2023年六年级图形问题综合奥数含超详细解析答案.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 平面图形计算（一）经典图形：1.任意三角形 ABC 中，CD=31AC，EC=43BC，则三角形 CDE 的面积占总面积的3143=41（为什么？）2.任意平行四边形中任意一点，分别连接四个顶点，构成的四个三角形中，上下两个三角形面积之和等于左右两个三角形面积之和。（为什么？）3.任意梯形，连接对角线，构成四个三角形。（1）腰上的两个三角形面积相等；（2）上下两个三角形面积之积等于左右两个三角形面积之积。（为什么？）4.正方形的面积等于边长的平方，或者等于对角线的平方2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方2，或者等于斜边的平方4.（为什么？）例题：例1 如右图，三角形 AB

2、C 的面积是 10，BE=2AB，CD=3BC，求三角形 BDE 的面积。例2 如图，已知三角形 ABC 的面积是 1，延长 AB 至 D，使 BD=AB，延长 BC 至 E，使 CE=2BC，延长 CA 至 F，使 AF=3AC，求三角形 DEF 的面积。学习必备 欢迎下载 例3 如图，三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AE=ED，EF=2BF，求 AEF 的面积。例4 如图，ABCD 是个长方形，DEFG 是个平行四边形，E 点在 BC 边上，FG 过 A 点，已知，三角形AKF 与三角形 ADG 面积之和等于 5 平方厘米，DC=CE=3 厘米。求三角形

3、BEK 的面积。FKBECDGA 例5 如图，三角形 ABC的 AB和 AC两条边分别被分成 5 等分。三角形 ABC面积是 500，求图中阴影部分的面积？例6 如图，设正方形 ABCD 的面积为 120，E、F 分别为边 AB、AD 的中点，FC=3GC，则阴影部分的面积是多少？ABCDFEG 例7 在如图所示的三角形 AGH 中，三角形 ABC，BCD，CDE，DEF,EFG，FGH的面积分别是 1，2，3，4，5，6 平方厘米，那么三角形 EFH的面积是多少平方厘米？ABCDEFGH 例8 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC为对角线，EF平行于 AC，如果三角形 AED的面积为 12

4、 平方厘米，求三角形 DCF的面积。DCABEF 形连接对角线构成四个三角形腰上的两个三角形面积相等上下两个三角方为什么例题例如右图三角形的面积是求三角形的面积例如图已知三角点在边上过点已知三角形与三角形面积之和等于平方厘米厘米求三角形学习必备 欢迎下载 练习：1.已知正方形 ABCD 的边长是 5cm，又 EF=FG，FD=DG，求三角形 ECG 的面积。EBCGDAF 2.正三角形 ABC 的边长为 12 厘米，BD，DE，EF，FG 四条线段把它的面积 5 等分，求 AF，FD，DC，AG，GE，EB 的长。ABGECDF 3.如图所示是某个六边形公园 ABCDEF，M 为 AB 中点，

5、N 为 CD 中点，P 为 DE 中点，Q 为 FA 中点，其中游览区 APEQ 与 BNDM 的面积之和为 900 平方米。中间的湖泊面积为 361 平方米，其余的部分是草地，问草地面积共有多少平方米？ABCDEFQPNM 4.如图，AE=EC，BD=2DC，AF=3BF，若三角形 ABC 的面积为 270 平方厘米，求图中阴影部分的面积。5.如下图,正方形ABCD的边长为 12,P是边AB上的任意一点,M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点,E、F、G是边CD上的四等分点,图中阴影部分的面积是_.6.如图正方形ABCD的边长是 4 厘米,CG是 3 厘米,长方形DEFG的长DG是 5

