2023年八年级数学上册13轴对称精品讲义新版新人教版.pdf

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1、第十三章轴对称1.通过让学生进行实例欣赏,了解轴对称、对称轴以及轴对称图形的概念,体验轴对称在现实生活中的运用,掌握轴对称的性质.2.了解“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”.3.了解等腰三角形和等边三角形的概念,掌握等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法.4.掌握“在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半”.1.在直观感知、操作确认的基础上,进一步学会说理,掌握一定的演绎推理能力.2.体会数学在现实生活中的广泛应用,认识数学无处不在,提高学生的学习兴趣和热情.1.通过实例培养学生的观察能力、思维能力、动手能力、总结能力,体验数学与生活的联系,发展

2、学生的空间观念.2.让学生树立挑战困难的信心和勇气,激发他们战胜困难的信心和决心.本章教材注重所学内容与现实生活的联系,强化观察、操作等探索过程.在教学内容的呈现上力求生动有趣,贴近现实生活,对知识的陈述,不仅注重结果,而且尽量给学生提供一定的探索空间和手段,让学生自己去发现结论,在探索的过程中培养学生的各种能力.本章主要内容是围绕等腰三角形展开的,它是继角和线段后接触到的第三个轴对称图形,这部分内容引入了较多的动手操作和直观感知,通过观察、归纳等方法去探索和发现等腰三角形的性质和判定方法.与此同时,采用适当的方式,进行数学说理,让学生进一步体验数学证明的必要性,学会说理,将合情推理和演绎推理

3、两者更好地有机结合.【重点】1.轴对称的概念、性质和判定.2.等腰(或等边)三角形的性质和判定.【难点】1.利用轴对称的性质进行图案设计.2.推理证明过程的书写.1.在轴对称这一节的认识中,教师要注意通过大量的图片,欣赏现实生活中的轴对称图形,体验轴对称在现实生活中的应用,在探索中发现轴对称图形的性质,让学生体会轴对称的思想和由特殊到一般的思想,要注意轴对称与轴对称图形的区别和联系.2.画轴对称图形这一节实质上就是要利用轴对称的性质,通过让学生作轴对称图形,了解关于坐标轴对称点的特征,要注意让学生动手操作,观察发现规律,形成能力.要注意给学生创造一个循序渐进的探索过程.3.等腰三角形这一节中,

4、教师要注意让学生动手操作,通过等腰三角形的轴对称变换得出等腰三角形的一些性质.对于等腰三角形“三线合一”的性质,学生不容易引起重视,但它的应用很广泛,教学中要适当补充例题,让学生巩固对该性质的掌握.对于等边三角形的性质和判定要让学生结合等腰三角形的性质和判定去考虑,要注重这些性质和判定方法在实际生活中的应用.4.本章的课题学习,一定要让学生多讨论、多交流,总结规律,积累经验,掌握解题的思路和方法.教师一定要注意引导,让学生发现最短路径问题的一般规律和特点,从而形成能力.13.1 轴对称13.1.1 轴对称(1 课时)13.1.2 线段的垂直平分线的性质(2课时)3 课时13.2 画轴对称图形2

5、 课时13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形(2 课时)13.3.2 等边三角形(2 课时)4 课时13.4 课题学习最短路径问题1 课时单元复习1 课时13.1轴对称1.理解和掌握轴对称图形和成轴对称的定义.2.通过学生的自主探究掌握线段的垂直平分线的性质.3.能确定轴对称图形的对称轴,掌握画对称轴的方法.1.在探索的过程中培养学生的观察、操作的能力,发展学生的空间观念.2.通过对图形的观察、发现,总结一些性质,培养学生的归纳能力.1.在小组合作学习的过程中,激发学生的学习热情和积极性.2.在动手实践中体会轴对称在现实生活中的应用,感受数学美.【重点】1.轴对称和轴对称图形的性质.2.

