2023年初一数学奥林匹克竞赛题含超详细解析答案.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一 甲多开支100 元，三年后负债 600 元求每人每年收入多少？S 的末四位数字的和是多少？4一个人以 3 千米/小时的速度上坡，以 6 千米/小时的速度下坡，行程 12 千米共用了 3 小时 20 分钟，试求上坡与下坡的路程 5求和：6证明：质数 p 除以 30 所得的余数一定不是合数 8若两个整数 x，y 使 x2+xy+y2能被 9 整除，证明：x 和 y 能被 3 整除 9如图 195 所示在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD的中点为 M，N，MN的延长线与 AB边交于 P点求证：PCD的面积等于四边形 ABCD

2、 的面积的一半 解答：所以 x=5000(元)优秀学习资料 欢迎下载 所以 S 的末四位数字的和为 1995=24 3因为 a-b0，即ab即当 b a0 或 ba0 时，等式成立 4设上坡路程为 x 千米，下坡路程为 y 千米依题意则 有 由有 2x+y=20，由有 y=12-x将之代入得 2x+12-x=20 所以 x=8(千米)，于是 y=4(千米)5第 n 项为 所以 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 6设 p=

3、30q r，0r30因为 p 为质数，故 r0，即 0r30假设 r为合数，由于 r30，所以 r 的最小质约数只可能为 2，3，5再由 p=30qr知，当 r 的最小质约数为 2，3，5 时，p 不是质数，矛盾所以，r 一定不是合数 7设 由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)可知 m 4由，m 0，且为整数，所以 m=1，2，3下面分别研究 p，q (1)若 m=1时，有 解得 p=1，q=1，与已知不符，舍去 (2)若 m=2时，有 因为 2p-1=2q或 2q-1=2p都是不可能的，故 m=2时无解 (3)若 m=3时，有 与下坡的路程求和证明质数除

4、以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 解之得 故 p q=8 8因为 x2+xy+y2=(x-y)2+3xy由题设，9(x2+xyy2)，所以 3(x2xyy2)，从而 3(x-y)2因为 3 是质数，故 3(x-y)进而 9(x-y)2由上式又可知，93xy，故 3xy所以 3x 或 3y若 3x，结合 3(x-y)，便得 3y；若 3y，同理可得，3x 9连结 AN，CN，如图 1103 所示因为 N是 BD的中点，所以 上述两式相加 另一方面，

5、SPCD=SCNDSCNPSDNP 因此只需证明 SANDSCNPSDNP 由于 M，N分别为 AC，BD的中点，所以 SCNP=SCPM-SCMN =SAPM-SAMN =SANP 又 SDNP=SBNP，所以 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 SCNPSDNP=SANP+SBNP=SANB=SAND 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米

6、下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 初一奥数题二 1已知 3x2-x=1，求 6x3+7x2-5x2000 的值 2某商店出售的一种商品，每天卖出100 件，每件可获利 4 元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价 1 元，每天就少卖出 10 件试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3 如图 196 所示 已知 CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，12=90 求证：DA AB 4已知方程组 的解应为 一个学生解题时把 c 抄错了，因此得到的解为 求 a2b2c2的值 5求方

7、程xy-2x+y=4 的整数解 6王平买了年利率 7.11 的三年期和年利率为 7.86 的五年期国库券共 35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为 47761 元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为 5.22)7对 k，m的哪些值，方程组 至少有一组解？8求不定方程 3x4y13z=57 的整数解 9小王用 5 元钱买 40 个水果招待五位朋友水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为 20 分、8 分、3 分小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？

8、解答：与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 1原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000=2x 131-2x+2000=2003 2原来每天可获利 4100 元，若每件提价 x 元，则每件商品获利(4 x)元，但每天卖出为(100-10 x)件如果设每天获利为 y 元，则 y(4 x)(100-10 x)=400100 x-40 x-10 x2=-10(x2-6x9)90400=-10(x-3)2490 所以

9、当 x=3 时，y 最大=490 元，即每件提价 3 元，每天获利最大，为 490 元 3因为 CE平分BCD，DE平分ADC及12=90(图 1104)，所以 ADC BCD=180，所以 AD BC 又因为 ABBC，由，ABAD 4依题意有 所以 a2+b2+c2=34 5xy-2x+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2，所以(x+1)(y-2)=2 因为x10，且 x，y 都是整数，所以 所以有 6设王平买三年期和五年期国库券分别为x 元和 y 元，则 因为 y=35000-x，与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设

10、上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 所以 x(1 0.0711 3)(1 0.0522)2+(35000-x)(1+0.07865)=47761，所以 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)7因为 (k1)x m-4，m为一切实数时，方程组有唯一解当 k=1，m=4时，的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解 当 k=1，m 4 时，无解 所以，k1，m为任何实数，或 k=1，m=4时，方程组至少有一组解 8由题

