么 A1B1=AB=2p，而 A1B1与 AB的距离为 p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对 AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为1122,A x yB xy

10、，5 那么：22121112.y ypCACByyp 设抛物线的准线交 x 轴于 C，那么.CFp 2111111.90AFBCFCACBAFB 中故.这就说明：以 A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.通法 特法 妙法 1解析法为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题如对称问题等.【例 5】10.四川文科卷.10 题已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42【分析】直线 AB必与直线 x+y=0 垂直，且线段 AB 的中点必在直线 x+y=0 上，因得

11、解法如下.【解析】点A、B关于直线x+y=0 对称，设直线AB 的方程为：yxm.由 223013yxmxxmyx 设方程1之两根为 x1，x2，则121xx.设 AB的中点为 M x0，y0，则120122xxx.代入 x+y=0：y0=12.故有1 1,2 2M.从而1myx .直线 AB的方程为：1yx.方程1成为：220 xx .解得：2,1x ，从而1,2y ，故得：A-2，-1，B1，2.3 2AB，选 C.2几何法为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以防止的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅

12、度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例 6】11.全国 1 卷.11 题抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积 A4 B3 3 C4 3 D8【解析】如图直线 AF的斜率为3时AFX=60.AFK为正三角形.设准线l交 x 轴于 M，则2,FMp XYABFA1B11MCXOYABM0lxy+=XYOF(1,0)AK60Y2=2pxL:x=-1M 6 xyM(x,y)F1(-c,0)F2(c,0)OH2:al xc=-r1r2r2 且KFM=60，234,44 34AKFKFS.选 C.【评注】1

13、平面几何知识：边长为 a 的正三角形的 面积用公式234Sa计算.2此题如果用解析法，需先列方程组求点 A的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.3定义法追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例 7】07.湖北卷.7 题双曲线 22122:1(00)xyCabab，的左准线为l，左焦点和右焦点分别为1F和2F；抛物线2C的线为l，焦点为21FC；与2C的一个交点为M，则12112F FMFMFMF等于 A1 B1 C12 D12【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用

14、不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距 c，离心率为 e，作 MHlH于，令 1122,MFr MFr.点 M 在抛物线上，1112222,MFMFrMHMFreMHMFr故，这就是说：12|MFMF的实质是离心率 e.其次，121|F FMF与离心率 e 有什么关系？注意到：1212111122111F Fe rrceaeeMFrrre.这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于 12112|11|F FMFeeMFMF .选 A.7 4三角法本身也是一种解析 三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为

15、同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”到达解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.抛物线xy82的【例8】09.重庆文科.21 题如图，倾斜角为 a 的直线经过焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点。求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；假设 a 为锐角，作线段 AB的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2 a 为定值，并求此定值。【解析】焦点 F2，0，准线;2l x .直线 AB：tan21.yx 28yx 代入1，整理得：2tan816tan02yy 设方程2之二根为 y1，y2，则12128t

16、an16yyyy .设 AB中点为1200020044cot,2tancot24cot2yyyM xyxy 则 AB的垂直平分线方程是：24cotcot4cot2yx.令 y=0，则224cot64cot6xP，有，0 故2224cot624 cot14cosFPOPOF 于是|FP|-|FP|cos2 a=2224csc1 cos24csc2sin8，故为定值.5消去法合理减负的常用方法.防止解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例 9】是否存在同时满足以下两条件的直线l：1l与抛物线xy82有两个不同

17、的交点 A和 B；2线段AB被直线1l：x+5y-5=0 垂直平分.假设不存在，说明理由，假设存在，求出直线l的方程.【解析】假定在抛物线xy82上存在这样的两点 1122.A xyB xy，则有：AM 8 211121212222888yxyyyyxxyx 1212128AByykxxyy 线段 AB被直线1l：x+5y-5=0 垂直平分，且1155lABkk ，即1285yy 1285yy.设线段 AB的中点为12000425yyM xyy，则.代入 x+5y-5=0 得 x=1.于是：AB中点为415M，.故存在符合题设条件的直线，其方程为：4512552105yxxy，即：6探索法奔向

18、数学方法的高深层次 有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例 10】10.安徽卷.14 题如图，抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1,P2,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q1，Q2，Qn-1，从而得到 n-1个直角三角形Q1OP1,Q2P1P2,Qn-1Pn-1Pn-1,当 n时，这些三角形的面积之和的极限为 .【解析】11OAn，图中每个直角三角形的底边长均为 设 OA 上第 k 个分点为2220.11.kkkPyxynn ，代入：第 k 个三角形的面积为：21 11.2kkann 22212212114111212nnnnSnnnn .故这些三角形的面积之和的极限 21411111limlim 1412123nnnnSnnn