6、线段的垂直平分线的性质.3.轴对称图形的对称轴的确定.【难点】1.轴对称和轴对称图形的性质.2.线段垂直平分线的性质的理解和应用.13.1.1轴对称1.理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念.2.了解轴对称图形的对称轴,两个图形关于某直线对称的对称轴、对称点.3.掌握线段垂直平分线的概念.4.理解和掌握轴对称的性质.1.通过学习轴对称图形和两个图形成轴对称,进一步认识几何图形的本质特征.2.通过学习轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系,进一步发展学生抽象概括的能力.3.能准确画出一个图形的对称轴,能利用轴对称的性质解决实际问题.通过对轴对称图形和两个图形成轴对称的学习,激发学生学习的

7、欲望,主动参与数学学习活动.【重点】轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念.【难点】轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别与联系.【教师准备】教材章头图及图13.1-1,13.1-2,13.1-3,13.1-4,13.1-5 的投影片.【学生准备】搜集轴对称图形.导入一:我们生活在一个充满对称的世界中,许多建筑物都设计成对称形,艺术作品的创作往往也从对称角度考虑,自然界的许多动植物也按对称形生长,中国的方块字中有些也具有对称性对称给我们带来很多美的感受!初步掌握对称的奥妙,不仅可以帮助我们发现一些图形的特征,还可以使我们感受到自然界的美与和谐.轴对称是对称中重要的一种,从这节课开始,我们来

8、学习第十三章:轴对称.导入二:出示图片:青山倒映在水中.这是什么景象呢?(对称)同学们可以想象,当你放学回家,落日、晚霞,还有远处的青山倒映在平静的水中,这样如诗如画的景致怎能不令人难忘!自远古以来,对称形式被认为是和谐美丽的,不论是在自然界中还是在建筑里,甚至最普通的日常生活中,对称的形式随处可见.本节课我们就一起去探究轴对称的奥秘吧.设计意图 两个导入都是以生活中的轴对称为例,勾勒美好的画面,让学生感受数学中的美,体会数学与生活的密切联系,自然地引入到本节课的学习之中.过渡语 对称现象无处不在,从自然景观到艺术作品,从建筑物到交通标志,甚至日常生活用品中,人们都可以找到对称的例子.一、探究

9、轴对称【活动 1】展示教材章头图以及图13.1-1.教师展示生活中的图片,让学生欣赏图片,感知对称图形;学生列举所见到的图形.活动中,教师明确:(1)对称的多样性,而其中轴对称是重要的一种;(2)本节要探究的内容是轴对称和轴对图形.设计意图 展示的图片,包含自然景观、分子结构、建筑物、艺术作品、动物、植物、生活用品等与生活实际相关的图形,让学生感知对称图形,激发学生的学习热情.通过展示学生自制的图片,让学生联系生活实际,主动参与数学活动,感知数学与生活的密切相关.【活动 2】问题:(1)把一张长方形纸对折,剪出一个图案,再打开,就剪出了美丽的窗花,你能剪出什么样的窗花呢?(2)观察剪出的窗花和

10、图13.1-2 中的图形,你能发现它们有什么共同特征?(3)联系实际,你能举出一个轴对称图形的例子吗?【师生活动】教师先把长方形纸片对折,用剪刀剪出一个图案,再打开这个图案,让学生观赏,然后学生自己动手按要求剪纸.学生在观察、互相交流的基础上描述图形的特征,教师归纳轴对称图形及轴对称的概念,并板书概念,然后让学生举例.知识拓展 轴对称图形是针对一个图形而言的,是一种具有特殊性质的图形,被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时,互相重合;轴对称图形的对称轴可以是一条,也可以是多条,甚至是无数条.设计意图 教师演示剪纸过程起示范作用,学生动手剪纸是让学生参与到活动中去,发展学生的动手能力,通过观察

11、、思考,让学生互相交流,增强发现能力.【活动 3】问题:(1)教材图 13.1-3 中,每对图形有什么共同特征?(2)联系实际,你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗?【师生活动】学生观察、举例、讨论交流,教师引导得出两个图形关于某直线对称及对称轴、对称点的概念,并板书概念.设计意图 学生通过观察、举例、主动思考,认识两个图形关于某直线对称的本质特征,鼓励学生善于观察、勇于发现,培养合作意识.【活动 4】问题:(1)结合教材图13.1-2 和 13.1-3 进行比较,轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别?(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形成轴对称吗?如果把两个

12、成轴对称的图形看成一个整体,它是一个轴对称图形吗?【师生活动】学生根据两组图形的比较观察,讨论交流(1),教师引导学生得出区别.教师提出问题后,让学生思考(2),进一步明确轴对称图形与两个图形成轴对称之间的联系.知识拓展 轴对称包含两层含义:(1)有两个图形,且这两个图形能够完全重合,即形状、大小完全相同;(2)对重合的方式有限制,只能是把它们沿一条直线对折后能够重合.设计意图 通过学生举例,独自练习进一步认识两个图形成轴对称的本质.通过比较观察、相互讨论进一步认识两种图形的本质特征.让学生运用辩证的观点认识事物,发展学生抽象思维能力.【活动 5】问题:(1)成轴对称的两个图形全等吗?全等的两

