2023年第22章二次函数精品讲义.pdf

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1、第二十二章 二次函数 22.1.1 二次函数的定义 教 学 目 标 知识 与技能 1.能结合具体情景体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.过程 与方法 通过具体问题情境中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式,在类比一次函数表达式时感受二次函数中二次项系数 a0 的重要特征。情感态度与价值观 在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣。教学重点 结合具体情景体会二次函数的意义，掌握二次函数的概念和解析式 教学难点 1 能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系。2 重视二次函数解析式中 a 0 这一隐含条件。教 学 互 动 设 计 备 注

2、 复习：1、一次函数的定义，一般形式？2当 x=2 时，一次函数 y=ax 的的值是 4，求 a 的值。新课：问题 1 正方体的棱长为 x，那么正方体的表面积 y 与 x 之间有什么关系？问题 2 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？问题 3 某种产品现在的年产量是 20t，计划今后两年增加产量如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应该怎样表示？观 察 得到的三个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？概 括 它们都是用自变量的二次多项式来表示的

3、形如 yax2bxc（a、b、c 是常数，a0）的函数叫做 x 的二次函数 二次函数的一般形式：yax2bxc（a、b、c 是常数，a0）例 1、下列函数中，哪些是二次函数？(1)2xy (2)21xy (3)122xxy（4）)1(xxy （5）)1)(1()1(2xxxy 析：判断二次函数的关键：自变量的二次多项式，。（右边形如一元二次方程）22.1.2 二次函数 y ax2 的图象和性质 例 2、若函数mmxmy2)1(2为二次函数，则 m的值为_ 析：二次项系数不为 0，自变量最高二次。例 3、已知二次函数 yax2bxc，当 x0 时，y0；当 x1 时，y2，当 x1时，y0求二次

4、函数的解析式。分析：把各组值代入，组成方程组，解出 a、b、c 的值，即求出解析式。练 习：1、已知一个直角三角形的两条直角边长的和为 10 cm 当它的一条直角边长为 4.5 cm 时，求这个直角三角形的面积；设这个直角三角形的面积为 S cm2，其中一条直角边长为 x cm，求 S 关于 x 的函数关系式 2、已知正方体的棱长为 x cm，它的表面积为 S cm2，体积为 V cm3 分别写出 S 与 x、V与 x 之间的函数关系式；这两个函数中，哪个是 x 的二次函数？3、设圆柱的高为 6 cm，底面半径 r cm，底面周长 C cm，圆柱的体积为 V cm 3 分别写出 C关于 r、V

5、关于 r、V关于 C的函数关系式；这三个函数中，哪些是二次函数？4、正方形的边长为 4，若边长增加 x，则面积增加 y，求 y 关于 x 的函数关系式这个函数是二次函数吗？5、已知二次函数 yax2bxc，当 x0 时，y0；当 x1 时，y0，当 x1 时，y2求二次函数的解析式。小结：1、二次函数的定义？一般形式？2、求二次函数的解析式的方法？3、判断二次函数的方法？作业：1.已知二次函数 yax2c，当 x2 时，y4；当 x1时，y3求 a、c 的值 2.一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长 2.5 m 求隧道截面的面积 S（m2）关于上部半圆半径

6、r（m）的函数关系式；求当上部半圆半径为 2 m 时的截面面积（取 3.14，结果精确到 0.1 m2）教学 反思 （第 2 题）教 学 目 标 知识 与技能 1会用描点法画二次函数 y ax2的图像，理解抛物线的有关概念 2掌握二次函数2axy 的性质，能确定二次函数 y ax2的表达式 过程 与方法 通过画具体的简单二次函数的图像，探索出二次函数 y ax2的性质及图像特征 情感态度与价值观 使学生经历探索二次函数 y ax2图像性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。教学重点 1 二次函数2axy 的图象的画法及性质。2 能确定二次函数 y ax2的解析式。教学难点 1 用描

7、点法画二次函数 y ax2的图像，探究其性质。2 能依据二次函数 y ax2的有关性质解决问题。教 学 互 动 设 计 备 注 复习：二次函数的定义？一般形式？判断方法？回 顾 上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质 在研究一次函数时，曾借助图象了解了一次函数的性质对二次函数的研究，我们也从图象入手 1.二次函数 yax2的图象与性质 我们知道，一次函数的图象是一条直线 那么，二次函数的图象是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数 y ax2 的图象与性质 例 1、画二次函数 yx2的图象 解：列表（一般取 7 组值