6、 厘米,那么它的宽DE是_厘米.形连接对角线构成四个三角形腰上的两个三角形面积相等上下两个三角方为什么例题例如右图三角形的面积是求三角形的面积例如图已知三角点在边上过点已知三角形与三角形面积之和等于平方厘米厘米求三角形学习必备 欢迎下载 7.如图，CE=4EA，BD=3CD，AF=5BF。若三角形 ABC 的面积为 120 平方厘米，求图中四个小三角形的面积。8.DF 与平行四边形 ABCD 的 BC 交于 E 点，与 AB 交于 F 点。若三角形 ABE 的面积是 97 平方厘米，求三角形 CEF 的面积。9.梯形 ABCD，AB，CD 分别是梯形的上，下底。已知阴影部分的总面积为 8 平方

7、厘米，三角形 COD的面积是 16 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积为多少平方厘米？ABCDO 形连接对角线构成四个三角形腰上的两个三角形面积相等上下两个三角方为什么例题例如右图三角形的面积是求三角形的面积例如图已知三角点在边上过点已知三角形与三角形面积之和等于平方厘米厘米求三角形学习必备 欢迎下载 图形与面积(一)一、填空题 1.如下图,把三角形ABC的一条边AB延长1 倍到D,把它的另一边AC延长2 倍到E,得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的_倍.2.如下图,在三角形ABC中,BC=8 厘米,AD=6 厘米,E、F分别为AB和AC的中点.那么三角形EBF的

8、面积是_平方厘米.3.如下图,41,31ACCDBCBE那么,三角形AED的面积是三角形ABC面积的_.4.下图中,三角形ABC的面积是 30 平方厘米,D是BC的中点,AE的长是ED的长的 2 倍,那么三角形CDE的面积是_平方厘米.5.5.现有一个 55 的方格表(如下图)每个小方格的边长都是 1,那么图中阴影部分的面积总和等于_.6.下图正方形ABCD边长是10厘米,长方形EFGH的长为8厘米,宽为5厘米.阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是_平方厘米.7.如图所示,一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形.现知A的面积是2cm2,B的面积是4cm2,C的面积是6cm2.那么原矩形的面积是_平方

9、厘米.8.有一个等腰梯形,底角为450,上底为8 厘米,下底为12 厘米,这个梯形的面积应是_平方厘米.9.已知三角形ABC的面积为 56 平方厘米、是平行四边形DEFC的 2 倍,那么阴影部分的面积是_平方厘米.10.下图中,在长方形内画了一些直线,已知边上有三块面积分别是 13,35,49.那么图中阴影部分的面积是_.二、解答题 11.已知正方形的面积是 50 平方厘米,三角形ABC两条直角边中,长边是短边的 2.5 倍,求三角形ABC的面积.形连接对角线构成四个三角形腰上的两个三角形面积相等上下两个三角方为什么例题例如右图三角形的面积是求三角形的面积例如图已知三角点在边上过点已知三角形与

10、三角形面积之和等于平方厘米厘米求三角形学习必备 欢迎下载 12.如图,长方形ABCD中,AB=24cm,BC=26cm,E是BC的中点,F、G分别是AB、CD的四等分点,H为AD上任意一点,求阴影部分面积.13.有两张正方形纸,它们的边长都是整厘米数,大的一张的面积比小的一张多 44 平方厘米.大、小正方形纸的边长分别是多少?14.用面积为1,2,3,4的四张长方形纸片拼成如图所示的一个长方形.问:图中阴影部分面积是多少?图形与面积（二）一、填空题 1.下图是由 16 个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是 400 平方厘米,那么它的周长是_厘米.2.第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请

11、赛在 7 月 21 日开幕,下面的图形中,每一小方格的面积是 1.那么 7,2,1 三个数字所占的面积之和是_.3.下图中每一小方格的面积都是 1 平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是_平方厘米.4.下图的两个正方形,边长分别为 8 厘米和 4 厘米,那么阴影部分的面积是_平方厘米.5.在ABC中,DCBD2,BEAE,已知ABC的面积是 18 平方厘米,则四边形AEDC的面积等于_平方厘米.6.下图是边长为 4 厘米的正方形,AE=5厘米、OB是_厘米.7.如图正方形ABCD的边长是 4 厘米,CG是 3 厘米,长方形DEFG的长DG是 5 厘米,那么它的宽DE是_厘米.25 20 30 3

