2023年关于等式与不等式的基本证明全程版高等数学竞赛知识超详细知识汇总全面汇总归纳1.pdf

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1、关于等式与不等式的基本证明 一、考试内容（一）介值定理 介值定理：若)(xf在,ba上连续，且()()f af b，对于(),()f af b之间的任一个数C，),(ba，使()fC（,a b）介值定理推论 1（零点定理）：若)(xf在,ba上连续，且()()0f a f b，则),(ba，使()0f（,a b）介值定理推论 2（零点定理）：若)(xf在(,)a b内连续，且()()0f af b，则),(ba，使()0f（,a b）介值定理推论 3（零点定理）：若)(xf在(,)内连续，且lim()lim()0 xxf xf x，则),(ba，使()0f（,a b）介值定理推论 4：若)(x

2、f在,ba上连续，min()fxm，max()fxM，且Mm，对于,m M之间的任一个数C，则),(ba，使()fC（可能取到a或b）（二）代數基本定理：任何一個非零的一元 n 次实系数多項式，都至多有 n 個实数零点 （三）积分中值定理 定积分中值定理：若)(xf在,ba上连续，则(,)a b，使()()()baf x dxfba 定积分中值定理推论 1：设)(),(xgxf在,ba上连续，且()g x在,ba上不变号，则(,)a b，使babadxxgfdxxgxf)()()()(对于定积分中值定理及其推论 1，可能取到a或b（四）微分中值定理 罗尔中值定理：若)(xf在,ba上连续，在)

3、,(ba内可导，且()()f af b，则),(ba，使()0f 罗尔中值定理的推广形式 1：若)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，且)(xf有2n 个不同的零点，则()fx在),(ba内至少存在1n个不同的零点 罗尔中值定理的推广形式 2：若)(xf在),(ba内可导，且()()f aAf b，则),(ba，使()0f 罗尔中值定理的推广形式 3：若)(xf在,)a 内连续，在(,)a 内可导，且lim()()xf xf a，则(,)a，使()0f 罗尔中值定理的推广形式 4：若)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，且()0fx，则)(xf在),(ba内为单调函数 拉格朗日中值

4、定理：若)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，则),(ba，使()()()()f bf afba（五）不等式定理 凹凸性不等式定理：若()()0,fx 则()()()()22f xf yxyf 积分不等式定理：若()()f xg x，则()()bbaaf x dxg x dx（ab），但反之不然 积分估值定理：若()f x在,a b（ab）上连续，则minmax()()()()()bafx baf x dxfx ba 积分绝对值不等式定理：()()bbaaf x dxf x dx（ab）二、典型例题 题型一 恒等式证明 主要方法：求导法、换元法、反证法 例 1、求证：（1）()0()()

5、()(),f xa TTaf xf x Tf x dxf x dx连续（2）()00()()()()f xnTTf xf x Tf x dxnf x dx连续 提示：（1）令0()()(),a TTaF af x dxf x dxaR用求导法，这比用换元法方便（2）令00()()()nTTG nf x dxnf x dx，用求导法错误，因nZ,用换元法方便 111(1)0000000()()()()()nnnx kT unTkTTTTkTkkkf x dxf x dxf kTu duf x dx nf x dx 例 2、设)(xf在,ba上连续，且0)(xf，若0)(badxxf，则在,ba上

6、，0)(xf 证明：用反证法，假设0)(),(00 xfbax，则),(),(00baxx)0(0)(xf，则baxxxxfdxxfdxxf),(,0)(2)()(0000积分中值定理.这与0)(badxxf矛盾，故原式得证 题型二 方程根的存在性与中值问题 主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法（1）)(xf在,ba或),(ba上连续，则()f x直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决 例 1、设)(xf在,ba上连续，且0,qpbdca，求证：方程)()()()(dqfcpfxfqp在),(da内至少有一根 提示：取)()()()()(dqfcpfxfqpxF在,dc

7、上用零点 Th 例 2、设)(xf在),(上连续，且0)(limxxfx，求证：),(使0)(f 证明：设xxfxF)()(，则)(xF在),(上连续，)(1 lim)(limxxfxxFxx，01 x，使0)(1xF 同理，由,)(limxfx02 x，使0)(2xF 故，)(xF在,21xx上满足零点定理，因而，原题得证 例 3、)(xf在,ba上连续，0,iitbax),2,1(ni，且11niit，求证：,ba使niiixftf1)()(（此为1()nif x的加权平均值）提示：()mf xM，有niniiniiiiMMtxftmtm111)(事实上，对于定积分 中值定理的证明同上，1