8、，或更多）在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次（按 x 由小到大）连结各点（连线），得到函数 yx2的图象，如图所示 提问：通过画图和观察图象，你能发现图象有什么 特征？像这样的曲线通常叫做抛物线（二次函数 的图象抛物线）它有一条对称轴，（对称轴是 y 轴或直线 x=0）抛物线与它的对称轴的交点叫做 抛物线的顶点（抛物线上最高或最低点二次 函数的最大值或最小值）做一做 （1）在同一直角坐标系中，画出函数 yx2与 yx2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2）在同一直角坐标系中，画出函数 y2x2、y2x2的图象观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？22.1

9、.3 二次函数 yax2k 的图象和性质(1)（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概 括 函数 y ax2 的图象是一条抛物线，它关于 y 轴对称它的顶点坐标是（0，0）当 a0 时，抛物线 yax2开口向上在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升顶点是抛物线上位置最低的点 即函数 yax2的性质：当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x0 时，函数值 y随 x 的增大而增大；当 x0 时，函数 y ax2 取得最小值，最小值 y0 当 a0 时，抛物线 yax2开口向_在对称轴的左边，曲线自左向右_；在对称轴的右边，曲线自左向右_顶点是

10、抛物线上位置的最_点 当 x_时，函数 y ax2 取得最_值，最值 y_ 即函数 yax2的性质：当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而_；当 x0 时，函数值y 随 x 的增大而_；当 x0 时，函数 y ax2 取得最_值，最值 y_ 练 习 P32 小结：1、二次函数的图象的名称叫什么？怎样画它的图象？2、抛物线的图象特征？3、二次函数的性质？4、如何求二次函数的函数值或自变量的值？作业：1、不画图象，说出抛物线 y8x2和 y5x2的对称轴、顶点坐标、开口方向和最值以及取得最值时自变量的值。2、已知二次函数 y8x2 当自变量 x 的值分别为 2、-3 时，求函数 y 的值；当函

11、数 y 的值为-32 时，求当自变量 x 的值 3、在同一直角坐标系中，画出函数 y2x2与 y2x 21 的图象；并看看它们有什么位置关系？教学 反思 教 学 知识 与技能 1能画出二次函数 yax2k 的图像.2掌握二次函数2axy 与 yax2k 图像之间的联系，3.掌握二次函数 yax2k 图像及其性质.目 标 过程 与方法 通过画二次函数简单具体的二次函数 yax2k 的图像,感受他们与2axy 的联系,并由此得到2axy 与 yax2k 的图像及性质的联系与区别.情感态度与价值观 在通过类比的方法获取二次函数 yax2k 的图像及其性质过程中,进一步增强学生的数形结合思想,体会通过

12、探究获得知识的乐趣.教学重点 1.掌握二次函数2axy 与 yax2k 图像之间的联系.2.掌握二次函数 yax2k 图像及其性质.教学难点 二次函数 yax2k 的性质的基本应用.教 学 互 动 设 计 备 注 复习：填空 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的单调性 yax2 a0 a0 引入：由课外探究：“在同一直角坐标系中，画出函数 y2x2与 y2x 21 的图象；并看看它们有什么位置关系？”我们发现它们两者的图象非常相似，只是位置不同而也。现在我们来看一看。例 1、同一直角坐标系中，画出函数 y2x2与 y2x 21 的图象 解：列表 描点、连线，画出这两个函数的图象。（板演画图）观

13、察 由列表可以看出：当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概 括 通过观察，我们发现：当自变量 x 取同一数值时，函数 y2x21 的函数值都比函数 y2x2的函数值大反映在图象上，函数 y2x21 的图象上的点都是由函数 y2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位 函数 y2x21 与 y2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同函数 y2x21 的图象可以看成是将函数 y 2x2 的图象向上平移一个单位得到的，它的

14、顶点坐标是（0，1）据此，可以由函数 y2x2的性质，得到函数 y2x21 的一些性质：当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x_时，函数取得最_值，最_值 y_ 思 考 如果要得到抛物线 y2x2，应将抛物线 y2x21 作怎样的平移？在同一直角坐标系中，函数 y2x22 的图象与函数 y2x2的图象有什么关系？你能 22.1.3 二次函数 ya（x-h）2的图象和性质(2)说出函数 y2x22 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？概 括 函数 yax2k（a、k 是常数，a0）的图象的特征 开口方向 对称轴 顶

