2023年平面向量应用举例教学案.pdf

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1、平面向量应用举例教学案 2、5 平面向量应用举例 一、教材分析 向量概念有明确的物理背景与几何背景,物理背景就是力、速度、加速度等,几何背景就是有向线段,可以说向量概念就是从物理背景、几何背景中抽象而来的,正因为如此,运用向量可以解决一些物理与几何问题,例如利用向量计算力沿某方向所做的功,利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。二、教案目标 1、通过应用举例,让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-向量法与坐 标法,可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”与生活中的实际问题 2、通过本节的学习,让学生体验向量在解决几何与物理问题中的工具作用,增强学生的 积极主动的

2、探究意识,培养创新精神。三、教案重点难点 重点:理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何与物理问题、难点:选择适当的方法,将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决、四、学情分析 在平面几何中,平行四边形就是学生熟悉的重要的几何图形,而在物理中,受力分析则就是其中最基本的基础知识,那么在本节的学习中,借助这些对于学生来说,非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。五、教案方法 1、例题教案,要让学生体会思路的形成过程,体会数学思想方法的应用。2、学案导学:见后面的学案 3、新授课教案基本环节:预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案

3、、布置预习 六、课前准备 1、学生的学习准备:预习本节课本上的基本内容,初步理解向量在平面几何与物理中的 应用 2、教师的教案准备:课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。七、课时安排:1 课时 八、教案过程(一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教案具有了针对性。(二)情景导入、展示目标 教师首先提问:(1)若 O为ABC重心,则OAuuu r+OBuuu r+OCuuu r=0r(2)水渠横断面就是四边形ABCD,DCuuur=12ABuuu v,且|ADuuu v|=|BCuuu v|,则这个四边形 为等腰梯形、类比几何元素之间的关系,您会想到向量运

4、算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力、为什么？教师:本节主要研究了用向量知识解决平面几何与物理问题;掌握向量法与坐标法,以及用向量解决平面几何与物理问题的步骤,已经布置学生们课前预习了这部分,检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。(设计意图:步步导入,吸引学生的注意力,明确学习目标。)(三)合作探究、精讲点拨。探究一:()向量运算与几何中的结论若abrr,则|abrr,且,a br r所在直线平行或重合相类比,您有什么体会？()由学生举出几个具有线性运算的几何实例.教师:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出平面向量应用举例教

5、学案 来:例如,向量数量积对应着几何中的长度、如图:平行四边行ABCD中,设ABuuu var,ADuuu vbr,则ACABBCab rruuu vuuu vuuu v(平移),DBABADab rruuu vuuu vuuu v,222|ADbADruuu vuuu v(长度).向量ADuuu v,ABuuu v的夹角为DAB、因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题。通过向量运算研究几何运算之间的关系,如距离、夹角等.把运算结果翻译成几何关系.本节课,我们就通过几个具体实例,来说明向量方法在平面几何中的运用 例 1.证明:平行四边形两条对角线的平方与等于四条边的平方与.已知:平行四边形

6、 ABCD.求证:222222ACBDABBCCDDA.分析:用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,我们常常要考虑向量的数量积.注意到ACABADuuuu vuuuvuuuu v,DBABADuuu u vuuuvuuuu v,我们计算2|ACuuuu v与2|BDuuu u v.证明:不妨设AB uuuva,AD uuuu vb,则 AC uuuu va+b,DB uuu u va-b,2|ABuuuv|a|2,2|ADuuuu v|b|2.得2|ACACACuuuu vuuuu v uuuu v(a+b)(a+b)=a a+a b+b a+b b=|a|2+2a b+|b|2.同理 2|D

7、Buuu u v|a|2-2a b+|b|2.+得 2|ACuuuu v2|DBuuu u v2(|a|2+|b|2)=2(2|ABuuuv2|ADuuuu v).所以,平行四边形两条对角线的平方与等于四条边的平方与.师:您能用几何方法解决这个问题不？让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况。师:由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,她把一个思辨过程变成了一个算法过程,可以按照一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度、用向量方法解决平面几何问题,主要就是下面三个步骤,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;通过向量运