11、设方程得 z3m-y x=19-y-4(3m-y)-m=19+3y-13m 原方程的通解为 其中 n，m取任意整数值 9设苹果、梨子、杏子分别买了 x，y，z 个，则 消去 y，得 12x-5z=180它的解是 x=90-5t，z=180-12t 代入原方程，得 y=-23017t 故 x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t x=20，y=8，z=12 因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有 123+4与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所

12、以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 56=2120 个 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 初一奥数题三 1解关于 x 的方程 2解方程 其中 abc0 3求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和 4液态农药一桶，倒出 8 升后用水灌满，再倒出混合溶液4 升，再用水灌满，这时农药的浓度为 72，求桶的容量 5满足-1.77x=-2x的自然数 x 共有几个？这里x 表示不超过 x

13、的最大整数，例如-5.6=-6，3=3 6设 P是ABC内一点求：P到ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围 7甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行 24 千米，甲经过 9小时到东站，乙经过 16 小时到西站，求两站距离 8黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减 1，这样继续下去，最后得到 19，1997，1999，问原来的三个数能否是 2，2，2？9设有 n 个实数 x1，x2，xn，其中每一个不是+1 就是-1，且 求证：n 是 4 的倍数 解答：1化简得 6(a-1)x=3-6b+4ab，当 a1 时，2将原方程变形为 与下坡的路程求和证明质数

14、除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 由此可解得 x=ab+c 3当 x=1 时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1即所求展开式中各项系数之和为 1 依题意得 去分母、化简得 7x2-300 x+800=0，即 7x-20)(x-40)=0，5 若n为 整 数，有 n x=n x，所 以-1.77x=-2x0.23x=-2x+0.23x 由已知-1.77x=-2x，所以-2x=-2x+0.23x，所以 0.23x=0 又因为 x 为自然数，所以

15、00.23x 1，经试验，可知 x 可取 1，2，3，4，共 4 个 6如图 1105 所示在PBC中有 BC PBPC，延长 BP交 AC于 D易证 PBPCAB AC 由，BCPBPCAB+AC，同理 ACPA PCAC BC，AB PA PBAC AB 得 AB BC CA 2(PAPBPC)2(ABBC CA)所以 7设甲步行速度为 x 千米/小时，乙步行速度为 y 千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由

16、式得即可优秀学习资料 欢迎下载 米依题意得 由得 16y2=9x2，由得 16y=249x，将之代入得 即(24 9x)2=(12x)2解之得 于是 所以两站距离为 98166=168(千米)8答案是否定的对于 2，2，2，首先变为 2，2，3，其中两个偶数，一个奇数以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为 19，1997，1999 这三个奇数 。又因为 所以，k 是偶数，从而 n 是 4 的倍数 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不

17、是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 初一奥数题四 1已知 a，b，c，d 都是正数，并且 ada，cdb 求证：acbdab 2已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5 倍因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2 倍 调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了 2，求乙种商品提价的百分数 3在锐角三角形 ABC中，三个内角都是质数求三角形的三个内角 4某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000 台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台？z=x+y+y+1+

18、x-2y+4，求 z 的最大值与最小值 8从 1 到 500 的自然数中，有多少个数出现 1 或 5？9从 19，20，21，98 这 80 个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？解答：1由对称性，不妨设 ba，则 acbdacad=a(c d)ab 2设乙种商品原单价为 x 元，则甲种商品的原单价为 1.5x 元设甲商品降价 y，则乙商品提价 2y依题意有 1.5x(1-y)+x(1 2y)=(1.5x x)(12)，化简得 1.5-1.5y+1+2y=2.5 1.02 所以 y=0.1=10，所以甲种商品降价 10，乙种商品提价 20 3因为A+BC=180，所以A，B

19、，C 中必有偶数唯一的偶质数为 2，所以C=2所以A+B=178由于需A，B为奇质数，这样的解不唯一，如 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 4设每年增产 d 千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为 a-d，a，ad 依题意有 解之得 所以三年产量分别是 4 千台、6 千台、8 千台 不等式组：所以 x2；无解 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路

20、程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 6设原式为 S，则 所以 又 0.112-0.001=0.111 因为 所以 =0.105 7由x1，y1 得-1 x1，-1y1 所以 y10，x-2y+4-1-21+4=10 所以 z=x+y+(y+1)+(x-2y+4)=x+yx-y5 (1)当 x+y+0 时，z=-(x+y)x-y+5=5-2y 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学