15、点坐标 函数的单调性 yax2k a0 a0 练 习 1.在同一直角坐标系中，分别画出函数 yx2、yx22 和 yx22 的草图；说出各个图象以及函数 yx24 的开口方向、对称轴和顶点坐标（草图画在下一页右边一个直角坐标系中）2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y31x2 得到抛物线 y31x22 和 y31x22？如果要得到抛物线 y31x24，应将抛物线 y31x2作怎样的平移？3.试说出函数 yax2k（a、k 是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表 小结：1、函数 yax2k（a、k 是常数，a0）的图象特征？2、函数 yax2k（a

16、、k 是常数，a0）的图象平移特征？（在平方里左加右减，在平方后上加下减）作业：教学 反思 教 学 目 标 知识 与技能 1能画出二次函数 ya（x-h）2的图像.2掌握抛物线2axy 与抛物线 y a（x-h）2之间的联系，3.掌握二次函数 y a（x-h）2图像特征及其性质.过程 与方法 通过动手操作,观察比较,分析思考,规律总结等活动完成对二次函数 y a（x-h）2的图像及性质的认知.情感态度与价值观 在学生学习活动过程中,使他们进一步体会数形结合的思想方法,培养创造性思维能力和动手实践能力,增强学习兴趣,激发学习欲望.教学重点 1.掌握二次函数2axy 与 ya（x-h）2图像之间的

17、联系.2.掌握二次函数 y a（x-h）2图像及其性质.教学难点 使用二次函数 y a（x-h）2的性质解决实际问题.教 学 互 动 设 计 备 注 例 1、在同一直角坐标系中，画出函数 y2x2和 y2（x1）2的图象 解 列表 描点、连线，画出这两个函数的图象 观 察 根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 思 考 这两个函数的图象之间有什么关系？概 括 通过观察、分析，可以发现：函数 y2（x1）2与 y2x2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同 函数 y2（x1）2的图象可以看作是将函数 y2x2的图象向右平移 1 个单位得到的 它的对称轴是

18、直线 x1，顶点坐标是（1，0）据此，可以由函数 y2x2的性质，得到函数 y2（x1）2的性质：当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x_时，函数取得最_值，最_值 y _ 做一做 在同一直角坐标系中画出函数 y2（x3）2与函数 y2x2的草图，比较它们的联系和区别并说出函数 y2（x3）2的图象可以看成由函数 y2x2的图象经过怎样的平移得到由此讨论函数 y2（x3）2的性质 思 考 在同一直角坐标系中，函数 y31（x2）2的图象与函数 y31x2的图象有什么关系？试说出函数 y31（x2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并

19、讨论这个函数的性质 概括：函数 ya（x+h）2（a、h 是常数，a0）的图象特征：22.1.3 二次函数 ya（x-h）2k 的图象和性质(3)开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的单调性 ya（x+h）2 a0 a0 练 习 1.已知函数 y31x 2、y31（x3）2和 y31（x3）2（1）在同一直角坐标系中画出它们的草图；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质 2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y31x2得到抛物线 y31（x3）2和 y31（x3）2？3、你能说出函数 ya（x+h）2（a、h 是常数，a0）的图

20、象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表 开口方向 对称轴 顶点坐标 ya（x+h）2 a0 a0 小结：1、函数 ya（x+h）2（a、h 是常数，a0）的图象特征？2、二次函数的图象平移的规律？（在平方里左加右减，在平方后上加下减）作业：教学 反思 教 学 目 标 知识 与技能 1、会用描点法画出二次函数 ya（x-h）2k(a 0)的图像;2、掌握抛物线 y ax2与 ya（x-h）2k 之间的平移规律;3、依据具体问题情境建立二次函数 ya（x-h）2k 模型来解决实际问题.过程 与方法 通过活动探究-观察思考-运用迁移的三个环节来获取新知识,掌握新技能,解决新问题.情感态度与价值

21、观 进一步培养学生观察能力.抽象概括能力.个渗透数形结合,从特殊到一般的思想方法,了解从特殊到一般的辩证关系.教学重点 二次函数 ya（x-h）2k(a 0)的图像及其性质 教学难点 1、二次函数 y ax2与 ya（x-h）2k 的图像之间的平移关系;2、通过对图像的观察,分析规律,归纳性质.教 学 互 动 设 计 备 注 由作业题：“指出抛物线 y2（x1）21 的开口方向、对称轴、顶点坐标与最值情况？以及它与抛物线 y2x2的位置关系？”我们发现可以用平移的方法解决它们的关系。我们来研究函数 y2（x1）21 的图象和性质 试一试：填写下表 试说出抛物线 y2（x1）21 的开口方向、对