8、11()bbbaaammdxf x dxMdxMbababa 则(,)a b，使1()()baff x dxba（此为()f x在,ba上的平均值）定理推论若上连续对于之间的任一个数则在且使可能取到或二代數基本使对于定积分中值定理及其推论可能取到或四微分中值定理罗尔中值定式若则罗尔中值定理的推广形式若内为单调函数拉格朗日中值定理若上例 4、设ka是满足012)1(1nkkkka的实数，求证：nkkxka10)12cos(在)2,0(内至少有一实根 提示：令1()cos(21)nkkFxakx，构造nkkkxkaxF112)12sin()(在2,0上用罗尔 例 5、设)(xfy 为 1,0上的任

9、一连续函数，且1010)()(dxxxfdxxf 求证：0)1)(xxf在)1,0(内至少有一根 提示：令()()(1)Fxf xx，构造1)1)()(xdtttfxF在 1,0上用罗尔定理 例 6、设)(xfy 为 0,1上的任一连续函数，记)(xf在 0,1上的平均值为A，求证：)0,1(，使Afdttfe)()(1 提示：令1()()()xxFxef t dtf xA，构造1()()xxF xef t dtAx，用罗尔定理 （2）)(xf在,ba或),(ba上可导，则数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(xf 例 1、设)(xf在1,22连续，在1(,2)2上可导，

10、且)2()(2121fdxxf，试证：)2,0(，使()0f 提示：由积分中值定理知，1121(2)2()(),(,1)2ff x dxf，用罗尔定理 例 2、设)(),(xgxf在,ba连续，在,ba上可导，且对于),(bax有0)(xg 试证：),(ba，使)()()()()()(gbgaffgf 提示：令()()()()()()()()()Fxfx g xf x g xfx g bf a g x，构造函数()()()()()()()F xf x g xf x g bf a g x在,ba上用罗尔 Th 例 3、设)(xf在,ba上连续，在),(ba上可导 求证：),(ba，使11()()

11、()()nnnbanffAba f af b 提示：（1）令1()()()nnFxnxf xx fx，构造)()(xfxxFn在,ba上使用 Lagrange （2）令1()()()nnFxnxf xx fxA，构造()()nF xx f xAx在,ba上使用罗尔 例 4、设)(),(xgxf于10,连续，10,内可导，对),(bax恒有)()()()(xgxfxgxf，求证：若)(),(xgxf在),(ba内有两个零点，则介于其之间，)(xg至少有一个零点 提示：用反证法，假设0)()(21xfxf，且0)(xg，,21xxx 构造)()()(xgxfxF，则0)(F，与条件矛盾 例 5、设

12、)(xf在 ba,上一阶可导，()0f a，()0fa，证明：（1）存在),(ba，使0)(f；（2）存在),(ba，使()()ff 提示：（1）由保序性，1,xa a，使得10f x，由零点定理知（1）（2）注意到（1）及题设条件，知函数 f x在,a b上存在两个零点,a，于是 xF xef x在,a b上有两个零点，由 Rolle 定理，易证（2）定理推论若上连续对于之间的任一个数则在且使可能取到或二代數基本使对于定积分中值定理及其推论可能取到或四微分中值定理罗尔中值定式若则罗尔中值定理的推广形式若内为单调函数拉格朗日中值定理若上题型三 非积分不等式 主要方法(1)构造函数)(xf，确定

13、其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可.(2)利用函数的凹凸性.(3)利用函数的极值和最值-构造函数，比较值为极值或最值.(4)利用中值法证明不等式.例 1、设)1,0(x，求证：(i)22)1(ln)1(xxx；(ii)211)1ln(112ln1xx 提示：(i)令()ln(1)1xf xxx 或22()(1)ln(1)g xxxx (ii)令11()ln(1)h xxx，则22()()0(1)ln(1)g xh xxxx，有(1)()(0)hh xh 例 2、比较ee与的大小 提示：xe，比较xeex与的大小，取对数构造()lnf xxex，易证ee 例 3、设)(),(xgxf

14、二阶可导，当0 x时，)()(xgxf，且)0()0(gf，)0()0(gf，求证：)()(0 xgxfx 时，提示：令)()()(xgxfxF，需两次求导 例 4、当0,0 yx时，求证：2ln)(lnlnyxyxyyxx 提示：令)2(2)()(0)(,ln)(yxfyfxftftttf 例 5、0,0,0yx，求证：11)()(yxyx 提示：其等价于11ln1()ln(1()yyxx，令1()ln(1)tf xat，0a 若1a，原命题成立，现证明()f t在0,1ta时单调递减 22ln(1)ln(1)()()(1)(1)ttttttaaaag tfttata，()ln lnln(1

15、)tttg taaaa 1a 时，()0g t，则()(0)0g tg；01a 时，()0g t，则()lim()0tg tg t 例 6、设1,10px，求证：1)1(211pppxx.提示：令ppxxtf)1()(，求其在 1,0的最值 例 7、设)(xf在(1,1)内有0)(xf，且2sincos)(lim20 xxxfx，求证：()1f x 证明：易知,1)0(f2200()cossincos 1(0)limlim0sinxxf xxxfxxx 令 1)()(xfxF，求其最大值，因0)()(,0)0(,0)0(xfxFFF，则易证 例 8、若xy 0及1p，求证：)()(11yxpx

