2023年届开卷教育联盟全国高三模拟考试二文科数学试卷最新版.pdf

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1、2020 届开卷教育联盟全国高三模拟考试（二）数学（文）试题一、单选题1已知集合2|20Ax xx，BZ，则ABI（）A 1,0,1,2-B0,1,2C0,1D 1【答案】C【解析】求出集合 A 的范围，根据集合B 为整数集，即可求得AB。【详解】解不等式可得集合|12Axx因为集合BZ所以0,1AB所以选 C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的基本运算，属于基础题。2i是虚数单位，复数202067ziii，那么z（）A 5B 3 C1 D 2【答案】C【解析】根据*innN的取值即得.【详解】41i,复数45052020674243231ziiiiiiiiiii，那么1z.故选

2、：C.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3下列说法正确的是（）A 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，则222abc是ABC为锐角三角形的充要条件B若p：0 xR，20010 xx，则p：xR，210 xxC若pq为假命题，则p，q均为假命题D“若6，则1sin2”的否命题是“若6，则1sin2”【答案】D【解析】对选项逐个验证，即得答案.【详解】对于 A，222abc，则C为锐角，但C为锐角时ABC不一定为锐角三角形，是必要不充分条件，故A错误；对于B，命题p：0 xR，20010 xx，则p：xR，210 xx，B错误；对于 C，若pq为假命题，则p，q至少有一个为假命题

3、，C 错误；对于 D，“若6，则1sin2”的否命题是“若6，则1sin2”，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查充分必要条件、命题的否定、命题的真假及否命题，属于基础题.4已知点，分别为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆 C 上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A BCD【答案】D【解析】由题意，知点在椭圆 C 上，线段的中点在轴上，求得，在直角中，得到，整理得，即可求解，得到答案.【详解】由题意，知点在椭圆 C 上，线段的中点在轴上，可得点轴，且点，所以在直角中，且，所以，即，整理得，两边同除得，解得或（舍去），故选 D.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质 离心率的求解，其中根据条件转化

4、为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)5一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（）A 12B 4C823D 163【答案】A【解析】设底面圆的半径为r,则1224,2r所以 r=2,再求圆锥的表面积.【详解】设底面圆的半径为r,则1224,22rr，所以圆锥的表面积为2212+4=122.故选：A【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图和表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推

5、理能力.6若曲线xye在0 x处的切线，也是lnyxb的切线，则b（）A 1B 1 C2 D e【答案】C【解析】求出xye的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线lnyxb相切的切点为（m，n），得lnyxb的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得 m，n，进而得到b 的值【详解】函数xye的导数为yex，曲线xye在 x0 处的切线斜率为k0e=1，则曲线xye在 x0 处的切线方程为y1x；函数lnyxb的导数为 y1x，设切点为（m，n），则1m1，解得 m 1，n2，即有 2ln1+b，解得 b2故选 A【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题7已知

6、ABADACuuu ruuu ruuu r，且ACauuu rr，BDbuuu rr，则ABuuu r（）A 12abrrB12abrrC12barrD 12abrr【答案】A【解析】根据向量的加减法运算，列方程组即可求ABuuu r.【详解】根据条件ABADaADABbuuu vuuu vvuuu vuuu vv，12ABabuuu rrr.故选：A.【点睛】本题考查向量的加减运算，属于基础题.8已知函数()()cos4f xg xx，若函数()f x 是周期为的偶函数，则g x可以是（）A cosxBsin xCcos4xD sin4x【答案】D【解析】分别代入化简.【详解】当()cosg

7、 xx 时，12()coscoscos 24244f xxxx，此时()f x 是非奇非偶函数，周期为；当()sing xx时，12()cossin 24244sinf xxxx，此时()f x 是非奇非偶函数，周期为；当()cos4g xx时，11()coscossin 24422fxxxx，此时()f x 是非奇非偶函数，周期为；当()sin4g xx时，11()sincossin2cos 244222f xxxxx，此时()f x 是偶函数，周期为.故选 D.【点睛】本题考查三角恒等变化和三角函数的性质.9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 83B163C203D 8【

8、答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为 2 的四棱锥，如图所示：该几何体的体积1168233V故选 B 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.10 四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，且2PAAB，则直线PB与平面PAC所成角为（）A 6B4C3D 2【答案】A【解析】连接AC交BD于点O，连接OP，证明BO平面PAC，进而可得到BPO即是直线PB与平面PAC所成角，根

9、据题中数据即可求出结果.【详解】连接AC交BD于点O，因为PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BDAC，BDPA，因此BD平面PAC；故BO平面PAC；连接OP，则BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因2PAAB，所以2 2PB，2BO.所以1sin2BOBPOPB，所以6BPO.故选 A【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型.11若对于任意xR 都有 f（x）2f（x）3cosx sin x，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A （k 4，0）（kZ）B（2k4，0）（kZ）C （k 8，0）（kZ）D（2k8，0）（k Z）【答案】D【

