2023年等比数列的通项公式精品讲义.pdf

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1、等比数列的通项公式(教案)1 等比数列的通项公式（教案）一、教学目标 1、掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。2、掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。二、教学重点、难点 各种结论的推导、理解、应用。三、教学过程 1、导入 复习 等比数列的定义：1nnaqa*nN 通项公式：11nnaa q*nN 用归纳猜测的方法得到，用累积法证明 2、新知探索 例 1 在等比数列na中，（1）已知163,2,aqa 求；（2）已知3620,160,naaa求.，分析（1）根据等比数列的通项公式，得 56196aa q （2）可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组 231561

2、20160aa qaa q 解得152aq 所以1115 2nnnaa q 问：上面的第（2）题中，可以不求1a而只需求得 q 就得到na吗?分析 在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：212321234321,aa qaa qa qaa qa qa q 232112321.nnnnnnaaqaqaqa qa q 注意观察等式右边各项的下标与 q 的次方的和，可以发现，na的表达式中，始终满足 n mnmaa q *,n mN 结论 1 数列na是等比数列，则有n mnmaa q *,n mN。再来看一下例 1 中（2）的另一种解法：363aa q，所以 q=2，所以1115 2n

3、nnaa q 习题（1）49P 2、在等比数列na中，等比数列的通项公式(教案)2（1）已知494,972,naaa求；（2）已知26326,27naaa 求.分析 （1）可以根据定义和结论 1 给出两种解法。方法一 3418914972aa qaa q 方法二 594aa q，所以 q=3，所以4444 3nnnaa q。（2）462aa q，所以23q 22222222,6()3322,6()33nnnnnnqaa qqaa q 当时当时 例 2 在 243 和 3 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列。分析 设此三个数为234aaa，公比为 q，则由题意得 243，234aaa，

4、3 成等比数列；43243q，所以得13q 23423418127931812793qaaaqaaa 当时，当时，故插入的三个数为 81，27，9 或-81，27，-9.问：观察一下例 2 中，当13q 时，这 5 个数分别为 243，-81，27，-9，3，可以发现什么规律？答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号，偶数项同号。习题（1）49P 6、在等比数列na中，10a，243546225a aa aa a，求35aa的值。分析 3423aaaa得2324aa a，同理得2546aa a 135352222435463355353500,0022()255aaaaaa aa

5、aa aaa aaaaaa 例 3 已知等比数列na的通项公式为3 2nna ，求首项和公比 q.等比数列的通项公式(教案)3 分析 221213 26,3 2122aaaqa 在例 3 中，等比数列的通项公式为3 2nna ，是一个常数与指数式的乘积，因为数列是特殊的函数，故表示这个数列的各点(,)nn a均在函数3 2xy 的图像上。问：如果一个数列na的通项公式为nnaaq，其中a，q都是不为零的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？分析 10aaq，11nnnnaaqqaaq，所以是等比数列。一般可以看作是等比数列通项公式的变形，111nnnnaaa qqaqq，其中1aaq 结论 2

6、等比数列na的通项公式均可写成nnaaq（a，q为不等于零的常数）的形式。反之成立。习题（1）49P 5、在等比数列na中，（1）2519aa a是否成立？2537aa a是否成立？（2）222nnnaaa（n2）是否成立？（3）你能得到更一般的结论吗？分析 （1）8422191115()a aaa qa qa 26422371115()a aa qa qa qa，所以成立。（2）311 2222111()nnnnnnaaa qa qa qa，所以成立。（3）从（1）（2）可以看出，等式两边各项的下表和相等，左边是同一项的平方，如果把左边换成两个不同项的乘积呢？同时，类比等差数列中的一个结论：

7、在等差数列na中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有mnpqaaaa，可以猜测：在等比数列na中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有mnpqa aa a.证 1122111mnm nmna aa qa qa q，1122111pqp qpqa aa qa qa q 等比数列的通项公式(教案)4 所以mnpqa aa a.结论 3 在等比数列na中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有mnpqa aa a.习题 在等比数列na中，1a，99a是方程210160 xx的两个实根，求4060a a.分析 可以利用结论 3.因为1a，99a是方程21016

8、0 xx的两个实根，所以可得199a a=16，所以4060a a=199a a=16.在结论 3 中，当 m=n或 p=q 时，可以发现此项总是处于另两项的中间。结论 4 若a，G，b 成等比数列，则称 G为a和 b 的等比中项，且2Gab。习题（1）49P 7、（1）求 45 和 80 的等比中项；（2）已知两个数 k+9 和 6-k 的等比中项是 2k，求 k.分析 （1）设此等比中项是 G，则2G=4580=3600，所以 G=60.（2）2(2)(9)(6)kkk，化简，得253540kk，所以1835kk 或 四、归纳总结 本节课的主要内容是由等比数列的通项公式引深而得到的几个结论，要求学生能牢记并灵活运用。五、布置作业 做与本节课内容相关的练习册。六、教学反思 本节课的内容都是由等比数列的通项公式推导而得到。在上课的时候，我先是把等比数列的通项公式推导一遍，再由相关的例题或习题引出相关的结论，在讲解中引导学生思考，充分发挥学生的主体作用，使学生能够与我产生互动，调节课堂气氛，使学生积极思考。在上课的过程中，有些地方因缺乏经验不能很好地连贯在一起，这在以后的讲课中要注意。