16、yxyxpypppp 提示：令()pf tt，在,yx上对)(tf应用拉氏定理 例 9、在,0a上，()fxM，且)(xf在),0(a内取最大值，求证：Maaff)()0(证明：设,0),(max)(0acxfcfax则0)(cf 在,0acc对)(xf 分别应用拉氏定理，则易证 定理推论若上连续对于之间的任一个数则在且使可能取到或二代數基本使对于定积分中值定理及其推论可能取到或四微分中值定理罗尔中值定式若则罗尔中值定理的推广形式若内为单调函数拉格朗日中值定理若上题型四 积分不等式 主要方法（1）应用定积分的不等式性质(如比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式（2）函数的单调性（构造辅助函数

17、）积分中值定理 （3）微分中值定理（被积函数具有可导条件）常伴于其中 例 1、设0p，求证：11110pxdxpp.提示：1111ppxx，用积分不等式性质.例 2、求证：220sin0 x dx.提示：222220000sinsinsinsinsin2sin()()xttttttx dxdtdtdtdtttttt.例 3、设)(xf在,ba上连续且严格单增，求证：babadxxxfdxxfba)(2)()(.提示：令()()()2(),xxaaF xaxf t dttf t dt 则,xa b时，()0F x.例 4、设(),()f x g x在 1,0上有连续的导数，且(0)0,f()0,

18、()0fxg x 求证：对0,1a，100()()()()()(1)afx g x dxf x gx dxf a g.提示：令100()()()()()()(1)aF afx g x dxf x gx dxf a g()()()()(1)0F afa g afa g，于是，()F a在0,1a时单减，则()(1)0F aF 例 5、设,f g在,a b上连续，且()(),)xxaaf t dtg t dt xa b，babadttgdttf)()(，证明：babadxxxgdxxxf)()(.提示：令()()()F xf xg x，xadttFxG)()(，由题设()0G x，,)xa b，(

19、)()0G aG b，)()(xFxG.从而()()bbaaxF x dxxdG x()()()bbbaaaxG xG x dxG x dx 由于()0G x，,xa b，故有0)(badxxG.例 6、已知)(xf满足：对212121)()(,xxxfxfbaxx 求证：2)(21)()()(abafabdxxfba.证明：左()()baf xf a dx2)(21)()()(abdxaxdxafxfbaba.例 7、设()fx在 1,0上连续，01(0)(1)0,max()xffMfx，求证：10()4Mf x dx.证明：12121010)1()()0()()(dxfxfdxfxfdxx

20、f 12122101)1()()(dxxfxdxfMdxxxdxM41)1(121210.定理推论若上连续对于之间的任一个数则在且使可能取到或二代數基本使对于定积分中值定理及其推论可能取到或四微分中值定理罗尔中值定式若则罗尔中值定理的推广形式若内为单调函数拉格朗日中值定理若上三、课后练习 1（A）、证明：当1x，总有arctan(1)(1)arctan4xxx 2（A）、求证：11000ln()ln(1)()ln()xf xt dtftf tdtf t dt（换元与求导）3（A）、设)(xf在,ba上连续，且()()f af b，求证：方程()()2)f xf xba 在(,)a b内至少有一

21、根(零点定理)4（B）、设)(),(xgxf在,ba上连续，且0)(xg，求证：),(ba，使babadxxgfdxxgxf)()()()(介值定理)5（A）、)(xf于,ba连续，),(ba可导，求证：),(ba，使()()()()()bf baf abaff （拉格朗日中值定理）6（B）、设函数 xf在),0上可导，00 f，且2)(l i mxfx，证明（1）存在0a，使得;1af（局部保号性与介值定理）（2）对（1）中的a，存在),0(a，使得()1fa（拉格朗日中值定理）7（A）、设)(xf在 ba,上连续，在),(ba上可微，且0)()(bfaf，则存在一点 ba,使0)()(2f

22、f（令2()()xF xef x，罗尔中值定理）8（A）、设)(xf在2,1上连续，在)2,1(上可微，且(1)1 2f，2)2(f，则存在一点2,1,使0)()(2ff（令2()()F xf xx，罗尔中值定理）9（A）、)(xf可导，则)(xf的两零点间必有)()(/xfxf的零点(令()()xF xef x)10（B）、设)(xf在0,)上可导，(0)2f，0()arctan1f xx，证(0,)，使1)()1(/2f(令()()arctanF xf xx，推广的罗尔中值定理与夹逼定理)11（A）、)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，且()()()baf xba dxf b 求证