22、称轴和顶点坐标。你能发现函数 y2（x1）21 有哪些性质？（2）归纳小结：抛物线khxay2)(叫二次函数的顶点式。它有如下特点：（1）当a0 时，它的开口向上。当 a0 时，它的开口向下。（1）对称轴是直线xh（1）顶点是（h，k）概括：函数 ya（x+h）2k（a、h、k 是常数，a0）的图象的特征：开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的单调性 a0 a0 yax2 yax2k ya（x+h）2 ya（x+h）2k 练 习 1.已知函数 y21x2、y21（x2）22 和 y21（x2）23（1）在同一个直角坐标系中画出这三个函数的草图；（2）分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐

23、标；（3）试讨论函数 y21（x2）23 的性质 2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y21x2得到抛物线 y21（x2）2 22.1.4 二次函数 yax2bxc 的图像和性质(4)2 和抛物线 y21（x2）23？如果要得到抛物线 y21（x2）26，那么应该将抛物线 y21x2作怎样的平移？补充练习：1、把23xy的图象向上平移 2 个单位得抛物线 ，再向下平移 3 个单位得抛物线 2、把22xy 的图象向 平移 个单位得抛物线2)4(2 xy，再向 平移 单位得抛物线5)4(22 xy 3、抛物线6)8(212xy的开口_ _，对称轴是_ _，顶点坐标是_ _。4、抛物线21

24、)8(22 xy的开口_ _，对称轴是_ _，顶点坐标是_。三、小结本节课内容 1、函数 ya（x-h）2k（a、h、k 是常数，a0）的图象特征？2、函数 yax2bxc（a0）的图象特征？3、二次函数的图象平移的规律？口诀：（m、k）正负左右上下移（m左加右减，k 上加下减）（在平方里左加右减，在平方后上加下减）作业：教学 反思 教 学 目 标 知识 与技能 1 能通过配方法把二次函数 yax2bxc（a0）化成 ya（x-h）2k 的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；2 会利用对称性画出二次函数的图像；3 会用公式确定二次函数 y ax2bxc（a0）的对称轴和顶点；过程 与方法 通过

25、思考、探究、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探求新知。情感态度与价值观 经理探求二次函数 y ax2bxc（a0）的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数 y ax2bxc 与 y ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美。教学重点 用抛物线的对称轴画二次函数 y ax2bxc 的图像，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标。教学难点 用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标。教 学 互 动 设 计 备 注 复习引入：1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标（1）y 3（x3）24；（2）y 2（x1）22；例：216212xxy是由哪个抛物线平移得到的？分析

26、：把216212xxy化成顶点式。解：216212xxy)4212(212 xx)42363612(212 xx 3)3612(212 xx3)6(212x 思考：例 1、画出函数 y21x2x25的图象，并说明这个函数具有哪些性质 分析：因为 y21x2x25 21（x1）22，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为 x1，顶点坐标为（1，2）根据这些特点，我们容易画出它的图象 解：列表 画出的图象如图 由下面的图象不难得到这个函数具有如下性质：当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x1 时，函数取得最大值，最大值 y2 22.2

27、二次函数与一元二次方程 做一做（1）请你按照上面的方法，画出函数 y21x24x10 的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？（2）通过配方变形，说出函数 y2 x 28x8 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？练习：P129 第 2 题 思 考 对于任意一个二次函数 yax2bxc（a0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？归纳小结：二次函数cbxaxy2的图象特征：（1）二次函数 cbxaxy2(a 0)的图象是一条抛物线；（2）对称轴是直线 x=ab2，顶点坐标是为（ab2，abac442）(3)当 a0 时，抛

28、物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。当 a0；当 x 时，y0；5、函数 y x2bx3 的图象经过点(1,0)，则 b 。6、二次函数 y(x 1)22，a ,当 x 时，y 有最 值是 。7、函数 y 12(x 1)23，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大,当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小。8、将 y x22x3 化成 y a(x+m)2k 的形式，则 y 。9、若点 A(2,m)在函数 y x21 的图象上，则 A 点的坐标是 。10、抛物线 y 2x23x4 与 y 轴的交点坐标是 。11、请写出一个以（2,3）为顶点，且开口向上的二次函数 12、将抛物线 y 2x2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 13、把抛物线 y=3x2先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是 14、把抛物线 y12212 xx先向 平移 个单位，再向 平移 个单位 的23212xxy。作业：1、求满足下列条件的二次函数解析式 图象过（1，0）、（0，-2）和（2，3）。图象与 x 轴的交点的横坐标为-2和 1，且过点（2，4）。当 x=2 时，y最大值=3，且过点（1，-3）。教学 反思