13、个图形一定成轴对称吗?为什么?(2)在教材图13.1-3 中,你能标出A,B,C的对称点吗?【师生活动】学生独立思考后,再展开讨论,教师参与学生讨论,及时指导.设计意图 通过练习进一步巩固两个图形成轴对称和对称点的概念.二、垂直平分线思路一问题:(1)观察教材图13.1-4,线段AA,BB,CC与直线MN有什么关系?(2)在图 13.1-5 中,你能测量出线段AA,BB与直线l的夹角吗?它们与直线l垂直吗?你能用刻度尺测量出点A与A到直线l的距离吗?点B与B到直线l呢?【师生活动】教师引导学生从位置上观察三条线段与直线MN的关系,教师利用投影动画展示A与A等重合的情形,线段垂直平分线的定义揭示

14、了线段与对称轴MN的关系:一是垂直;二是平分.从而归纳出轴对称的性质.设计意图 利用动画演示,让学生一目了然,便于接受,采用多种方法丰富学习渠道,加深了对知识的理解和掌握.思路二观察教材中图13.1-4,线段AA与直线MN有怎样的位置关系?你能说明理由吗?引导学生说出如下关系:AP=PA,MPA=MPA=90.类似地,点B与点B,点C与点C是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗?结合学生发表的观点,教师总结并板书:对称轴经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.在这个基础上,教师给出线段的垂直平分线的概念,然后把上述规律概括成图形轴对称的性质.上述性质是对两个成轴对称的图形来说

15、的,如果是一个轴对称图形,那么它的对称点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系呢?(结合教材图13.1-5 让学生说明)从而得出:类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.知识拓展 平面镜看到的影像,也可以理解为是一种对称现象.例如:一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上,人眼O的位置如图所示,有三个物体A,B,C放在镜子的前面,人眼能从镜子中看见哪个物体?这道题是轴对称在实际中的应用,关键是建立相应的轴对称图形的数学模型,再利用轴对称知识来解决.物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点,人眼从镜子里所能看见的物体关于镜面的对称点,必须在人眼的视线范围内,所以分别

16、作A,B,C三点关于直线MN的对称点A,B,C.显然人从镜子里只能看见A,B两个物体.1.轴对称图形.轴对称图形沿对称轴折叠,两旁的部分能够互相重合.轴对称图形的对称轴是经过图形的某直线,可能只有一条,也可能不止一条.2.轴对称图形与两个图形成轴对称既有区别又有联系.区别:轴对称图形是指一个图形的特征,成轴对称是两个图形的位置关系.联系:二者都有对称轴,如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;如果把轴对称图形对称轴两旁的部分看成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称.3.轴对称的性质:对称轴垂直平分对应点所连的线段.1.一名同学想用正方形和圆设计一个图案,要求整个图案关

17、于正方形的某条对角线所在直线对称,那么下列图案中不符合要求的是()答案:D 2.如图所示,正方形地砖的图案是轴对称图形,该图形的对称轴有()A.1 条B.2 条C.4 条D.8 条解析:这是一个正八边形,对称轴有4 条.故选 C.3.如图所示的是经过轴对称变换后所得的图形,与原图形相比()A.形状没有改变,大小没有改变B.形状没有改变,大小有改变C.形状有改变,大小没有改变D.形状有改变,大小有改变解析:轴对称变换不改变图形的形状与大小,与原图形相比,形状没有改变,大小没有改变.故选 A.4.如图所示,由 4 个大小相同的正方形组成的L 形图案.(1)请你改变1 个正方形的位置,使它变成轴对称

18、图形;(2)请你再添加一个小正方形,使它变成轴对称图形.解:(1)(2)答案不唯一,如图所示.13.1.1轴对称一、探究轴对称1.轴对称图形2.轴对称二、垂直平分线1.垂直平分线2.轴对称的性质一、教材作业【必做题】教材第 60 页练习第1,2 题.【选做题】教材第 64 页习题 13.1 第 1,2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列图案中,不是轴对称图形的是()2.下面几何图形中,一定是轴对称图形的有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3.如图所示,下面图形中不是轴对称图形的是()【能力提升】4.如图所示,在下面一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线上的空白处填上恰

