2023年概率论与数理统计知识点归纳总结全面汇总归纳.pdf

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1、 1 第 1 章 随机事件及其概率（1）排列组合公式)!(!nmmPnm 从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(!nmnmCnm 从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。（2）加法和 乘 法 原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m种方法完成，第二种方法可由 n种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m n 种方法来完成。（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）对

2、立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试 验 和 随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空 间 和 事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B

3、，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的 关 系 与运算 关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA 如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A与 B不可能

4、同时发生，称事件 A与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。1-A称为事件 A的逆事件，或称 A的对立事件，记为A。它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC)(A B)C=(AC)(BC)德摩根率：11iiiiAA BABA，BABA（7）概率的 公 理 化定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P()=1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11)(iiiiAPAP 常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件A

5、的概率。（8）古典概型 1 n21,，2 nPPPn1)()()(21。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有 P(A)=)()()(21m=)()()(21mPPP nm基本事件总数所包含的基本事件数A（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，)()()(LALAP。其中 L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 AB不相容 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)当 AB独立，P(AB)=P

6、(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)（11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时，P(B)=1-P(B)（12）条件概率 定义 设 A、B是两个事件，且 P(A)0，则称)()(APABP为事件 A发生条件下，事 1 件 B发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则

7、有 21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。（14）独立性 两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性 设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足

8、P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式 设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容，),2,1(0)(niBPi，2niiBA1，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；（16）贝叶斯公式 设事件1B，2B，nB及A满足 1 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2 niiBA1，0)(AP，则 njjjiiiBAPBPBAPB

9、PABP1)/()()/()()/(，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1i，2，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1i，2，1 n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。将试验可看成分为两步做，如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。（17）伯努利概型 我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每

10、次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,2,1,0。1 第二章 随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，,2,1k，（2）11kkp。（2）连续型随机变量的分布密度 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存

11、在非负函数)(xf，对任意实数x，有 xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1、0)(xf。2、1)(dxxf。3、211221P()()()()xxxXxF xF xf x dx 4、P(x=a)=0,a 为常数，连续型随机变量取个别值的概率为 0（3）离散与连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。1（4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF 称

12、为随机变量 X的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP 可以得到 X落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（，x 内的概率。分布函数具有如下性质：1 ,1)(0 xF x；2 )(xF是单调不减的函数，即21xx 时，有)(1xF)(2xF；3 0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4 )()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5 )0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，xdxxfxF)()(。（5）八大分布 0-1分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q 二项分布 在n重贝努里试验中，

13、设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(，其中nkppq,2,1,0,10,1，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(pnBX。当1n时，kkqpkXP1)(，1.0k，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。1 泊松分布 设随机变量X的分布律为 ekkXPk!)(，0，2,1,0k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。随机变量 X服从参数为 p

14、 的几何分布，记为 G(p)。均匀分布 设随机变量X的值只落在a，b 内，其密度函数)(xf在a，b 上为常数ab 1，即 ,0,1)(abxf 其他，则称随机变量X在a，b 上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为 xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时，X落在区间（21,xx）内的概率为 abxxxXxP1221)(。0，xb。axb 1 指数分布 其中0，则称随机变量 X服从参数为的指数分布。X的分布函数为 记住积分公式：!0ndxexxn)(xf,xe 0 x,0,0 x,)(xF,1xe 0 x,0 x0。1 正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(xexf

15、，x，其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(2NX。)(xf具有如下性质：1 )(xf的图形是关于x对称的；2 当x时，21)(f为最大值；若),(2NX，则X的分布函数为 参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(NX，其密度函数记为 2221)(xex，x，分布函数为 xtdtex2221)(。)(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)21。如果X),(2N，则X)1,0(N。1221)(xxxXxP。（6）分位数 下分位表：)(XP；上分位表：)(XP。（7）函数的分布函数 离散型 已知X的

16、分布列为 ,)(2121nnipppxxxxXPX，)(XgY 的分布列（)(iixgy 互不相等）如下：,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY，若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。dt e x F x t 2 2 2)(2 1)(1 连续型 先利用 X的概率密度 fX(x)写出 Y的分布函数 FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。（2）定理法：当 Y=g(X)严格单调并且可导时:其中 h(y)是 g(x)的反函数 1 第三章 二维随机变量及其分布（1）联合分布 离散型 如果二维随机向量（X，Y）的所

17、有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为),2,1,)(,(jiyxji，且事件=),(jiyx的概率为pij,称),2,1,(),(),(jipyxYXPijji 为=（X，Y）的分布律或称为 X和 Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Y X y1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j xi pi1 ijp 这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）.1ijijp 1 连续型 对 于 二 维 随 机 向 量),(YX，如 果 存 在 非 负 函 数),)(,(y

18、xyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyx1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2)F(x,y1);（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，2121yyxx P(x1xx2,y10,D(Y)0，则称)()(YDXDXY 为 X与 Y的相关系数，记作XY（有时可简记为）。|1，当|=1时，称 X 与 Y 完 全 相 关：1)(baYXP 完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(

19、1aa 而当0时，称 X与 Y不相关。以下五个命题是等价的：0XY；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).（6）协 方差 的性质(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独 立和 不相关（i）若随机变量 X与 Y相互独立，则0XY；反之不真。（ii）若（X，Y）N（,222121），则 X与 Y相互独立的充要条件是 X和 Y不相关。