2023年简单的线性规划精品讲义[1].pdf

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1、 简单的线性规划教案 TTA standardization office【TTA 5AB-TTAK 08-TTA 2C】简单的线性规划 【教学目标】1知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题【教学难点】准确求

2、得线性规划问题的最优解【教学过程】1.课题导入 复习提问 1、二元一次不等式0CByAx在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域应注意哪些事项 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。2.讲授新课 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个 A配件耗时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h，该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天 8h 计算，该厂所有可

3、能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：2841641200 xyxyxy .（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获利 3 万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品 x件，乙产品 y件时，工厂获得的利润为 z,则 z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当 x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？把 z=2x+3y

4、变形为233zyx，这是斜率为23，在 y 轴上的截距为3z的直线。当 z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2），就能确定一条直线（2833yx），这说明，截距3z可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线233zyx 与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距3z最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直线233zyx 与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点 P，使直线经过点 P时截距3z最大。（5）获得结果：由上图可以看出，当实现233zyx 金国直线 x=4 与直线 x

5、+2y-8=0的交点 M（4，2）时，截距3z的值最大，最大值为143，这时 2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4 件，乙产品 2 件时，工厂可获得最大利润 14 万元。2、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件 线性目标函数：关于 x、y的一次式 z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y的解析式，叫线性目标函数 线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行

6、解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 3.随堂练习 1请同学们结合课本 P103练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求 z=2x+y的最大值，使式中的 x、y 满足约束条件.1,1,yyxxy 解：不等式组表示的平面区域如图所示：当 x=0,y=0 时，z=2x+y=0 点（0，0）在直线0l:2x+y=0 上.作一组与直线0l平行的直线 l:2x+y=t,tR.可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点 A（2，-1）的直线所对应的 t 最大.所以 zmax=2 2-1=3.（2）求 z=3

7、x+5y的最大值和最小值，使式中的 x、y满足约束条件.35,1,1535yxxyyx 解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的 t 最小，以经过点（817,89）的直线所对应的t 最大.所以 zmin=3(-2)+(-1)=-11.zmax=389+5817=14 4.课时小结 xy(12,12)(-1,-1)(2,-1)2x+y=0 x+y-1=0 x-y=0CBAO21-1-2-1123xy(98,178)3x+5y=05x+3y-15=0 x-y+1=0CBAO3x-5y-3=0-1-115 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解