12、6 16 12 形连接对角线构成四个三角形腰上的两个三角形面积相等上下两个三角方为什么例题例如右图三角形的面积是求三角形的面积例如图已知三角点在边上过点已知三角形与三角形面积之和等于平方厘米厘米求三角形学习必备 欢迎下载 8.如图,一个矩形被分成 10 个小矩形,其中有 6 个小矩形的面积如图所示,那么这个大矩形的面积是_.9.10.如下图,正方形ABCD的边长为 12,P是边AB上的任意一点,M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点,E、F、G是边CD上的四等分点,图中阴影部分的面积是_.11.下图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米,阴影部分的总面积是10平方厘米,四边形ABCD的面

13、积是_平方厘米.二、解答题 12.图中正六边形ABCDEF的面积是 54.PFAP2,BQCQ2,求阴影四边形CEPQ的面积.13.如图,涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米.问:大正六角星形面积是多少平方厘米.14.一个周长是 56 厘米的大长方形,按图 35 中(1)与(2)所示意那样,划分为四个小长方形.在(1)中小长方形面积的比是:2:1:BA,2:1:CB.而在(2)中相应的比例是3:1:BA,3:1:CB.又知,长方形D的宽减去D的宽所得到的差,与D的长减去在D的长所得到的差之比为 1:3.求大长方形的面积.15.如图,已知5CD,7DE,15EF,6FG.直线AB将图形

14、分成两部分,左边部分面积是 38,右边部分面积是 65.那么三角形ADG面积是_.A C A C B D B D 形连接对角线构成四个三角形腰上的两个三角形面积相等上下两个三角方为什么例题例如右图三角形的面积是求三角形的面积例如图已知三角点在边上过点已知三角形与三角形面积之和等于平方厘米厘米求三角形学习必备 欢迎下载 （一）答案：1.6.如下图,连接BE,因为ACCE2,所以,ABCBCESS2,即ABCABESS3.又因为BDAB,所以,BDEABESS,这样以来,ABCADESS6.2.6.已知E、F分别是AB和AC的中点,因此ABF的面积是ABC的面积 的21,EBF的面积又是ABF的面

15、积的21.又因为24682121ADBCSABC(平方厘米),所以6242121 EBFS(平方厘米).3.21.由,41,31ACCDBCBE可知ACADBCEC4,332.因为ABC与AEC是同一个顶点,底边在同一条线段,所以这两个三角形等高,则三角形面积与底边成正比例关系,因此ABCAECSS32.同理可知AECAEDSS43.这样以来,AED的面积是ABC的32的43,即是ABC的面积的21.所以,AED的面积是ABC的21.4.5.因为D是BC的中点,所以三角形ADC和三角形ABD面积相等(等底、等高的三角形等积),从而三角形ADC的面积等于三角形ABC面积的一半,即 302=15(

16、平方厘米).在CDE与ADC中,DADE31,高相等,所以CDE的面积是ADC面积的31.即CDE的面积是51531(平方厘米)5.10 三 个 阴 影 三 角 形 的 高 分 别 为 3,2,2,底 依 次 为 2,4,3,所 以 阴 影 部 分 面 积 总 和 等 于10322142212321.6.60 设正方形ABCD的面积为a,长方形EFGH的面积为b,重叠部分EFNM的面 积为c,则阴影部分的面积差是:bacbca)()(.即阴影部分的面积差与重叠部分的面积大小无关,应等于正方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积之差.所求答案:10 10-85=60(平方厘米).7.24 图中的

