2023年函数解析式的七种求法.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是yf（x），不能把它写成f（x，y）0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数fg（x）的表达式，求f（x）的表达式

2、时可以令tg（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x 代换x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（x）（或f（1/x）即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，

3、最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数yfg（x）的定义域的求解，应先由yf（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x 的范围I1；再由g（x）求出yg（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义

4、域；（三）求函数的值域 1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：AB 中，集合B 未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C 是B 的子集；若CB，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结 函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1 设)(x

5、f是一次函数，且34)(xxff，求)(xf 解：设baxxf)()0(a，则 babxabbaxabxafxff2)()()(精品资料 欢迎下载 342baba 3212baba或 32)(12)(xxfxxf或 二、配凑法：已知复合函数()f g x的表达式，求()f x的解析式，()f g x的表达式容易配成()g x的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x的值域。例2 已知221)1(xxxxf)0(x，求()f x的解析式 解：2)1()1(2xxxxf，21xx 2)(2xxf )2(x 三、换元法：已知复合函数()f g

6、x的表达式时，还可以用换元法求()f x的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3 已知xxxf2)1(，求)1(xf 解：令1 xt，则1t，2)1(tx xxxf2)1(,1)1(2)1()(22ttttf 1)(2xxf)1(x xxxxf21)1()1(22)0(x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式 解：设),(yxM为)(xgy 上任一点，且),(yxM为),(yxM关于点)3,2(的对称点 则3222yyxx，解得：yyxx64，点),(yxM在)(x

7、gy 上 xxy2 范围一致时可以不标出定义域一般地我们可以在求解函数解析式的过程以设出其一般形式然后代值求出参数的值换元法若给出了复合函数的表求函数解析式设定或选取自变量与因变量后寻找或构造它们之间的等量精品资料 欢迎下载 把yyxx64代入得：)4()4(62xxy 整理得672xxy 67)(2xxxg 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5 设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf 解 xxfxf)1(2)(显然,0 x将x换成x1，得：xxfxf1)(2)1(解 联立的方程组，得：xxxf323)

8、(例6 设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式 解)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，)()(),()(xgxgxfxf 又11)()(xxgxf ，用x替换x得：11)()(xxgxf 即11)()(xxgxf 解 联立的方程组，得 11)(2xxf，xxxg21)(范围一致时可以不标出定义域一般地我们可以在求解函数解析式的过程以设出其一般形式然后代值求出参数的值换元法若给出了复合函数的表求函数解析式设定或选取自变量与因变量后寻找或构造它们之间的等量精品资料 欢迎下载 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具

9、有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例7 已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf 解对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，不妨令0 x，则有1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf 再令 xy 得函数解析式为：1)(2xxxf 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8 设)(xf是 定 义 在N上 的 函 数，满 足1)1(f，对 任 意 的 自 然 数ba,都 有abbafbfaf)()()(，求)(xf 解 Nbaabbafbfaf,)()()(，不妨令1,bxa，得：xxffxf)1()1()(，又1)()1(,1)1(xxfxff故 分别令式中的1,21xn 得：(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),fffff nf nn 将上述各式相加得：nfnf32)1()(，2)1(321)(nnnnf Nxxxxf,2121)(2 范围一致时可以不标出定义域一般地我们可以在求解函数解析式的过程以设出其一般形式然后代值求出参数的值换元法若给出了复合函数的表求函数解析式设定或选取自变量与因变量后寻找或构造它们之间的等量