2023年函数的单调性与导数精品讲义1.pdf

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1、1.3.1 函数的单调性与导数【教学目标】1正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2掌握利用导数判断函数单调性的方法。【教学重点】利用导数判断函数单调性。【教学难点】利用导数判断函数单调性。【内容分析】以前，我们用定义来判断函数的单调性 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间 I 上的增函数 对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么函数f(x)就是区间 I 上的减函数。在函数 y=f(x)比较复杂的情况下，比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。【教

2、学过程】一、复习引入 1 常见函数的导数公式：0C；1)(nnnxx；xxcos)(sin；xxsin)(cos 2法则 1 )()()()(xvxuxvxu 法则 2 ()()()()()()u x v xu x v xu x v x,()()Cu xCu x 法则 3 2(0)uu vuvvvv 3复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f(x)在点x处也有导数，且xuxuyy 或fx(x)=f(u)(x)4复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代 5对数函数的导数：xx1)(ln exxaalog

3、1)(log 6指数函数的导数：xxee)(；aaaxxln)(二、讲解新课 1 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线 y=f(x)的切线的斜率就是函数 y=f(x)的导数从函数342xxy的图像 可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数 y=f(x)的 y=f(x)=x24x+3 切线的斜率 f(x)(2，+)增函数 正 0(，2)减函数 负 0 321f x =x2-4 x+3xOyBA值随着 x 的增大而增大，即/y0 时，函数 y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数 y=f(x)的值随着 x 的增大而减小，即/y0 时，函数

4、y=f(x)在区间（，2）内为减函数 定义：一般地，设函数 y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y0，那么函数 y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y0，那么函数 y=f(x)在为这个区间内的减函数 2用导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的导数f(x)令f(x)0 解不等式，得x的范围就是递增区间。令f(x)0 解不等式，得x的范围，就是递减区间。三、讲解范例 例1确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。解：f(x)=(x22x+4)=2x2 令 2x20，解得x1 当x(1，+)时，f(x)0，f(x)是增函数 令 2x2

5、0，解得x1 当x(，1)时，f(x)0，f(x)是减函数 例2确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增 函数，哪个区间内是减函数 解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x 令 6x212x0，解得x2 或x0 当x(，0)时，f(x)0，f(x)是增函数 当x(2，+)时，f(x)0，f(x)是增函数 令 6x212x0，解得 0 x2 当x(0，2)时，f(x)0，f(x)是减函数 例 3 证明函数f(x)=x1在(0，+)上是减函数 证法一：（用以前学的方法证）证法二：（用导数方法证）f(x)=(x1)=(1)x2=21x，x0，x20，21x0 f(x)0，f(x)=

6、21x在(0，+)上是减函数。点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。例 4 求函数y=x2(1 x)3的单调区间 解：y=x2(1 x)3=2x(1 x)3+x23(1 x)2(1)=x(1 x)22(1 x)3x=x(1 x)2(2 5x)21f x =x2-2 x+4xOy21f x =2 x3-6 x2+7xOy于任意的两个数且当时都有那么函数就是区间上的增函数对于任意的两引入常见函数的导数公式法则法则法则复合函数的导数设函数在点处有导数与函数的单调性的关系我们已经知道曲线的切线的斜率就是函数的令x(1

7、 x)2(2 5x)0，解得 0 x52 y=x2(1 x)3的单调增区间是(0，52)令x(1 x)2(2 5x)0，解得x0 或x52且x1 1x 为拐点，y=x2(1 x)3的单调减区间是(，0)，(52，+)125f x =x2 1-x 3xOy 例 5 当x0 时，证明不等式：1+2xe2x 分析：假设令f(x)=e2x12xf(0)=e010=0,如果能够证明f(x)在(0，+)上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以证明。证明：令f(x)=e2x12x f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0，e2xe0=1，2(e2x1)0,即f(x)0 f(x)=e2x12x在(0，+)上

8、是增函数。f(0)=e010=0当x0 时，f(x)f(0)=0，即e2x12x0 1+2xe2x 点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为 0。例 6 已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间。解：y=(x+x1)=11x2=222)1)(1(1xxxxx 令2)1)(1(xxx0 解得x1 或x1 y=x+x1的单调增区间是(，1)和(1，+)令2)1)(1(xxx0，解得1x0 或 0 x1-22-11f x =x+1xxOy于任意的两个数且当时都有那么函数就是区间上的增函数对于任意的两引入常见函数的导数公式法则法则法则复合函数的导数设

9、函数在点处有导数与函数的单调性的关系我们已经知道曲线的切线的斜率就是函数的y=x+x1的单调减区间是(1，0)和(0，1)四、课堂练习 1确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x (2)y=xx3(1)解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令 3(x2)(x4)0，解得x4 或x2 y=x39x2+24x的单调增区间是(4，+)和(，2)令 3(x2)(x4)0，解得 2x4y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y=(xx3)=13x2=3(x231)=3(x+33)(x33)令3(x+33)(x33)0，解得33x33 y=xx3的

10、单调增区间是(33，33)令3(x+33)(x33)0，解得x33或x33 y=xx3的单调减区间是(，33)和(33，+)2讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调区间 解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b,令 2ax+b0，解得xab2 y=ax2+bx+c(a0)的单调增区间是(ab2，+)令 2ax+b0，解得xab2 y=ax2+bx+c(a0)的单调减区间是(，ab2)3求下列函数的单调区间(1)y=xx2 (2)y=92xx(3)y=x+x(1)解：y=(xx2)=2222xxxx 于任意的两个数且当时都有那么函数就是区间上的增函数对于任意的两引入常见函数的导数公式法则

11、法则法则复合函数的导数设函数在点处有导数与函数的单调性的关系我们已经知道曲线的切线的斜率就是函数的当x0 时，22x0，y0 y=xx2的单调减区间是(，0)与(0，+)(2)解：y=(92xx)222)9(29xxxx222222)9(9)9(9xxxx 当x3 时，222)9(9xx0，y0 y=92xx的单调减区间是(，3)，(3，3)与(3，+)(3)解：y=(x+x)12112121xx 当x0 时x21+10，y0 y=x+x的单调增区间是(0，+)五、小结 f(x)在某区间内可导，可以根据f(x)0 或f(x)0 求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式以及当f(x)=0 在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数 六、课后作业 于任意的两个数且当时都有那么函数就是区间上的增函数对于任意的两引入常见函数的导数公式法则法则法则复合函数的导数设函数在点处有导数与函数的单调性的关系我们已经知道曲线的切线的斜率就是函数的