17、四个矩形是大矩形被两条直线分割后得到的,矩形的面积等于一组邻边的乘积.从横的方向看,两个相邻矩形的倍比关系是一致的,B是A的 2 倍,那么D也应是C的 2 倍,所以D的面积是 26=122cm,从而原矩形的面积是 2+4+6+12=242cm.8.20 如下图,从上底的两个端点分别作底边的垂线,则BCFE是矩形,22)812(CDAB(厘米).因为045 A,所以ABE是等腰直角三角形,则2ABBE(厘米).根据梯形的 求积公式得:2022128梯形S(平方厘米).9.14 由已知条件,平行四边形DEFC的面积是:56 2=28(平方厘米)如下图,连接 EC,EC为平行四行形DEFC的对角线,

18、由平行四边形的性质如,SSDEC21DEFC 282114(平方厘米).在AED与CED中,ED为公共底边,DE平行于AC,从而ED边上的高相等,所以,CEDAEDSS14(平方厘米).形连接对角线构成四个三角形腰上的两个三角形面积相等上下两个三角方为什么例题例如右图三角形的面积是求三角形的面积例如图已知三角点在边上过点已知三角形与三角形面积之和等于平方厘米厘米求三角形学习必备 欢迎下载 10.97 因为长方形的面积等于ABC与ECD的面积和,所以ABC与ECD 重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和,即97133549影阴S.11.画两条辅助线如下图,根据条件可知,正方形面

19、积是长方形ABCD面积的2.5 倍.从而 ABCD的面积是502.5=20(平方厘米).所以ABC的面积是202=10(平方厘米).12.连结BH,BEH的面积为)(21624)236(212cm.把BHF和DHG结合起来考虑,这两个三角形的底BF、DG相等,且都等于长方形宽的41,它们的高AH与DH之和正好是长方形的长,所 以 这 两 个 三 角 形 的 面 积 之 和 是:)(212112DHAHBFDHDGAHBF )(10836244121212cmADBF.于是,图中阴影部分的面积为216+108=324)(2cm.13.把两张正方形纸重叠在一起,且把右边多出的一块拼到上面,成为一个

20、长方形,如图:这个长方形的面积是44 平方厘米,它的长正好是两个正方形的边长的和,它的宽正好是 两个正方形的边长的差.因为两个整数的和与它们的差是同奇或同偶,而 44 又只能分解成下面的三种形式:44=144=222=411.所以,两个正方形的边长的厘米数的和与差只能是 22 与 2.于是,两个正方形的边长是(22+2)2=12(厘米),12-2=10(厘米).14.如图大长方形面积为1+2+3+4=10.延长RA交底边于Q,延长SB交底边于P.矩形ABPR面 积是上部阴影三角形面积的2 倍.矩形ABSQ是下部阴影三角形面积的2 倍.所以矩形RQSP的面 积是阴影部分面积的两倍.知CDCA31

21、,CDCB73CDCDCDCACBAB2123173因此矩形RQSP的面积是大矩形面积的212,阴影部分面积是大矩形面积的211.阴影部分面积=21110=2110.（二）答案：1.170.每个小正方形的面积为 40016=25 平方厘米,所以每个小正方形的边长为 5cm,因此它的周长是345=170 厘米.2.25.7,2,1所占面积分别为 7.5,10 和 7.5.3.6.5.直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围的正方形和直角三角形来计算.周围有正方形 3 个,面积为 1 的三角形 5 个,面积为 1.5 的三角形一个,因此围成面积是 44-3-5-1.5=6.5(平方厘米).