21、习资料 欢迎下载 由-1y1 可推得 35-2y7，所以这时，z 的最小值为 3、最大值为 7 (2)当 x+y0 时，z=(x y)+(x-y+5)=2x+5 由-1x1 及可推得 32x+57，所以这时 z 的最小值为 3、最大值为 7 由(1)，(2)知，z 的最小值为 3，最大值为 7 8百位上数字只是 1 的数有 100，101，199 共 100 个数；十位上数字是 1 或 5 的(其百位上不为 1)有 2310=60(个)个位上出现 1 或 5 的(其百位和十位上都不是 1 或 5)有 238=48(个)再加上 500 这个数，所以，满足题意的数共有 100+60+48+1=20

22、9(个)9从 19 到 98 共计 80 个不同的整数，其中有 40 个奇数，40 个偶数第一个数可以任选，有 80 种选法第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他的 39个偶数中选取，有 39 种选法同理，第一个数如果是奇数，第二个数也有 39种选法，但第一个数为 a，第二个为 b 与第一个为 b，第二个为 a 是同一种选法，所以总的选法应该折半，即共有 种选法 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 初一奥数题五 1一项任务

23、，若每天超额 2 件，可提前计划 3 天完工，若每天超额 4 件，可提前 5 天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间 2已知两列数 2，5，8，11，14，17，2(200-1)3，5，9，13，17，21，25，5(200-1)4，它们都有 200 项，问这两列数中相同的项数有多少项？3求 x3-3px2q 能被 x22axa2整除的条件 4证明不等式 5若两个三角形有一个角对应相等求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比 6已知(x-1)2除多项式 x4ax3-3x2bx3 所得的余式是 x+1，试求 a，b的值 7今有长度分别为 1，2，3，9 的线段各一条，可用多少种

24、不同方法，从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？8平面上有 10 条直线，其中 4 条是互相平行的问：这 10 条直线最多能把平面分成多少部分？9边长为整数，周长为 15 的三角形有多少个？解答：1设每天计划完成 x 件，计划完工用的时间为 y 天，则总件数为 xy 件依题意得 解之得 总件数 xy=8 15=120(件)，即计划用 15 天完工，工作的件数为 120 件 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 2 第一列数

25、中第n项表示为2(n-1)3，第二列数中第m项表示为5(m-1)4要使 2(n-1)35+(m-1)4 所以 因为 1n200，所以 所以 m=1，4，7，10，148 共 50 项 3 x3-3px+2q 被 x22axa2除的余式为 3(a2-p)x 2(q a3)，所以所求的条件应为 4令 因为 所以 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 5如图 1-106(a)，(b)所示ABC与FDE中，A=D现将DEF移至ABC

26、中，使A与D重合，DE=AE，DF=AF，连结 FB此时，AE F的面积等于三角形 DEF的面积 得 6不妨设商式为 x2+x由已知有 x4ax3-3x2bx3 =(x-1)2(x2+x)+(x 1)=(x2-2x1)(x2 x)x1 =x4+(-2)x3+(1-2)x2(1-2)x+1 比较等号两端同次项的系数，应该有 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 只须解出 所以 a=1，b=0 即为所求 7因为 所以正方形的边长

27、11 下面按正方形边的长度分类枚举：(1)边长为 11：92=8+3=74=6+5，可得 1 种选法 (2)边长为 10：91=82=73=6+4，可得 1 种选法 (3)边长为 9：9=8+1=7+2=6+3=5+4，可得 5 种选法 (4)边长为 8：8=7+1=6+2=5+3，可得 1 种选法 (5)边长为 7：7=6+1=52=43，可得 1 种选法 (6)边长6 时，无法选择 综上所述，共有 1+1+5+1+1=9 种选法组成正方形 8先看 6 条不平行的直线，它们最多将平面分成 2+23+4+56=22 个部分 现在加入平行线 加入第 1 条平行线，它与前面的 6 条直线最多有 6

28、 个交点，它被分成 7 段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了 7 个部分加入第 2，第 3 和第 4 条平行线也是如此，即每加入一条平行线，最多增加 7 个部分 因此，与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可优秀学习资料 欢迎下载 这些直最多将平面分成 22+74=50 个部分 9不妨设三角形的三边长 a，b，c 满足 abc由 bca，abc=15，abc 可得，15=a(b c)2a，所以 a7又 15=a+b c3a，故 a5于是 a=5，6，7当 a=5 时，bc=10，故 b=c=5；当 a=b 时，bc=9于是 b=6，c=3，或 b=5，c=4；当 a=7 时，b+c=8，于是 b=7，c=1，或 b=6，c=2，或 b=5，c=3，或 b=4，c=4 所以，满足题意的三角形共有7 个 与下坡的路程求和证明质数除以所得的余数一定不是合数若两个整数使的末四位数字的和为因为即当即或时等式成立设上坡路程为千米下坡路由知当的最小质约数为时不是质数矛盾所以一定不是合数设由式得即可