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1、高中数学 必修 2 知识点 第一章 空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特征(略)棱柱:棱锥:棱台:圆柱:圆锥:圆台:球:1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图:正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤:(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变;(3).画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积(一)空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥
2、的表面积:各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2Srlr 4 圆台的表面积22SrlrRlR 5 球的表面积24SR 6 扇形的面积公式213602n RSlr扇形(其中l表示弧长,r表示半径)(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 VSh底 2 锥体的体积 13VSh底 3 台体的体积 1)3VSSSSh下下上上(4 球体的体积343VR 第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的,无大小,无厚薄。2 平面的画法及表示(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 450,且横边画成邻边的
3、 2 倍长(2)平面通常用希腊字母、等表示,如平面、平面等,也可以用表示平面的平行 四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面 ABCD 等。3 三个公理:(1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 222rrlS符号表示为AlBllAB 公理 1 作用:判断直线是否在平面内(2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。符号表示为:A、B、C三点不共线 有且只有一个平面,使 A、B、C。公理 2 作用:确定一个平面的依据。补充 3 个推论:推论 1:经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面。推论 2:经过两条平行直线,有且只
4、有一个平面。推论 3:经过两条相交直线,有且只有一个平面。(3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为:,plpl 且 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设 a、b、c 是三条直线,/abaccb 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。公理 4
5、 作用:判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.4 异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 符号表示:,ABlBlABl 直线与直线 异面。5 注意点:异面直线11ab与所成的角的大小只由它们的相互位置来确定,与选择的位置无关,为简便一 般取在两直线中的一条上;两条异面直线所成的角:000,90 共面直线 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 ab;两条直线互相
6、垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内 有无数个公共点(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点(3)直线在平面平行 没有公共点 特别指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a来表示 a a=A a 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面 平行。简记为:线线平行,则线面平行。符号表示:/a
7、baab 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。符号表示:/ababAab 简记为:线线平行,则面面平行。2、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。符号表示为:,/aa 2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行,则线线平行。符号表示:/aaabb 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的
8、交线平行。符号表示:/aabb ,简记为:面面平行,则线线平行 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 3、两个平面平行具有如下的一些性质:如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它也和另一个平面相交 夹在两个平行平面间的所有平行线段相等 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直,记作l,直线l叫做平面的垂线,平面叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时,它们唯
9、一公共点 P,点 P叫做垂足。2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。符号表示:,la lb ababAl ,简记为:线线垂直,则线面垂直。注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。3、补充性质:/,ab ab 4、直线与平面所成的角的范围为:000,90 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法:二面角-l-或-AB-,平面之间二面角范围是000,180 3、两个平面互相垂直的判定定理
10、:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。符号表示:,ll,简记为:线面垂直,则面面垂直。4、线面角的求法,在直线上任找一点作平面的垂线,则直线和射影所成的角就是了。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示:,abab 补充性质:(1),/abab,(2),/abab,(3),/aa,(4),/,aa 2 性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号表示:,al aala ,面面垂直,则线面垂直。本章知识结构框图 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线
11、的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x轴正向与直线 l 向上方向之 间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定=0.2、倾斜角的取值范围:0180.当直线 l 与 x 轴垂直时,=90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就 是 k=tan 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时,=90,k 不存在.由此可知,一条直线 l 的倾斜角一定存在,但是斜率 k 不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点 P1(x1,y1)
12、,P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)空间直线、平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与平面的位置关系 直线与直线的位置关系 22122221PPxxyy 斜率公式:k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜 率相等,那么它们平行,即 注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不 成立即如果 k1=k2,那么一定有 L1L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它
13、们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜 率互为负倒数,那么它们互相垂直,即 3.2.1 直线的点斜式方程 1、直线的点斜式方程:直线l经过点),(000yxP,且斜率为k )(00 xxkyy 2、直线的斜截式方程:已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为),0(b bkxy 3.2.2 直线的两点式方程 1、直 线 的 两 点 式 方 程:已 知 两 点),(),(222211yxPxxP其 中),(2121yyxx y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程:已知直线l与x轴的交点为 A)0,(a,与y轴的交点为 B),0(b,其中0,0 ba 3.2.3 直线的一般式方程
14、 1、直线的一般式方程:关于yx,的二元一次方程0CByAx(A,B 不同时为0)2、各种直线方程之间的互化。3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标 L1:3x+4y-2=0 L1:2x+y+2=0 34202220 xyxy 解:解方程组 得 x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2)3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式 3.3.3 点到直线的距离公式 1点到直线距离公式:点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为:2200BACByAxd 2、两平行线间的距离公式:已知两条平行线直线1l和2l的一般式
15、方程为1l:01CByAx,2l:02CByAx,则1l与2l的距离为2221BACCd 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程:222()()xaybr圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点00(,)M xy与圆222()()xaybr的关系的判断方法:(1)2200()()xayb2r,点在圆外 (2)2200()()xayb=2r,点在圆上(3)2200()()xayb2r,点在圆内 4.1.2 圆的一般方程 1、圆的一般方程:022FEyDxyx 2、圆的一般方程的特点:(1)x2和 y2 的系数相同,不等于 0 没有 xy 这样的二次项 (2)圆的
16、一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 设直线l:0cbyax,圆C:022FEyDxyx,圆的半径为r,圆心)2,2(ED 到直线的距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:(1)当rd 时,直线l与圆C相离;(2)当rd 时,直线l与圆C相切;(3)当rd 时,直线l与圆C相交;4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系 设两圆的连心线长为
17、l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:(1)当21rrl时,圆1C与圆2C相离;(2)当21rrl时,圆1C与圆2C外切;(3)当|21rr21rrl时,圆1C与圆2C相交;(4)当|21rrl时,圆1C与圆2C内切;(5)当|21rrl时,圆1C与圆2C内含;4.2.3 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何 问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论 4.3.1 空间直角坐标系 1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组),(zyx,x、y、z分别是 P、Q、R 在x、y、z轴上的坐标 2、有序实数组),(zyx,对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组),(zyx来表示,该数组叫做点 M 在此空间直 角坐标系中的坐标,记 M),(zyx,x叫做点 M 的横坐标,y叫做点M 的纵坐标,z叫做点 M 的竖坐标。4.3.2 空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点),(1111zyxP到点),(2222zyxP之间的距离公式 22122122121)()()(zzyyxxPP OyxMMRPQOyzxMP1P2NM1N2N1M2H
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