10、解析】利用解方程组的方法求函数f（x）解析式，可得f（2x）的解析式，再根据正弦函数的对称性，可得f（2x）图象的对称中心【详解】对任意 xR，都有 f（x）+2f（x）3cosx sinx，用 x 代替 x，得 f（x）+2f（x）3cos（x）sin（x），即 f（x）+2f（x）3cosx+sin x；由 组成方程组，解得f（x）sinx+cosx 2sin（x+4），f（2x）2sin（2x+4）令 2x+4 k，kZ，解得 x2k8，函数 f（2x）图象的对称中心为（2k8，0），kZ，故选 D【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，其中利用解方程组的思想求函数f（x）的解析式是解题的

11、关键12 已知函数222,12log1,1xxfxxx，则函数322Fxffxfx的零点个数是（）A 4 B 5 C6 D 7【答案】A【解析】解：令 t=f（x），F（x）=0，则 f（t）2t32=0，分别作出y=f（x）和直线 y=2x+32，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，则 t1=0，1t22，即有 f（x）=0 有一根；1f（x）2 时，t2=f（x）有 3 个不等实根，综上可得 F（x）=0 的实根个数为4，即函数F（x）=ff（x）2f（x）32的零点个数是4点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t 对应几个x二、填空题13 设函数21,07,0 xxf

12、xxx，若7fm，则m_.【答案】3【解析】根据解析式，讨论0m和0m两种情况，即求m的值.【详解】函数21,07,0 xxfxxx，若7f m，当0m时，217m，解得3m.当0m时，77m，解得0m，舍去.故答案为：3.【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14 直线l将圆22240 xyxy平分，且与直线20 xy垂直，则直线l的方程为【答案】2yx【解 析】试 题 分 析：设 与 直 线20 xy垂 直 的 直 线 方 程：20 xyb，圆22240 xyxy化为22125xy，圆心坐标12，因为直线平分圆，圆心在直线20 xyb上，所以2 11 20b，解得0b，故所求直线方程为

13、2yx【考点】1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可15设变量x，y满足约束条件0121xyxyxy，则22xyz的最大值为_.【答案】4【解析】作出可行域.设2mxy，得2yxm.当m取得最大值时，z 取最大值，数形结合即得.【详解】设2mxy，得2yxm，作出不等式组对应的可行域（阴影部分），平移直线2yxm，由平移可知当直线2yxm经过点C时，直线2yxm的截距最小，此时m取得最大值，由121xyxy，解得10 xy，即1,0

14、C.将C的坐标代入2mxy，得2m，此时22xyz的最大值224z，即目标函数22xyz的最大值是4.故答案为：4.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.16 在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足274coscos2()22ABC，2a，则ABC面积的最大值为_【答案】3【解析】A+B+C=，2274coscos 2()2(1cos)cos22cos2cos322ABCAAAA，212cos2cos02AA 1cos2A，3sin2A.2a，由余弦定理可得：2242bcbcbcbcbc，（当且仅当 b=c=2，不等式等号成立）,4bcSABC113sin43222bcA故

15、答案为：3点睛：本题是解决解三角形问题，需用到二倍角公式，三角形的面积公式，基本不等式的运用，知识点多，计算需要细心，特别是注意边角互化的应用三、解答题17 设数列na的前n项和为nS，且11a，2n时，1121nnnSnSn n.证明1nSn为等比数列，并求数列na的通项公式.【答案】见解析，1121nnan【解析】由1121nnnSnSn n，得11211nnSSnn，可得1nSn为等比数列.求出nS，再求na.【详解】证明：数列na的前n项和为nS，且11a，2n时，1121nnnSnSn n.所以1211nnSSnn，整理得1121 11nnSSnn，即11211nnSSnn，所以数列

16、1nSn是以1121S为首项，2 为公比的等比数列.112 22nnnSn，则2nnSnn，当2n时，11121nnnnaSSn，当1n时，11a（符合通项公式），故1121nnan.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，属于中档题.18 由 507 名画师集体创作的999 幅油画组合而成了世界名画蒙娜丽莎，某部门从参加创作的507 名画师中随机抽出100 名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表所示.（1）求a，b的值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这507 名画师年龄的平均数；（3）在抽出的20,25岁的 5 名画师中有3 名男画师，2 名女画师.在这 5 名画师中任

17、选两人去参加某绘画比赛，选出的恰好是一男一女的概率是多少？分组（岁）频数频率20,2550.05025,30a0.20030,3535b35,40300.30040,45100.100合计1001.00【答案】（1）20,0.350ab，见解析；（2）33.5岁；（3）35.【解析】（1）由频率分布表可求a，b的值；（2）平均数等于频率分布直方图中所有小矩形的底边中点乘以其面积的和；（3）列举法求出五人中任选两人的所有基本事件数，一男一女所包含的基本事件数，根据古典概型的概率计算公式，即得所求概率.【详解】（1）由频率分布表得1000.20020a，350.350100b，补全频率分布直方图如

