2023年抛物线经典性质全面汇总归纳.pdf

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1、1 抛物线 抛 物 线)0(22ppxy )0(22ppxy )0(22ppyx )0(22ppyx 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。MFM=点 M到直线l的距离 范围 0,xyR 0,xyR,0 xR y,0 xR y 对称性 关于x轴对称 关于y轴对称 焦点(2p,0)(2p,0)(0,2p)(0,2p)焦点在对称轴上 顶点(0,0)O 离心率 e=1 准线 方程 2px 2px 2py 2py 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离 2p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x

2、 y 12pAFx 12pAFx 12pAFy 12pAFy x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F 2 焦点弦长 AB 12()xxp 12()xxp 12()yyp 12()yyp 焦点弦AB的几条性质11(,)A x y22(,)B xy 以AB为直径的圆必与准线l相切 假设AB的倾斜角为，则22sinpAB 假设AB的倾斜角为，则22cospAB 2124px x 212y yp 112AFBFABAFBFAFBFAFBFp 切线 方程 00()y yp xx 00()y yp xx 00()x xp yy 00()x xp yy 1.直线与抛物

3、线的位置关系 直线，抛物线，消 y 得：1当 k=0 时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；2当 k0 时，0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）假设直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?不一定（4）2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：bkxy 抛物线，)0(p 联立方程法：o x 22,B xy F y 11,A x y 3 pxybkxy220)(2222bxpkbxk 设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出bxxkbk

4、xbkxyy2)(212121，2212122121)()(bxxkbxxkbkxbkxyy 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方 a.相交弦 AB的弦长 2122122124)(11xxxxkxxkABak21 或 2122122124)(1111yyyykyykABak21 b.中点),(00yxM,2210 xxx，2210yyy 点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得 1212pxy 2222pxy 将两式相减，可得)(2)(212121xxpyyyy 2121212yypxxyy a.在涉及斜率问题时，212yypkAB b.在 涉

5、 及 中 点 轨 迹 问 题 时，设 线 段AB的 中 点 为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy，即0ypkAB，同理，对于抛物线)0(22ppyx，假设直线l与抛物线相交于BA、两点，点4 ),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222 注意能用这个公式的条件：1直线与抛物线有两个不同的交点，2直线的斜率存在，且不等于零 一、抛物线的定义及其应用 例 1、设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1 的距离之和的最小值；(2)假设B(3,2)，求|PB|PF|的最小值 例 2、(2011 山东高考)设M

6、(x0，y0)为抛物线C：x28y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0 的取值范围是()A(0,2)B0,2 C(2，)D2，)二、抛物线的标准方程和几何性质 例 3、抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKl，垂足为K，假设|BC|2|BF|，且|AF|4，则AKF的面积是 ()A4 B3 3 C4 3 D8 例 4、过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，假设|BC|2|BF|，且|AF|3 则此抛物线的方程为 ()Ay232

7、x By29x Cy292x Dy23x 5 三、抛物线的综合问题 例 5、(2011 江西高考)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为 2，直线l：y12xb与抛物线C交于A，B两点(1)求抛物线C的方程；(2)假设以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程 6 练习题 1已知抛物线x2ay的焦点恰好为双曲线y2x22 的上焦点，则a等于 ()A1 B4 C8 D16 2抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为 1，则点M的纵坐标是 ()A1716 B1516 C.716 D.1516 3

8、(2011 辽宁高考)已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ()A.34 B1 C.54 D.74 4已知抛物线y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A相离 B相交 C相切 D不确定 5(2012宜宾检测)已知F为抛物线y28x的焦点，过F且斜率为 1 的直线交抛 物线于A、B两 点，则|FA|FB|的值等于 ()A4 2 B8 C8 2 D16 6在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ()A(2,1)B(1,2)C(2,1)D(1,2)7(2011 陕西高

9、考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是 ()Ay28x By28x Cy24x Dy24x 8(2012 永州模拟)以抛物线x216y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_ 9已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(3，m)到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为_ 10已知抛物线y24x与直线 2xy40 相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA|FB|_.7 11过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，假设x1x26，那么|AB|等于_ 12根据以下条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x