23、：在),(ba至少存在一点，使0)(f(积分中值定理与罗尔中值定理)12（A）、)(xf在 1,0上可微，且1 20(1)2()fxf x dx，试证：)1,0(，使0)()(ff(令()()F xxf x，积分中值定理与罗尔定理)13（A）、设)(xf在1,0上可微，110(1)()kxfkxef x dx，)1(k，证明 0,1，使得()1 1()ff (令1()()xF xxef x，积分中值定理与罗尔定理)14（B）、设()f x在0,3上连续，在(0,3)内二阶可导，且202(0)()(2)+(3)ff xd x ff，（）证明：存在(0,2)，使()(0)ff；（积分中值定理）（）

24、证明：存在(0,3)，使()0f（介值定理与罗尔中值定理）15（B）、设)(xf在),(ba上具有二阶导数，且0)()(,0)()(bfafbfaf 证明：(,)a b，使0)(f（局部保号性与罗尔中值定理）16（B）、设)(xf于 1,0连续，)1,0(可导，且(0)(1)0ff，(1 2)1f，求证：（i）(1 2,1)，使)(f；（零点定理）（ii）对任意实数，),0(，使1)()(ff(令()()xF xef xx)17（B）设奇函数)(xf在 1,1上具有二阶导数，且1)1(f，证明：（1）存在)1,0(，使得 1f；（(0)0f，拉格朗日中值定理）（2）存在)1,1(，使得1)()

25、(ff(令()()1xF xe fx,罗尔中值定理)定理推论若上连续对于之间的任一个数则在且使可能取到或二代數基本使对于定积分中值定理及其推论可能取到或四微分中值定理罗尔中值定式若则罗尔中值定理的推广形式若内为单调函数拉格朗日中值定理若上18（A）、当0 x时，求证：(1)(1)ln(1)xexx.(令()1(1)ln(1)xF xexx )19（A）、当0 x 时，求证：arctan12xx.(考虑=0 x处的右极限)20（A）、当0 x时，证明：1 112(1)xxxe.(先取对数)21（B）、设ba 0，求证：222()()lnln1a baabbaab.（令=1x b a）22（A）、

26、当0 x时，试证：22)1(ln)1(xxx.（分1,1pq，且111pq求证：对0 x，有1pxpqx.（最值）24（A）、求证：1212nnn ),1(为自然数nn.（先转化为函数最值）25（B）、证明：2ln(1)(1)cos12,11.xxxxxx （最值）26（A）、1,1 na，求证：21(1)11(1)21(1)lnnnnnnaaaan a.（拉格朗日）27（A）、证明:当0,sin2cossin2cosabbbbbaaaa 时.28（A）、设)(xf处处可导，则（D）（拉格朗日中值定理）A)(lim,)(limxfxfxx则 B)(lim,)(limxfxfxx则 C)(lim

27、,)(limxfxfxx则 D)(lim,)(limxfxfxx则 29（A）、设在 1,0上，0)(xf则)0()1(),1(),0(ffff或)1()0(ff的大小顺序是)0()0()1()1(ffff.（拉格朗日中值定理）30（A）、设)(),(xgxf正值可导，0)()()()(xgxfxgxf，则当bxa时，有（A）A)()()()(xgbfbgxf B)()()()(xgafagxf C)()()()(bgbfxgxf D)()()()(agafxgxf 提示：令()()()F xf xg x，单调性.31（B）、设0lim()1xf xx，且0)(xf，求证：xxf)(.（最值）

28、32（A）、求证：1440ln(12)111xdx.(42411xx)33（A）、)(xf在 1,0上连续递减，证：当10时，100)()(dxxfdxxf.(换元).34（B）、设40tannnIxdx，2n，求证：1 2(1)1 2(1)nnIn.提示：222+1(1)2nnnnIIInI.35（B）、证：220sincosd01xxxx.（用4划分0,2，对4,2用=2xt）36（A）、设)(xf可导,且(0)0,0()1ffx,证:112300()()f x dxfx dx.提示：令xxdttfdttfxF0320)()()(.37（B）、设)(xf在 1,0上可积，且当01xy 时，

29、()()arctanarctanf xf yxy，又(0)ln2 2f，求证：10()4f x dx.(1100()()(0)(0)f x dxf xfdxf)38（B）、设()fx在0,2 上连续为正，证：20()sin2(2)(0)f xnxdxffn.提示：2200()sin(2)(0)()cosf xnxdxffnfxnx n dx.39（B）、设)(xf 在,0a上连续，且0)0(f，求证：200()max()2ax af x dxafx.提示：积分不等式性质与拉格朗日中值定理.定理推论若上连续对于之间的任一个数则在且使可能取到或二代數基本使对于定积分中值定理及其推论可能取到或四微分中值定理罗尔中值定式若则罗尔中值定理的推广形式若内为单调函数拉格朗日中值定理若上