2023年全等三角形知识点总结归纳讲解经典例题含超详细解析答案1.pdf

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1、精编知识点 全等三角形 一、目标认知 学习目标：1了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。重点：1.使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；2.三角形全等的性质和条件。难点：1.掌握用综合法证明的格式；2.选用合适的条件证明两个三角形全等 经典例题透析 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，ABDACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，A是公共角，A和A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：AB和AC是对

2、应边，AD和AE、BD和CE是对应边，A和A是对应角，B和C，AEC 和ADB是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.精编知识点 举一反三：【变式 1】如图，ABCDBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？【答案】证明：由ABCDBE，得 AB=DB,BC=BE，则 AB-BE=DB-BC，即 AE=CD。【变式 2】如右图，。求证：AE CF 【答案】AE CF 2、如图，已知ABC DEF，A=30，B=50，BF=2，求DFE的度数与

3、EC的长。思路点拨:由全等三角形性质可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB的度数与 BF的长即可。解析：在ABC中，ACB=180-A-B，又A=30，B=50，所以ACB=100.又因为ABC DEF，所以ACB=DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以DFE=100 EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式 1】如图所示，ACD ECD，CEF BEF，综合法证明的格式三角形全等的性质和条件难点掌握用综合法证明的格对应边所对的角是对应角对应角所对的边是对应边可求解解析和是对应边可找到对

4、应边已知两对对应边第三对边是对应边对应边所对的角是对精编知识点 ACB=90.求证：（1）CD AB；（2）EFAC.【答案】(1）因为ACD ECD，所以ADC=EDC（全等三角形的对应角相等）.因为ADC+EDC=180，所以ADC=EDC=90.所以 CD AB.(2）因为CEF BEF,所以CFE=BFE（全等三角形的对应角相等）.因为CFE+BFE=180，所以CFE=BFE=90.因为ACB=90,所以ACB=BFE.所以 EFAC.类型二：全等三角形的证明 3、如图，AC BD，DF CE，ECB FDA，求证：ADF BCE 思路点拨:欲证ADF BCE，由已知可知已具备一边一

5、角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过 AC BD而得 解析：AC BD(已知)AB-BD AB-AC(等式性质)即 ADBC 在ADF与BCE中 ADF BCE(SAS)总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等 举一反三：【变式 1】如图，已知 AB DC，AB DC，求证：AD BC 【答案】AB CD 综合法证明的格式三角形全等的性质和条件难点掌握用综合法证明的格对应边所对的角是对应角对应角所对的边是对应边可求解解析和是对应边可

6、找到对应边已知两对对应边第三对边是对应边对应边所对的角是对精编知识点 34 在ABD和CDB中 ABD CDB(SAS)12(全等三角形对应角相等)AD BC(内错角相等两直线平行)【变式 2】如图，已知 EB AD于 B，FCAD于 C，且 EB FC，AB CD 求证 AFDE 【答案】EB AD(已知)EBD 90(垂直定义)同理可证FCA 90 EBD FCA AB CD，BC BC AC AB+BC BC+CD BD 在ACF和DBE中 ACF DBE(SAS)AF DE(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用 4、如图，AD为ABC的中线。求证：AB+AC2AD.思路点拨:要证 A

7、B+AC2AD，由图想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由 2AD想到构造一条线段等于 2AD，即倍长中线。解析：延长 AD至 E，使 DE=AD，连接 BE 因为 AD为ABC的中线，所以 BD=CD.在ACD和EBD中，综合法证明的格式三角形全等的性质和条件难点掌握用综合法证明的格对应边所对的角是对应角对应角所对的边是对应边可求解解析和是对应边可找到对应边已知两对对应边第三对边是对应边对应边所对的角是对精编知识点 所以ACD EBD(SAS).所以 BE=CA.在ABE中，AB+BEAE，所以 AB+AC2AD.总结升华：通过构造三角形全等，

8、将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式 1】已知：如图，在 RtABC中，AB=AC,BAC=90,1=2，CE BD的延长线于 E，求证：BD=2CE.【答案】分别延长 CE、BA交于 F.因为 BE CF,所以BEF=BEC=90.在BEF和BEC中，所以BEF BEC(ASA).所以 CE=FE=CF.又因为BAC=90,BECF.所以BAC=CAF=90，1+BDA=90，1+BFC=90.所以BDA=BFC.在ABD和ACF中，所以ABD ACF(AAS)所以 BD=CF.所以 BD=2CE.5、如图，AB CD，BE DF，BD，求证：(1)AE CF，(2)AE CF，

