2023年山东省临沂高一数学新人教A版必修二1.1.1《柱、锥、台、球的结构特征》精品讲义..pdf

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1、 第 1 课时 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征(一)教学要求：通过实物模型，观察大量的空间图形，认识柱体、锥体、台体、球体结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、锥体、体、球体结构特征.教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.教学过程：、新课导入：1.讨论：经典的建筑给人以美的享受，其中奥秘为何？世间万物，为何千姿百态？2.提问：小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究过哪些？3.导入：进入高中，在必修的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习 立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维

2、辩证、度量计算.二、讲授新课：1.教学棱柱、棱锥的结构特征：(1)提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？*睿二(2)讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平/:/力推斜后，仍然有哪些公共特征？/;/(3)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻/片/两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成 A M 的几何体叫棱柱.B C-列举生活中的棱柱实例(三棱镜、方砖、六角螺帽)结合图形认识:底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.(4)分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱 柱、五棱柱等.表示：

3、棱柱 ABCDE-ABCDE(5)讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？(6)定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三/角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥./结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高.A 一讨论：棱锥如何分类及表示？/(7)讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的 B 性质？棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相 等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形 棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.(8)讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有

4、何特征？(9)定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一 个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.一列举生活中的实例 结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱(母线)、顶点、高.讨论：棱台的分类及表示？圆台的表示？圆台可如何旋转而得？(10)讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点;母线长都相等.(11)讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到 6 个几何体.棱台与棱柱、

5、棱锥有什么关系？圆台 与圆柱、圆锥有什么关系？(以台体的上底面变化为线索)2.教学圆柱、圆锥的结构特征：讨论：圆柱、圆锥如何形成？定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆 柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆 锥.-列举生活中的棱柱实例一结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高.表示方法 讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？一柱体、锥体.(4)观察书 P2 若干图形，找出相应几何体；举例：生活中的柱体、锥体.(5)讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？(6)定义：用一个平行于棱锥底面的平

6、面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个 平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.-列举生活中的实例 结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱(母线)、顶点、高.讨论：棱台的分类及表示？圆台的表示？圆台可如何旋转而得？(7)讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.(8)讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到 6 个几何体.棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台 与圆柱、圆锥有什么关系？(

7、以台体的上底面变化为线索)3.教学球体的结构特征：%1 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体.-列举生活中的实例 结合图形认识：球心、半径、直径.球的表示.%1 讨论：球有一些什么几何性质？%1 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？(旋转体)棱台与棱柱、棱锥有什么共性？(多面体)4.小结：几何图形；相关概念；相关性质；生活实例 三、巩固练习：1.练习：教材 P7 1、2 题.2.已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,面积为 12cm,求圆锥的底面半径.3.已知圆柱的底面半径为 3cm,轴截面面积为 24cm,求圆柱的母线长.4.正四棱锥的底面积为 46c

8、m2,侧面等腰三角形面积为 6cm2,求正四棱锥侧棱.1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的 结构.逐步培养观察能力和抽象概括能力.知识要点:结构特征 图例 棱柱(1)两底面 相互平行，其 余 各 面 都 是 平行四边形；(2)侧棱平 行且相等.圆 柱(1)两底面相互平 行；(2)侧 面 的 母 线 平 行 于 圆 柱 的 轴；(3)是以矩形的一 边所在直线为旋转 轴，其余三边旋转 形成的曲面所围成 1 E 侧棱一 侧面一 底面 母线 J 底面 B J 顶点 B 的几何体.棱 锥(1)底面是 多边形，各侧 面 均

9、是 三 角 形；(2)各侧面 有 一 个 公 共 顶点.圆 锥(1)底面是圆；(2)是以直角三角形的 一条直角边所在的 直线为旋转轴，其 余两边旋转形成的 曲面所围成的几何 体.汶顶点”二了；R侧面 底面 棱 台(1)两底面 相互平行；(2)是用一 个 平 行 于 棱 锥 底 面 的 平 面去截棱锥，底 面 和 截 面 之间的部分.圆 台(1)两底面相互平 行；(2)是用一个平行 于圆锥底面的平面 去截圆锥，底面和 截面之间的部分.O 母量%*顶点 B 球(1)球心到球面上各点的距离相等;(2)是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半 圆面旋转一周形成的几何体.例题精讲:【例 1请描述下列几何体的结