8、算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;把运算结果“翻译”成几何关系.变式训练:ABC中,D、E、F 分别就是 AB、BC、CA 的中点,BF 与 CD 交于点 O,设,.ABa ACbuuu rr uuu rr(1)证明 A、O、E 三点共线;(2)用,a br r表示向量AOuuu r。例 2,如图,平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别就是 AD、DC 边的中点,BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点,您能发现 AR、RT、TC 之间的关系不？分析:由于 R、T 就是对角线 AC 上两点,所以要判断 AR、RT、TC之间的关系,只需要分别判断 AR、RT、TC 与 AC

9、 之间的关系即可.解:设AB uuuva,AD uuuu vb,则AC uuuu va+b.平面向量应用举例教学案 由ARuuuv与ACuuuu v共线,因此。存在实数 m,使得 ARuuuv=m(a+b).又 由BRuuu v与BEuuuv共线 因此 存在实数 n,使得 BRuuu v=nBEuuu v=n(12b-a).由ARABBRuuuvuuuvuuu v=AB uuuv nBEuuu v,得 m(a+b)=a+n(12b-a).整理得 (1)mn a1()2mnb0.由于向量 a、b 不共线,所以有 10102mnmn ,解得1323mn.所以 13ARACuuuvuuuu v.同理

10、 13TCACuuu vuuuu v.于就是 13RTACuuuvuuuu v.所以 ARRTTC.说明:本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法,待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法.探究二:(1)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力、(2)在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力、这些问题就是为什么？师:向量在物理中的应用,实际上就就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用所获得的结果解释物理现象.例 3.在日常生活中,您就是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.您能从数学的角度解释这种

11、现象不？分析:上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型.只要分析清楚 F、G、三者之间的关系(其中 F 为 F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.解:不妨设|F1|=|F2|,由向量加法的平行四边形法则,理的平衡原理以及直角三角形的指示,可以得到|F1|=|2cos2Guu v.通过上面的式子我们发现,当由0 180oo逐渐变大时,2由0 90oo逐渐变大,cos2的值由大逐渐变小,因此,|F1|有小逐渐变大,即F1、F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.平面向量应用举例教学案 师:请同学们结合刚才这个问题,思考下面的问题:为何值时,|F1|最小,最小值就是多少？|F1|能等于|G|

12、不？为什么？例 4 如图,一条河的两岸平行,河的宽度500d m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用的时间就是多少(精确到 0、1min)？分析:如果水就是静止的,则船只要取垂直于对岸的方向行驶,就能使行驶航程最短,所用时间最短.考虑到水的流速,要使船的行驶航程最短,那么船的速度与水流速度的合速度 v 必须垂直于对岸.(用 几何画板演示水流速度对船的实际航行的影响)解:|vu v=2212|96vvu vu u v(km/h),所以,0.5603.1|96dtvu v(min).答:行驶航程最短时,所用的时间就是

13、 3、1 min.本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释,即“分析”中给出的穿必须垂直于河岸行驶,这就是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸,分析清楚这种关系侯,本例就容易解决了。变式训练:两个粒子 A、B 从同一源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为(4,3),(2,10)ABss,(1)写出此时粒子 B 相对粒子 A 的位移 s。(2)计算 s 在As方向上的投影。九、板书设计 2、5 平面向量应用举例 例 用向量法解平面几何 例 2 变式训练 问题的“三步曲”例 3、例 4 变式训练 十、教案反思 本小节主要就是例题教案,要让学生体会思路的形成过程,体会数学思想方法的应用。教案