19、当的图形.5.如图所示,在长方形的台球桌面上,选择适当的角度打击白球,可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中,此时 1=2,3=4,并且 2+3=90,4+5=90.如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角5=30,那么 1 应该等于多少度才能保证黑球准确入袋?请说明理由.【拓展探究】6.如图所示,ABC与DEF关于直线MN对称,其中C=90，AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm.(1)线段AD与MN的关系是什么?(2)求F的度数;(3)求ABC的周长和DEF的面积.【答案与解析】1.A 2.C(解析:圆弧、角、等腰梯形都是轴对称图形.故选 C.)3.B 4.(解析:从图中可以

20、发现所有的图形都是轴对称图形,而且图形从左到右分别是数字1,2,3,4,5,7,所以画一个轴对称图形且数字为6 即可.)5.解:如图所示,5=30,7=5=30，3=4,7=6=30,2=6=30,1=2=30.答:1 等于 30 度时,才能保证黑球能准确入袋.6.解:(1)ABC与DEF关于直线MN对称,MN垂直平分AD.(2)由题意得ABCDEF,F=C=90.(3)AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm,DE=AB=10 cm,ABC的周长=6+8+10=24(cm);DEF的面积=68=24(cm2).轴对称图形是一个较抽象的概念,教师在教学中根据学生的年龄特点,设计了这堂课

21、,在教学中始终以学生为主体,着力引导学生通过操作、观察、比较、思考、交流、讨论等活动,主动获取知识,掌握和理解轴对称图形的概念和基本特点,并在自主探索中体会到探索之趣,成功之乐,培养了学生学习兴趣,更发展了学生的探索能力.1.学生对轴对称图形和轴对称的概念容易混淆,教师分析的不到位.2.对于轴对称和轴对称的性质教师还可以适当的加以延伸.3.对于知识的归纳和总结教师说得多,学生说得少.对于轴对称图形和轴对称这两个概念要指导学生认真地加以区分,可以从两方面考虑:一是概念;二是它们的区别和联系,要让学生明确成轴对称的两个图形如果看成一个整体,它就是一个轴对称图形.对于它们的性质,一定要让学生自己去发

22、现、归纳,在不足的情况下,让学生互相补充,能让学生说出来的,教师绝不包办代替,给学生自由思考和交流的空间,让他们自主探索,全面发展.练习(教材第 60 页)1.解:(1)(2)(3)(5)是轴对称图形,(1)(2)(3)有一条对称轴;(5)有四条对称轴.2.解:(1)(3)两个图案是轴对称的,对称轴各有一条,对称点略.(2014 泉州中考)正方形的对称轴的条数为()A.1 B.2 C.3 D.4 答案D(2014 兰州中考)在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是()答案A(2014 泰安中考)下列四个图形,其中是轴对称图形,且对称轴的条数为2 的图形的个数是()A.1 B

23、.2 C.3 D.4 答案C(2014 南宁中考)下列图形中,是轴对称图形的是()答案D 13.1.2线段的垂直平分线的性质1.理解线段垂直平分线的性质和判定方法.2.能利用轴对称的性质作出一个图形的对称轴.1.在观察、操作、思考的基础上,让学生掌握线段垂直平分线的性质和判定方法.2.掌握作轴对称图形对称轴的方法.增强学生学习的兴趣,培养严谨的学习态度,增强学习的自信心.【重点】1.线段垂直平分线的性质和判定方法.2.轴对称图形的对称轴的确定.【难点】线段的垂直平分线的性质和判定方法的应用.第课时1.掌握线段的垂直平分线的性质和判定.2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.通过经历线段

24、的垂直平分线的性质和判定的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识.【重点】1.线段的垂直平分线的性质和判定.2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.【难点】灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.【教师准备】三角尺、圆规、直尺.【学生准备】三角尺、圆规、直尺.导入一:我们已经知道了线段是轴对称图形,线段的垂直平分线就是它的对称轴.那么线段的垂直平分线有什么性质呢?这节课我们就来研究它.导入二:为方便居民的出行,准备在小河上修建一座桥.为了让A和B两个社区的居民到桥的距离都相等,建桥的位置应该选在哪?过渡语 已知线段a,以a为底边的等腰三角形有几

