2023年含参不等式恒成立问题中_求参数取值范围一般方法.pdf

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1、 含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 af x恒成立，只须求出 maxf x，则 maxaf x；若 af x恒成立，只须求出 minf x，则 minaf x，转化为函数求最值。例 1、已知函数 lg2afxxx，若对任意2,x恒有 0f x，试确定a的取值范围。解：根据题意得：21axx 在2,x上恒成立，即：23axx 在2,x上恒成立，设 23f xx

2、x ，则 23924f xx 当2x 时，max2f x 所以2a 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若 f ag x恒成立，只须求出 maxg x，则 maxf ag x，然后解不等式求出参数a的取值范围；若 f ag x恒成立，只须求出 ming x，则 minf ag x，然后解不等式求出参数a的取值范围，问题还是转化为函数求最值。例 2、已知,1x 时，不等式 21240 xxaa 恒成立，求a的取值范围。解：令2xt，,1x 0,2t 所以原不等式可化为：221taat，要使上式在0,2t上恒成立，只须求出 21tf tt在0,

3、2t上的最小值即可。22211111124tf ttttt 11,2t min324f tf 234aa 1322a 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例 3、若 2,2x时，不等式23xaxa 恒成立，求a的取值范围。解：设 23f xxaxa，则问题转化为当 2,2x时，f x的最小值非负。（1）当22a 即：4a 时，min2730f xfa 73a 又4a 所以a不存在；（2）当222a 即：44a 时，2min3024aafxfa 62a 又44a 42a （3）当22a 即：4a 时，min270f xfa

4、 7a 又4a 74a 综上所得：72a 三、确定主元 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例 4、若不等式 2211xm x 对满足2m 的所有m都成立，求x的取值范围。解：设 2121f mm xx，对满足2m 的m，0f m 恒成立，2221210202021210 xxffxx 解得：171322x 四、利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即

5、：,m nf ag a，则 f am且 g an，不等式的解即为实数a的取值范围。例 5、当1,33x时，log1ax 恒成立，求实数a的取值范围。解：1log1ax（1）当1a 时，1xaa，则问题转化为11,3,3aa 3113aa 3a （2）当01a 时，1axa，则问题转化为11,3,3aa 1313aa103a 综上所得：103a 或3a 五、数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。例 6、若不等式23log0axx在10,3x内恒成立，求实数a的取值范围。解：由题意知

6、：23logaxx在10,3x内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数23yx和logayx 观察两函数图象，当10,3x时，若1a 函数logayx的图象显然在函数23yx图象的下方，所以不成立；当01a 时，由图可知，logayx的图象必须过点1 1,3 3或在这个点的上方，则，11log33a 127a 1127a 综上得：1127a 上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。恒成立问题中含参范围的求解策略 周云才 数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要

7、的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、分离参数最值化 对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出来，将原问题转化为（或）在给定区间上恒成立（或），从而将原问题转化为求函数的最大值或最小值问题。例 1 当时，不等式恒成立，求实数 a 的取值范围。解 析：因，所 以对恒 成 立，即 有，由于在上是增函数，所以当时，所以 例 2 设且恒成立，求实数 m 的取值范围。解析：由于，所以，于是恒成立，因 （当且仅当时取等号），故。二、数形结合直观化 对于某些不容易分离

8、出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。例 3 当时，恒有成立，求实数 a 的取值范围。解析：令，由题意，对恒成立。（1）当，即时，有对恒成立。（2）当时，结合二次函数的图像，有 或 综合（1）（2）得 例 4 设，对于任意正整数 k，直线与恒有两个不同的交点，求实数 a 的取值范围。解析：作出在区间上的图像，由图像知，直线只能绕原点 O 从 x 正半轴旋转到过点的范围，直线 AO 的斜率为于是实数 a 的取值范围是 三、巧妙赋值特殊化 在某些恒成立问题中，恰当地取特殊的数或考虑特殊的情形，探求出参数的值或范围，再加以证明，不失为一个好办

9、法。例 5 是否存在常数 c，使得不等式对任意的正实数x，y 恒成立？并证明你的结论。解析：令得，有 先证成立证成立证成立，此时显然成立。再证成立。证成立证成立，此时也显然成立。故存在常数 c，使得原不等式对任意的正实数 x，y 恒成立。例 6 设。若对于任意恒成立，试确定常数 a，b，c。解析：取分别代入已知等式，即 （1）（2）得，（4）由（2）（3）（4）得 由得，解得，从而 再由 再 将求解的 a、b、c 代入已知等式验证适合，故 四、变更主元简单化 对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。例 7 对于，不等式恒成立，求实数 x 的取值范围。解析：不等式不等式即对于恒成立。记，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间1，1内恒为正的 x 应满足的条件。由得 或 故实数 x 的取值范围是 恒成立问题中含参范围的求解策略较多，但主要有以上四种常见方法，其实质是一种等价转化的思想，可见，只要我们在解题中善于归纳和总结，就一定会积累更多的经验和方法，从而更好地提高我们的解题能力。