14、中,教师创设问题情境,引导学生发现解题方法,展示思路的形成过程,总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思,从而提高学生综合应用知识分析与解决问题的能力、十一、学案设计(见下页)2、5 平面向量应用举例 课前预习学案 一、预习目标 预习平面向量应用举例,体会向量就是一种处理几何问题、物理问题等的工具,建立实际问题与向量的联系。二、预习内容 平面向量应用举例教学案 阅读课本内容,整理例题,结合向量的运算,解决实际的几何问题、物理问题。另外,在思考一下几个问题:1.例 1 如果不用向量的方法,还有其她证明方法不？2.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”就是什么？3.例 3 中,为何值时,|F1|最

15、小,最小值就是多少？|F1|能等于|G|不？为什么？三、提出疑惑 同学们,通过您的自主学习,您还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习内容 1、运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何与解读 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角与距离等问题、2、运用向量的有关知识解决简单的物理问题、二、学习过程 探究一:()向量运算与几何中的结论若abrr,则|abrr,且,a br r所在直线平行或重合相类比,您有什么体会？()举出几个具有线性运算的几何实例.例 1.证明:平行四边形两条对角线的平方与等于四条边的平方与.已知:平行四边形

16、ABCD.求证:222222ACBDABBCCDDA.试用几何方法解决这个问题 利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1）建立平面几何与向量的联系,（2）通过向量运算,研究几何元素之间的关系,（3）把运算结果“翻译”成几何关系。变式训练:ABC中,D、E、F 分别就是 AB、BC、CA 的中点,BF 与 CD 交于点 O,设,.ABa ACbuuu rr uuu rr(1)证明 A、O、E 三点共线;(2)用,.a br r表示向量AOuuu r。例 2,如图,平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别就是 AD、DC 边的 中点,BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点,您能发现

17、 AR、RT、TC 之间的关系不？探究二:两个人提一个旅行包,夹角越大越费力、在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力、这些力的问题就是怎么回事？例 3.在日常生活中,您就是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.您能从数平面向量应用举例教学案 学的角度解释这种现象不？请同学们结合刚才这个问题,思考下面的问题:为何值时,|F1|最小,最小值就是多少？|F1|能等于|G|不？为什么？例 4 如图,一条河的两岸平行,河的宽度500d m,一艘船从 A 处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,问

18、行驶航程最短时,所用的时间就是多少(精确到 0、1min)？变式训练:两个粒子 A、B 从同一源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为(4,3),(2,10)ABss,(1)写出此时粒子 B 相对粒子 A 的位移 s。(2)计算 s 在As方向上的投影。三、反思总结 结合图形特点,选定正交基底,用坐标表示向量进行运算解决几何问题,体现几何问题 代数化的特点,数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致,又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题与物理问题;掌握向量法与坐标法,以及用向量解决实际问题的

19、步骤。四、当堂检测 1、已知060,3,2CbaABC中，,求边长 c。2、在平行四边形 ABCD 中,已知 AD=1,AB=2,对角线 BD=2,求对角线 AC的长。3、在 平 面 上 的 三 个 力321,FFF作 用 于 一 点 且 处 于 平 衡 状态,2121,226,1FFNFNF与的夹角为o45,求:(1)3F的大小;(2)1F与3F夹角的大小。课后练习与提高 一、选择题 1、给出下面四个结论:若线段 AC=AB+BC,则向量ACABBCuuu vuuu vuuu v;若向量ACABBCuuu vuuu vuuu v,则线段 AC=AB+BC;若向量ABuuu v与BCuuu v

20、共线,则线段 AC=AB+BC。若向量ABuuu v与BCuuu v反向共线,则BCABBCAB、其中正确的结论有 ()A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 平面向量应用举例教学案 2、河水的流速为 2sm,一艘小船想以垂直于河岸方向 10sm的速度驶向对岸,则小 船的静止速度大小为 ()A、10sm B、262sm C、64sm D、12sm 3、在ABC中,若)()(CBCACBCA=0,则ABC为()A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、无法确定 二、填空题 4、已知ABC两边的向量21,eACeAB,则 BC 边上的中线向量AM用1e、2e表示为 5、已知10321321OPOPOP，OPOPOP,则1OP、2OP、3OP两两夹角就是