25、个?如果用三角尺和刻度尺,你能画出至少三个吗?利用三角尺、刻度尺作出线段的垂直平分线,在垂直平分线上取点,连接可得满足条件的等腰三角形.在这里,我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.那么这条性质又是怎么证明的呢?下面我们一起来研究.线段垂直平分线的性质思路一1.整体感知请同学们先根据这个命题画出图形(如图所示),写出已知、求证.2.师生互动【互动 1】【师】这是证明线段相等的命题,回忆以前证明角的平分线的性质的方法,会得到什么启发?【生】可以利用“SAS”证明PACPBC,从而得到PA=PB.【师】很好,这样就得到了线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段

26、两个端点的距离相等.知识拓展(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有这种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可.(3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可以当作等腰三角形的一种判定方法.【互动 2】【师】反过来,与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?我们也可以通过“证明”来解决这个问题.【生】画出图形(如图所示),写出已知,求证.【师】为了证明Q点在AB的垂直

27、平分线上,可以过Q作辅助线,先构造“垂直或平分”中的一个关系,去证明另一个.特别要注意防止“过Q作线段AB的垂直平分线”这种错误.你能根据提示,说出证明过程吗?【生】【师】在证明过程中,我们又得到了线段垂直平分线的判定方法:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.【生】判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上,那么怎么才能判定这条直线就是线段的垂直平分线呢?【师】这个问题提得很好,大家想一想,几点确定一条直线?【生】两点.【师】所以,只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方法的条件,那么这条直线就一定是线段的垂直平分线.知识拓展(1)要证明某条直线是某条线段的垂直平分线,有两种证明方

28、法:一是根据定义去证明;二是根据“两点确定一条直线”,证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线.【互动 3】【师】(出示例 1)尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB外一点C.求作:AB的垂线,使它经过点C.【师】指导作法,师生共同完成,让学生思考:为什么直线CF就是所求作的垂线?【生】讨论,小组代表发言.思路二1.线段的垂直平分线的性质(教师出示教材第61 页探究,让学生测量,思考有什么发现?)如图所示,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,到点A与点B的距

29、离,你有什么发现?学生回答,教师小结:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.性质的证明:(教师讲解题意并在黑板上画出图形)上述问题用数学语言可以这样表示:如图所示,设直线MN是线段AB的垂直平分线,点C是垂足,点P是直线MN上任意一点,连接PA,PB,我们要证明的是PA=PB.教师分析证明思路:图中有两个直角三角形,APC和BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证得PA=PB.教师要求学生自己写已知、求证,并证明.(学生证明完后教师板书证明过程供学生对照)已知:MNAB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上任意一点.求证:PA=PB.证明:在APC和BPC中,PC=PC(公共边

30、),PCB=PCA(垂直定义),AC=BC(已知),APCBPC(SAS).PA=PB(全等三角形的对应边相等).因为点P是线段的垂直平分线上一点,于是就有:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.2.线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗?它是真命题吗?这个命题不是“如果那么”的形式,要写出它的逆命题,需分析原命题的条件和结论,将原命题写成“如果那么”的形式,逆命题就容易写出.鼓励学生找出原命题的条件和结论.原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”.此时,逆命题就很容易写出来,“如果有一个点与线段两个端点的距离相等

31、,那么这个点在这条线段的垂直平分线上”.写出逆命题后,就想到判断它的真假.如果真,那么需证明它;如果假,那么需用反例说明.请同学们自行在练习本上完成.学生给出了如下的四种证法.已知:线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上.证法 1:过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,RtPAC RtPBC(HL).AC=BC,即P点在AB的垂直平分线上.证法 2:取AB的中点C,过P,C作直线.PA=PB,PC=PC,AC=CB,APCBPC(SSS).PCA=PCB(全等三角形的对应角相等).又PCA+PCB=180，PCA=PCB=90,即PCAB,P

32、点在AB的垂直平分线上.证法 3:过P点作APB的平分线,PA=PB,1=2,PC=PC,APCBPC(SAS).AC=BC,PCA=PCB(全等三角形的对应边相等,对应角相等).又PCA+PCB=180，PCA=PCB=90，P点在AB的垂直平分线上.证法 4:过P点作线段AB的垂直平分线PC.AC=CB,PCA=PCB=90,P在AB的垂直平分线上,四种证法由学生表述后,有学生提问:“前三个同学的证明是正确的,而第四个同学的证明我有点弄不懂.”【师生共析】如图(1)所示,PDAB,D是垂足,但D不平分AB;如图(2)所示,PD平分AB,但PD不垂直于AB.这说明一般情况下,“过P作AB的垂