10、构特征，并说出它的名称.(1)由 7 个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；(2)如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线 Z 旋转 180 .解：(1)特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形.几何体为正五棱柱.(2)由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球.g，【例 2】若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为 2,底面周长为 9,k Oy 求棱锥的高.a R 1 解：底面正三角形中，边长为 3,高为 3xsin60o=,中心到顶点距离为 2 x|=V3,则棱锥的高为皿 2 一(=1.S S【例 3】用一个

11、平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、PA R 下底面的面积之比为 1：16,截去的圆锥的母线长是 3cm,/:/求圆台的母线长./_ 解：设圆台的母线为，截得圆台的上、下底面半径分别为r,妃/吵 LALAA 根据相似三角形的性质得，,解得 Z=9.3+1 4r 所以，圆台的母线长为 9cm.点评：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等 或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相 似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而解得.【例 4】长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为a,/3,y,求 cos2 a+

12、cos2 fi+cos2 y sin2 a+sin2 p+sin2 y 的值.解：设长方体的一i顶点出发的长、宽、高分别为均位于直角三角形中，利用直角三角 而求.关键在于找准直角三角形中的 底面是正方形，有两个侧面是矩底面是正方形，有两个侧面垂 半责在级（北京）技有公司 Beijlne hvaxl online Co.Lto I=Ja2+b2+c2 cos2 a+cos2 +cos2 y=(y)2+(y)2+(y)2=1,.I cos2 a+cos2/7+cos2/=1.2.2 .2 b1+C1 a2+c2 a2+b2 sin a+sin p+sin y=-1-1-I2 I2 I2 sin2

13、a+sin2/3+sin2 y=2.点评：从长方体的一个顶点出发的对角线与三条棱，形中的边角关系“cosa=音”、sina=普”三边，斜边是长方体的对角线，角的邻边是各棱长，角的对边是相应矩形面的对角 线.基础达标 1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（）.1=J-+b+c=J(a+b+c)-2ab-2b c-2ac=J 6-11=5.9.解：(1)是棱柱，并且是四棱柱.因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边 形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.(2)截面 BCNM 的上方部分是三棱柱 BB,B-CCXM,下方部分是四棱柱 ABM-DCND,.0 则 是几棱柱，并用符号表示

14、.如果不是，说底面 C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 2.下列说法中正确的是（）.A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D.圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径 3.下列说法错误的是（）.A.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等 B.九棱柱有 9 条侧棱，9 个侧面，侧面为平行四边形 C.六角螺帽、三棱镜都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形（）.D.直角三角形 B.平行于圆台某一母线的截面是等腰梯 D,过圆台上底面中心

15、的截面是等腰梯形6.设圆锥母线长为/,高为!，过圆锥的两条母线作-个截面，则截面面积的最大值为 7.若长方体的三个面的面积分别为 6c,2,3cW,2 馈2,则此长方体的对角线长为.能力提高 8.长方体的全面积为 11,十二条棱的长度之和为 24,求这个长方体的一条对角线长.9.如图所示，长方体 ABCD-AC.（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱?为什么？（2）用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是,A B 8.解：设长方体的长、宽、高分别为。、2（ab+bc+ac）=11 4（。+Z?+,而对角线探究创新 10.现有一批长方体金属原料，其长宽高

16、的规格为 12X3X3.1(长度单位：米).某车间要用这 些原料切割出两种长方体，其长宽高的规格第一种为 3X2.4X1,第二种为 4X1.5X0.7.若 这两种长方体各需 900 个，假设忽略切割损耗，问至少需多少块金属长方体原料？如何 切割？此时材料的利用率是多少？(计算到小数点后面 3 位)V3.1 5 DCDDC；6.ZI 2 4 10.解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只 有两种切法，见图(I)和(II).切法(I)切割出 12 个第一种长 方体和 6 个第二种长方体，切法(II)切割出 5 个第一种长方体 和 18 个第二种长方体.取 3 块原料,2 块按切法(I)切割，

17、1 块按切法(II)切割.得 到 29 个第一种长方体和 30 个第二种长方体.因此，取 90 块原料，其中 60 块按切法(I)切割，30 块按切法(II)切割，共得到 870 个第一种长方体和 900 个第二种长方体.至此，没产生任 何余料，但还差 30 个第一种长方体.再取 2块原料，按切法(III)切割(见图)，得 30 个第一种 长方体.每块原料剩下 12X3X0.1 的余料.因此，为了得到这两种长方体各 900 个，至少需 90+2=92 块原料.此时，材料的利用率为 1 一 箜如史2(3x12x3.1)x92 4.用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是 A,六边形 B.菱形 C.梯形 5.下列说法正确的是（）.A,平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 形 C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形【II III 99.9%