10、29y2144 的左顶点；(2)过点P(2，4)13已知点A(1,0)，B(1，1)，抛物线C：y24x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.假设向量OM与OP的夹角为4，求POM的面积 8 参考答案：一、抛物线的定义及其应用 例 1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1.由抛物线的定义知：点P到直线x1 的距离等于点P到焦点F的距离 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为 5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于

11、Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为 4.例 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p4，根据已 知只要|FM|4 即可根据抛物线定|FM|y02 由y024，解得y02，故y0 的取值范围是(2，)二、抛物线的标准方程和几何性质 例 3、设点A(x1，y1)，其中y10.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有|BF|BB1|；又|CB|2|FB|，因此有|CB|2|BB1|，cos CBB1|BB1|BC|12，CBB13.即直线AB与x轴的夹角为3.又|AF|AK|x1p24，因此y14sin32 3，因

12、此AKF的面积等于12|AK|y11242 34 3.例 4分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|，BCB130，又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，F为线段AC的中点故点F到准线的距离为p12|AA1|32，故抛物线的方程为y23x.三、抛物线的综合问题 例 5、(1)直线AB的方程是y2 2(xp2)，与y22px联立，从而有 4x25pxp20，所以：x1x25p4，由抛物线定义得：|AB|x1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.9 (2)由p4,4x25pxp20

13、 可简化为x25x40，从而x11，x24，y12 2，y24 2，从而A(1，2 2)，B(4,42)；设 OC(x3，y3)(1，2 2)(4,42)(41,422 2)又y238x3，即22(21)28(41)即(21)241.解得0，或2.例 6、(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有x12y2|x|1.化简得y22x2|x|.当x0 时，y24x；当x0 时，y0.所以，动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)和y0(x0)的准线为xp2，由抛物线定义和已知条件可知|MF|1(p2)1p22，解得p2,故所求抛物线C的方程为y24x.(2)联立 y12xb，y24x消去x并化简整理

14、得y28y8b0.依题意应有6432b0，解得b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y210 8，y1y28b，设圆心Q(x0，y0)，则应用x0 x1x22，y0y1y224.因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r|y0|4.又|AB|x1x22y1y2214y1y22 5y1y224y1y2 56432b 所以|AB|2r 56432b8，解得b85.所以x1x22b2y12b2y24b16485，则圆心Q的坐标为(245，4)故所求圆的方程为(x245)2(y4)216.练习题：1 C 解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依

15、题意则有a42 解得a8.2B解析：抛物线方程可化为x2y4，其准线方程为y116.设M(x0，y0)，则由抛物线的定义，可知116y01y01516.3C解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：12(|AF|BF|)14321454.4C解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是M到l的距离d12(|AA1|BB1|)12(|AF|BF|)12|AB|半径，故相切 5C解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为yx2 由 yx2，y28x，消去y得x212x40.设A(x1，y1)

16、，B(x2，y2)，则|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|(x1x2)24x1x2 144168 2.11 6B解析：如下图，直线l为抛物线y2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D.答案：B 7B解析：由准线方程x2，可知抛物线为焦点在x轴正，半轴上的标准方程，同时得p4，所以标准方程为 y22px8x 8解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y4，则圆心为(0,4)，半径r8.所以，圆的方程为x2(y4)264.9解

17、析：设抛物线方程为x2ay(a0)，则准线为ya4.Q(3，m)在抛物线上，9am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，|m(a4)|5.将m9a代入，得|9aa4|5，解得，a2，或a18，所求抛物线的方程为x22y，或x218y.10解析：由 y24x2xy40，消去y，得x25x40(*)，方程(*)的两根为A、B两点的横坐标，故x1x25，因为抛物线y24x的焦点为F(1,0)，所以|FA|FB|(x11)(x21)7 11解析：因线段AB过焦点F，则|AB|AF|BF|.又由抛物线的定义知|AF|x11，|BF|x21，故|AB|x1x228.12解析：双曲线方程化为x29y2161，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为 y22px(p0)，则p23，p6，抛物线方程为y212x.(2)由于P(2，4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2mx或x2ny，代入P点坐标求得m8，n1，所求抛物线方程为y28x或x2y.13解：设点M(y214，y1)，P(y224，y2)，12 P，M，A三点共线，kAMkPM，即y1y2141y1y2y214y224，即y1y2141y1y2，y1y24.OM OPy214y224y1y25.向量 OM与 OP的夹角为4，|OM|OP|cos45.SPOM12|OM|OP|sin452.