22、4.24 仿上题,大、小两个正方形面积之和减去两只空白三角形的面积和,所得的差就是阴影部分的面积.2)84(42888422=16+64-(32+24)=80-56=24(平方厘米)5.12 如下图,连接AD,因为DCBD2,所以ADCABDSS 2;又18ABCADCABDSSS,所 以12 ABDS.因 为BEAE,所 以621ABDADEBDESSS;因 此12618BDEABCAEDCSSS(平方厘米).6.3.2如 下 图,连 接BE,则8442121正方形SSABE(平 方 厘 米).从 另 一 角 度看,OBSABE521,于是8521 OB.528OB=3.2(厘米)形连接对角

23、线构成四个三角形腰上的两个三角形面积相等上下两个三角方为什么例题例如右图三角形的面积是求三角形的面积例如图已知三角点在边上过点已知三角形与三角形面积之和等于平方厘米厘米求三角形学习必备 欢迎下载 7.3.2 如下图,连接AG,则AGD的面积是正方形ABCD面积的21,也是长方形 DEFG的面积的21,于是长方形DEFG的面积等于正方形ABCD的面积 44=16(平方 厘米).2.3516DE(厘米).8.243 我们用A,B,C,D分别表示待计算的小矩形面积上、下两个矩形,长是相同的.A 25 20 30 D 36 B 16 C 12 因此它们的面积之比,就是宽之比,反之,宽之比,就是面积之比

24、.这样就有:20:16=A:36,45163620A;20:16=25:B,20202516B;20:16=30:C,24203016C;20:16=D:12,15161220D.因此,大矩形的面积是:45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243 9.60 如下图,连接PD,则阴影部分就是由四个三角形:PDH,PGD,PEF和PMN组成.PGD和PEF的底都有 3,高为 12,所以1812321PEFPGDSS.PDH和PMN的底都是 4,两条高分别为PA和PB则:PBPASSPMNPDH421421=2(PA+PB)=212=24 所以,阴影部分的面积是:PEFPGDS

25、SPMNPDHSS=18+18+24=60 10.4 长方形EFGH的面积是 64=24(平方厘米)1221EFGHAHGAEFSSS(平方厘米)阴影总面积SSSSSAHGAEFADHEBA=12-10=2(平方厘米)又6244141EFGHECHSS(平方厘米)所以,四边形ABCD的面积等于:)(ADHEBAECHSSS=6-2=4(平方厘米)11.如图,将正六边形ABCDEF等分为 54 个小正三角形.根据平行四边形对角线平分平行四边形面积.采用数小三角形的办法来计算面积.PEF面积=3;CDE面积=9;四边形ABQP面积=11.上述三块面积之和为 3+9+11=23,因此,阴影四边形CE

26、PQ面积为 54-23=31.12.如图,涂阴影部分小正六角星形可分成 12 个与三角形OPN全等(能完全重叠地放在一起)的小三角形.三形OPN的面积是341216平方厘米.正三角形OPM面积是由三个与三角形OPN全等的三角形组成.所以正三角形OPM的面积等于4334(平方厘米).由于大正方六角星形由 12 个与正三角形 OPM全等的三角形组成,所以大正六角星形的面积是 412=48(平方厘米)13.设大长方形的宽为x,则长为 28-x.因为,xD32宽,xD43宽,所以,12xDD宽宽.xD 2854长,xD28109长,xDD28101长长.由题设可知,12x:11028 x:3 或 41

27、028xx,于是2071028x,8x.大长方形的长=28-8=20,从而大长方形的面积为 820=160 平方厘米.14.三角形AEG面积是三角形AED面积的(15+6)7=3(倍),三角形BEF面积是三角形BEC面积的 形连接对角线构成四个三角形腰上的两个三角形面积相等上下两个三角方为什么例题例如右图三角形的面积是求三角形的面积例如图已知三角点在边上过点已知三角形与三角形面积之和等于平方厘米厘米求三角形学习必备 欢迎下载 15(5+7)=45(倍).所以 65-3845等于三角形AEG面积与三角形AED面积的45之差,因此三角形AED的面积是(65-3845)(3-45)=10.三角形ADG面积是 10(3+1)=40.形连接对角线构成四个三角形腰上的两个三角形面积相等上下两个三角方为什么例题例如右图三角形的面积是求三角形的面积例如图已知三角点在边上过点已知三角形与三角形面积之和等于平方厘米厘米求三角形