33、直平分线”是不可能实现的,所以第四个同学的证法是错误的.从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题,我们把它称为线段的垂直平分线的判定.我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线,现在我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定,能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点,这样才能确定已知线段的垂直平分线.下面我们一同来写出已知、求作、作法,体会作法中每一步的依据.尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB外

34、一点C(如图所示).求作:AB的垂线,使它经过点C.作法:(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁.(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E.(3)分别以点D和点E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线,【师】根据上面作法中的步骤,想一想,为什么直线CF就是所求作的垂线?请与同伴进行交流.【生】从作法的第(2)(3)步可知CD=CE,DF=EF,C,F都在AB的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定).CF就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线).【师】我们曾用刻度尺找线段的中点,当我们学习了线段的垂直平分线的作法后,一旦

35、垂直平分线作出,线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点,所以我们也用这种方法找线段的中点.1.线段的垂直平分线的判定与性质互为逆命题.2.线段的垂直平分线的集合定义包含两个意思.(1)到线段两个端点的距离相等的点都在线段的垂直平分线上.(2)在线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.1.如图所示,ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4 cm,ABD的周长为14 cm,则ABC的周长为()A.18 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm 解析:DE是AC的垂直平分线,AD=CD,ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,AE=4 cm,AC=2AE

36、=24=8(cm),ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22(cm).故选 B.第 1 题图第 2 题图2.如图所示,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是()A.AB=ADB.CA平分BCDC.AB=BDD.BECDEC解析:AC垂直平分BD,AB=AD,BC=CD,EB=DE,在 RtBCE和 RtDCE中,RtBCERtDCE(HL),BCE=DCE,CA平分BCD.故选 C.3.如图所示,在ABC中,AB=AC,A=36，AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下列结论错误的是()A.BD平分ABCB.BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=B

37、CD.点D是线段AC的中点解析:在ABC中,AB=AC,A=36,ABC=C=72,AB的垂直平分线是DE,AD=BD,ABD=A=36,DBC=ABC-ABD=72-36=36=ABD,BD平分ABC,故 A 正确;BCD的周长为BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB,故 B正确;DBC=36,C=72,BDC=180-DBC-C=72,BDC=C,BD=BC,AD=BD=BC,故 C 正确;BDCD,ADCD,点D不是线段AC的中点,故 D 错误.故选 D.4.如图所示,已知DE是AC的垂直平分线,AB=10 cm,BC=11 cm,求ABD的周长.解析:先根据线段垂直

38、平分线的性质得出AD=CD,故可得出BD+AD=BD+CD=BC,进而可得出结论.解:DE垂直平分AC,AD=CD,BD+AD=BD+CD=BC=11 cm,又AB=10 cm,ABD的周长=AB+BC=10+11=21(cm).线段垂直平分线的性质性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.一、教材作业【必做题】教材第 62 页练习第1,2 题.【选做题】教材第 64 页习题 13.1 第 6 题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度

39、为()A.6 B.5 C.4 D.3 第 1 题图第 2 题图2.如图所示,ABC的周长为30 cm,把ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折痕交BC边于点D,交AC边于点E,连接AD,若AE=4 cm,则ABD的周长是 ()A.22 cm B.20 cm C.18 cm D.15 cm 3.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有()A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分ACB第 3 题图第 4 题图4.如图所示,Rt ABC中,C=90,斜边AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,AE平分BAC,那么下列关系式中不成立的是()A.B=CAEB.

40、DEA=CEAC.B=BAED.AC=2EC5.某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目,现要在公园内建一个售票中心,使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,请在图中确定售票中心的位置.【能力提升】6.如图所示,ABC中,AB=AC=5,AB的垂直平分线DE分别交AB,AC于E,D,(1)若BCD的周长为8,求BC的长;(2)若BC=4,求BCD的周长.第 6 题图第 7 题图7.如图所示,在ABC中,AB=AC,AD垂直平分EF.(1)求证BE=CF;(2)将条件“AD垂直平分EF”换成另一个条件,使得结论BE=CF仍成立,请直接写出这个条件.【拓展探究】8.如图所示,ABC的两边A