9、(3)AFE CEF 思路点拨:(1)直接通过ABE CDF而得，(2)先证明AEB CFD，(3)综合法证明的格式三角形全等的性质和条件难点掌握用综合法证明的格对应边所对的角是对应角对应角所对的边是对应边可求解解析和是对应边可找到对应边已知两对对应边第三对边是对应边对应边所对的角是对精编知识点 由(1)(2)可证明AEF CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等 解析：(1)在ABE与CDF中 ABE CDF(SAS)AE CF(全等三角形对应边相等)(2)AEB CFD(全等三角形对应角相等)AE CF(内错角相等，两直线平行)(3)在AEF与C

10、FE中 AEF CFE(SAS)AFE CEF(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件 举一反三：【变式 1】如图，在ABC中，延长 AC边上的中线 BD到 F，使 DF BD，延长 AB边上的中线 CE到 G，使 EG CE，求证 AFAG 【答案】在AGE与BCE中 AGE BCE(SAS)AG BC(全等三角形对应边相等)综合法证明的格式三角形全等的性质和条件难点掌握用综合法证明的格对应边所对的角是对应角对应角所对的边是对应边可求解解析和是对应边可找到对应边已知两对对应边第三对边是对应边对应边所对的角是对精编知识点 在

11、AFD与CBD中 AFD CBD(SAS)AF CB(全等三角形对应边相等)AF AG(等量代换)6、如图 ABAC，BD AC于 D，CE AB于 E，BD、CE相交于 F 求证：AF平分BAC 思路点拨:若能证得得 AD=AE，由于ADB、AEC都是直角，可证得 RtADF RtAEF，而要证 AD=AE，就应先考虑 RtABD与 RtAEC，由题意已知AB=AC，BAC是公共角，可证得 RtABD RtACE 解析：在 RtABD 与 RtACE中 RtABD RtACE(AAS)AD=AE(全等三角形对应边相等)在 RtADF与 RtAEF中 RtADF RtAEF(HL)DAF=EA

12、F(全等三角形对应角相等)AF平分BAC(角平分线的定义)总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证 综合法证明的格式三角形全等的性质和条件难点掌握用综合法证明的格对应边所对的角是对应角对应角所对的边是对应边可求解解析和是对应边可找到对应边已知两对对应边第三对边是对应边对应边所对的角是对精编知识点 已知：如图，在ABC与ABC中AB=A B，BC=B C，AD BC于 D，ADBC于 D且 AD=A D 求证：ABC ABC 证明：在 RtABD

13、与 RtABD中 RtABD Rt ABD(HL)B=B(全等三角形对应角相等)在ABC与ABC中 ABC ABC(SAS)【变式 2】已知，如图，AC、BD相交于 O，AC=BD，CD90 求证：OC=OD 【答案】C=D=90 ABD、ACB为直角三角形 在 RtABD和 RtABC中 RtABD RtABC(HL)AD=BC 在AOD 和BOC中 AOD BOC(AAS)综合法证明的格式三角形全等的性质和条件难点掌握用综合法证明的格对应边所对的角是对应角对应角所对的边是对应边可求解解析和是对应边可找到对应边已知两对对应边第三对边是对应边对应边所对的角是对精编知识点 OD=OC 7、ABC

14、中，AB=AC，D是底边 BC上任意一点，DE AB，DF AC，CGAB垂足分别是 E、F、G.试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径 解析：结论：DE+DF=CG 方法一：（截长法）板书此种方法（3 分钟）作 DM CG于 M DE AB，CG AB，DM CG 四边形 EDMG 是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而 DM CG，DF AC DMC=CFD 在MDC 和FCD中 MDC FCD（AAS）MC=DF DE+DF=GM+MC=CG 总结升华：方法二（补短

15、法）作 CM ED交 ED的延长线于 M（证明过程略）综合法证明的格式三角形全等的性质和条件难点掌握用综合法证明的格对应边所对的角是对应角对应角所对的边是对应边可求解解析和是对应边可找到对应边已知两对对应边第三对边是对应边对应边所对的角是对精编知识点 总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法 方法三（面积法）使用等积转化 引申：如果将条件“D是底边 BC上任意一点”改为“D是底边 BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和 CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明 举一反三：【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法 综合法证明的格式三角形全等的性质和条件难点掌握用综合法证明的格对应边所对的角是对应角对应角所对的边是对应边可求解解析和是对应边可找到对应边已知两对对应边第三对边是对应边对应边所对的角是对