18、图所示.（2）507 名画师年龄的平均数的估计值为22.50.0527.50.232.50.3537.50.342.50.133.5（岁）.（3）三名男画师记为a，b，c，两名女画师记为1，2，五人中任选两人的所有基本事件如下：,a b，,a c，,1a，,2a，,b c，,1b，,2b，,1c，,2c，1,2，共10 个基本事件，其中一男一女的是,1a，,2a，,1b，,2b，,1c，,2c，共 6 个基本事件，选出的恰好是一男一女的概率63105p.【点睛】本题考查频率分布直方图和古典概型，属于基础题.19 如图，已知三棱锥PABC的平面展开图中，四边形为ABCD边长等于2的正方形，ABE

19、和BCF均为正三角形，在三棱锥中PABC：（）证明：平面PAC平面ABC；（）求三棱锥PABC的表面积和体积.【答案】（）详见解析（）表面积23，体积13【解析】（）由题意知APC和ABC为等腰三角形，可取 AC 中点 O，连接 PO,OB，可证明PO平面ABC，然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（）求各个面的面积之和即可到棱锥的表面积，由PO平面ABC，利用棱锥的体积公式计算即可得到答案.【详解】解：（）设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得2PAPBPC，1PO，1AOBOCO.因为在PAC中，PAPC，O为AC的中点，所以POAC.因为在POB中，1PO，1OB，2PB，22

20、2POOBPB，所以POOB.因为ACOBO，AC，OB平面ABC，所以PO平面ABC，因为PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC.（）三棱锥PABC的表面积2322224S23，由（）知，PO平面ABC，所以三棱锥PABC的体积为13ABCVSPO111221323.【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直判定定理的应用，考查棱锥的表面积和体积的计算，考查学生的空间想象能力和计算能力.20 设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)k k的直线l与C交于A，B两点，|8AB（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【答案】(1)y=x 1,(2)223216xy或22

21、116144xy【解析】【详解】分析：(1)根据抛物线定义得12ABxxp，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l的方程；（2）先求 AB 中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.详解：（1）由题意得F（1，0），l 的方程为y=k（x 1）（k0）设 A（x1，y1），B（x2，y2）由214yk xyx得2222240k xkxk216160k，故212224kxxk所以21224411kABAFBFxxk由题设知22448kk，解得 k=1（舍去），k=1因此 l 的方程为 y=x

22、 1（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为23yx，即5yx设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则002200051116.2yxyxx，解得0032xy，或00116.xy，因此所求圆的方程为223216xy或22116144xy点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法 若已知条件与圆心,a b和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于,a b r的方程组，从而求出,a b r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F 的方程组，进

23、而求出D、E、F 的值21已知函数ln1xfxx.（1）求函数fx的单调区间和极值；（2）证明：2*222ln 2ln 3ln21,22341nnnnNnnn.【答案】（1）增区间为0,1，减区间为1,，极大值为1，无极小值；（2）见解析.【解析】（1）函数fx的定义域为0,.求fx，令()0fx=，求出极值点，就,x fxfx的变化情况列表即得；（2）由（1）可得maxln111xfxfxfx，即ln11xxx.令2*,2xnnNn，得222ln11nnn.由裂项法得22ln1111111111222121nnnnn nnn，即可证明结论.【详解】（1）函数ln1xfxx，0 x，则2lnx

24、fxx，由0fx，得1x，列表如下：x0,11 1,fx+0-fx单调递增极大值 1 单调递减因此增区间为0,1，减区间为1,，极大值为11f，无极小值.（2）证明：由（1）可得maxln111xfxfxfx，ln11xxx，当且仅当1x时取等号.令2*,2xnnNn，222ln11nnn，22ln1111111111222121nnnnn nnn，222ln 2ln 3ln23nn11111111111122323421nnL2*111211,221241nnnnNnnn.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，考查不等式的证明，属于难题.22 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为4

25、cos24sinxy(为参数)，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为6R（）求曲线C的极坐标方程；（）设直线l与曲线C相交于,A B两点，求AB的值【答案】（1）24cos120（2）2 15AB【解析】试题分析：（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（2）将6代入24cos16，可得2230，设,A B两点的极坐标方程分别为12,66，则12,是方程223120的两根，利用12AB求解即可试题解析：（1）将方程424xcosaysina消去参数a得224120 xyx，曲线C的普通方程为224120 xyx，将222xcosxy，代入上式可得

26、24 cos12，曲线C的极坐标方程为：24 cos12（2）设,A B两点的极坐标方程分别为12,66,由24 cos166消去得223120，根据题意可得12,是方程22 3160的两根，12122 3,16，21212122 1AB23 设函数()52f xxax.（1）当1a时，求不等式()0f x的解集；（2）若()1f x恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)2,3；(2),62,.【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|2|4xax，再根据绝对值三角不等式得|2|xax最小值，最后解不等式|2|4a得a的取值范围详解：（1）当1a时，24,1,2,12,26,2.xxfxxxx可得0fx的解集为|23xx（2）1fx 等价于24xax而22xaxa，且当2x时等号成立故1fx 等价于24a由24a可得6a或2a，所以a的取值范围是,62,点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向