41、B,AC的垂直平分线分别交BC于D,E,若BAC+DAE=150,求BAC的度数.【答案与解析】1.B(解析:直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,PB=PA,而已知线段PA=5,PB=5.故选B.)2.A(解析:由折叠知DE垂直平分AC,AE=CE=4 cm,AD=CD,ABD的周长=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=30-8=22(cm).)3.A(解析:AC=AD,BC=BD,点A,B在线段CD的垂直平分线上,AB垂直平分CD.故选 A.)4.D(解析:A.EDAB,且BD=AD,B=DAE,又AE平分BAC,CAE=DAE.故B=CAE,正确;B.在ADE

42、与ACE中,CAE=DAE,C=ADE=90,根据三角形内角和定理得DEA=CEA,正确;C.EDAB,且BD=AD,B=BAE,正确;D.不一定成立.故选 D.)5.解:如图所示,连接AB,AC;分别作线段AB,AC的垂直平分线,两垂直平分线相交于点P,则P即为售票中心的位置.6.解:(1)AB=AC=5,DE垂直平分AB,故BD=AD,BD+CD=AD+CD=5.BCD的周长为8,BC=3.(2)BC=4,BD+CD=5,BCD的周长=BD+CD+BC=9.7.(1)证明:AB=AC,AD垂直EF,根据直角三角形全等,得BD=CD.AD平分EF,DE=DF.BE=CF.(2)解:换成条件A

43、E=AF(答案不唯一).8.解:ABC的两边AB,AC的垂直平分线分别交BC于D,E,DA=DB,EA=EC,B=DAB,C=EAC(等边对等角,下节课会学到).BAC+DAE=150,B+C+2DAE=150.B+C+BAC=180,180-BAC+2DAE=150,即BAC-2DAE=30.由组成方程组解得BAC=110.在导入新课这一环节上教师先让学生作一个以线段a为底的等腰三角形,直接说明此举是利用了线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等,然后引导学生证明.在这一过程中让学生主动积极地参与到教学中来,使学生通过作图、观察、量一量得出结论.从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、

44、发现、探索的过程.在教学时,引导学生分析性质定理的题设与结论,画图时写出已知、求证,通过分析由学生得出证明性质定理的方法,这个过程既是探索过程也是调动学生动脑思考的过程,只有学生动脑思考了,才能真正理解线段垂直平分线的性质定理以及证明方法.在此基础上再提出如果有两点到线段的两端点的距离相等,这样的点应在什么样的直线上?由条件得出这样的点在线段的垂直平分线上,从而引出性质定理的逆定理,由上述两个定理使学生进一步知道线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合.这样可以帮助学生认识理论来源于实践又服务于实践的道理,也能提高他们学习的积极性,加深对所学知识的理解.在教学过程中,教师没

45、有设计相应的习题,只注意对知识的讲解,时间安排得过于紧凑,这样整个教学过程是以讲授新知为主,应该边进边练,讲练结合,这样才能提高学生对知识的理解和掌握程度.讲是一方面,更主要的是在学生理解的基础上加以巩固和提升.在教学过程中教师可针对线段垂直平分线的性质定理和判定定理设计对应的例题,对于尺规作图的应用,教师可设计生活中的实际问题,让学生确定位置或点的习题.另外要注重线段的垂直平分线的性质定理和逆定理的比较,让学生加深印象,让学生明确什么时候用性质定理,什么时候用判定定理.练习(教材第 62 页)1.解:AB=AC=CE,理由如下:因为ADBC,BD=DC,所以AD是线段BC的垂直平分线,所以A

46、B=AC.又因为点C在AE的垂直平分线上,所以AC=CE,所以AB=AC=CE.AB+BD=DE,理由是:因为BD=DC,AB=AC=CE,所以AB+BD=DC+CE=DE,即AB+BD=DE.2.解:直线AM是线段BC的垂直平分线,理由如下:因为AB=AC,所以点A在线段BC的垂直平分线上.因为MB=MC,所以点M也在线段BC的垂直平分线上.又因为两点确定一条直线,所以直线AM是线段BC的垂直平分线.线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.如果一个点是线段垂直平分线上的点,那么这个点到这条线段两个端点的距离相等.D是线段AB垂直平分线上任意一点,要证明垂直平分线上每一点都具有这样的性质,只需要在图形上任取一点作代表,这种证明的思想是我们所应掌握的.这个结论的成立主要是通过证三角形全等,AODBOD,所以DA=DB.随着D在垂直平分线上的移动,两个三角形的形状在发生变化,但这两个三角形始终是全等的(如图所示).符号语言:(1)D是线段AB垂直平分线上的点,DA=DB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等).(2)ODAB,AO=BO,DA=DB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等).