2023年函数的单调性知识点总结归纳全面汇总归纳与经典题型全面汇总归纳1.pdf

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1、学习必备 精品知识点 函数的单调性 知识梳理 1.单调性概念 一般地，设函数()f x的定义域为I：（1）如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12xx时，都有12()()f xf x，那么就说函数()f x在区间D上是增函数；（2）如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x，当12xx时，都有12()()f xf x，那么就说函数()f x在区间D上是减函数.2.单调性的判定方法（1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（2）定义法步骤；取值：设12,x x是给定区间内的两个任意值，且12xx(或12xx)；

2、作差：作差12()()f xf x，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）；定号：判断12()()f xf x的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；下结论：根据定义得出其单调性.（3）复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）3.单调区间的定义 如果函数()yf x，在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D叫做()yf x的单调区间 例题精讲【例 1】下图为某地区 24 小时内的气温变化图 (1)从左向右看，图形是如何变化的？(2)在哪些区

3、间上升?哪些区间下降？学习必备 精品知识点 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；（2）在区间0,4和14,24下降，在区间4,14下降。【例 2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x)=x;从左至右图象上升还是下降?在区间(-，+)上，随着 x 的增大，f(x)的值随着怎么变化？（2）f(x)=x2 在区间(-，0)上，随着 x 的增大，f(x)的值随着怎么变化？在区间0，+)上，随着 x 的增大，f(x)的值随着怎么变化？解：（1）从左至右图象是上升的；在区间(-，+)上，随着 x 的增大，f(x)的值随着增大（2）在区间(-，0)上，随着 x 的增大，f(x)的值

4、随着减小；在区间0，+)上，随着 x 的增大，f(x)的值随着增大 【例 3】函数()yf x在定义域的某区间D上存在12,x x，满足12xx且12()()f xf x，那么函数()yf x在该区间上一定是增函数吗？解：不一定，例如下图：【例 4】下图是定义在闭区间 5,5上的函数()yf x的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数 解：函数()yf x的单调区间有 5,2),2,1),1,3),3,5)；其中在区间 5,2),1,3)上是减函数，在区间 2,1),3,5)上是增函数.【例 5】证明函数()32f xx在R上是增函数.就说函数在区间上是减

5、函数当当时都有时都有单调性的判定方法图像法判断整个差式符号为止的正负要注意说理的充分性必要时要讨论下结论减类于负负得正单调区间的定义如果函数区间叫做在区间上是增函数或学习必备 精品知识点 证明：设12,x x是R上的任意两个实数，且12xx （取值）则1212()()(32)(32)f xf xxx （作差）123()xx 由12xx，得 120 xx 于是12()()0f xf x （定号）所以12()()f xf x 所以，函数()32f xx在R上是增函数。（下结论）课堂练习 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1.若函数()f x在区间(,)a b上是增函数，在区间(,)c d上也是增函数

6、，则函数()f x在区间(,)(,)a bc d上()A.必是增函数 B.必是减函数 C.先增后减 D.无法确定单调性 2.在区间(,0)上为增函数的是（）A1y B21xxy C122xxy D21xy 3函数,在 上是（）A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.无单调性 4如果函数 f(x)在a，b上是增函数，对于任意的 x1，x2a，b(x1x2)，下列结论不正确的是()A.f x1 f x2x1x20 B(x1x2)f(x1)f(x2)0 Cf(a)f(x1)f(x2)0 5函数11yx的减区间是 .6证明：函数1()f xx在(0,)上是减函数。7已知 f(x)在(0，)上是减函数

7、，判断 f(a2a1)与 f34的大小关系 就说函数在区间上是减函数当当时都有时都有单调性的判定方法图像法判断整个差式符号为止的正负要注意说理的充分性必要时要讨论下结论减类于负负得正单调区间的定义如果函数区间叫做在区间上是增函数或学习必备 精品知识点 8若函数 f(x)4x2kx8 在5,8上是单调函数，求 k的取值范围.9已知函数()1axf xx,若.(l)求 的值.(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.就说函数在区间上是减函数当当时都有时都有单调性的判定方法图像法判断整个差式符号为止的正负要注意说理的充分性必要时要讨论下结论减类于负负得正单调区间的定义如果函数区间叫做在区间上是增函数或