2023年初中数学中十字相乘法分解因式.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 初中数学中十字相乘法分解因式 总结知识归纳：对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 xab xabxaxb2()进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项axbxc2（a、b、c 都是整数，且a 0）来说，如果存在四个整数acac1122，满足a aac cc1212，并且a ca cb1221，那么二次三项式axbxc2即a a xa ca c xc c122122112可以分解为a xca xc1122。这里要确定四个常数acac1122，分析和尝试都要比首项系数是 1

2、 的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。1.在方程、不等式中的应用 例 1.已知：xx211240，求 x 的取值范围。分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解：xx211240 xxxxxxxx3803080308083或或 例 2.如果xxmxmx43222能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求 m 的值，并把这个多项式分解因式。分析：应当把x4分成xx22，而对于常数项-2，可能分解成 12，或者分解成 21，由此分为两种情况进行讨论。解：（1）设原式分解为xaxxbx2212，其中 a、b 为整数，去括号

3、，得：xab xxab x43222 将它与原式的各项系数进行对比，得：abmabm 1122，解得：abm101，此时，原式 xxx2221 （2）设原式分解为xcxxdx2221，其中 c、d 为整数，去括号，得：xcd xxcd x43222 将它与原式的各项系数进行对比，得：cdmcdm 1122，解得：cdm011，此时，原式 xxx2221 2.在几何学中的应用 例.已知：长方形的长、宽为 x、y，周长为 16cm，且满足 xyxxyy 22220，求长方形的面积。优秀学习资料 欢迎下载 分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解：xyxxyy 22220 x

4、xyyxyxyxyxyxy22222020210()xy20或xy 10 又xy 8 xyxyxyxy208108或 解得：xy53或xy3545.长方形的面积为 15cm2或6342cm 4.在代数证明题中的应用 例.证明：若4xy是 7 的倍数，其中 x，y 都是整数，则810322xxyy是 49 的倍数。分析：要证明原式是 49 的倍数，必将原式分解成 49 与一个整数的乘积的形式。证明一：810323422xxyyxyxy 2 234647xyxyxyy 4xy是 7 的倍数，7y 也是 7 的倍数（y 是整数）2 23xy是 7 的倍数 而 2 与 7 互质，因此，23xy是 7

5、的倍数，所以810322xxyy是 49 的倍数。证明二：4xy是 7 的倍数，设47xym（m 是整数）则yxm47 又 810323422xxyyxyxy 21221447714214923xxmxxmmxmmxm x，m 是整数，mxm23也是整数 所以，810322xxyy是 49 的倍数。例 1.（2000湖北）把22224954yyxyx分解因式的结果是_。解：22224954yyxyx yxxyxxyxxx242222224594911 23 23 说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。例 2.（2000甘肃）因式分解：6752xx _ 个数的积且其

6、和等于一次项系数对于二次三项都是整数且来说如果存在十字相乘法因式分解在方程不等式中的应用例已知求的取值范围分析本可能分解成分析应当把分成或者分解成由此分为两种情况进行讨论解设优秀学习资料 欢迎下载 解：67521 352xxxx 说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。题型展示：例 1.若xymxy2256能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为（）A.1 B.-1 C.1 D.2 解：xymxyxy xymxy225656 -6可分解成 23或 32，因此，存在两种情况：（1）x+y -2 （2）x+y -3 x-y 3 x-y 2 由（1）可得：m 1，由（1）可得：m 1

7、 故选择 C。说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。例 2.已知：a、b、c 为互不相等的数，且满足acba cb24。求证：abbc 证明：acba cb24 acba cbaaccbcacabbacb acbacbacbabbc2222222402444404402020 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例 3.若xxxa3257有一因式x 1。求 a，并将原式因式分解。解：xxxa3257有一因式x 1 当x 10，即x 1时，xxxa32570 a3 xxxxxxxxxxx xxxxxxx

8、xxx3232222257344331413114311313 说明：由条件知，x 1时多项式的值为零，代入求得 a，再利用原式有一个因式是x 1，分解时尽量出现x 1，从而分解彻底。个数的积且其和等于一次项系数对于二次三项都是整数且来说如果存在十字相乘法因式分解在方程不等式中的应用例已知求的取值范围分析本可能分解成分析应当把分成或者分解成由此分为两种情况进行讨论解设优秀学习资料 欢迎下载 实战模拟：1.分解因式：（1）a bab221639 （2）15742122xx yynnnn （3）xxxx222322372 2.在多项式xxxxxxxxx123232123222，哪些是多项式 xxx

9、x242221029的因式？3.已知多项式21332xxxk有一个因式，求 k 的值，并把原式分解因式。4.分解因式：3529422xxyyxy 5.已知：xyxy 05312.，求312922xxyy的值。个数的积且其和等于一次项系数对于二次三项都是整数且来说如果存在十字相乘法因式分解在方程不等式中的应用例已知求的取值范围分析本可能分解成分析应当把分成或者分解成由此分为两种情况进行讨论解设优秀学习资料 欢迎下载【试题答案】1.（1）解：原式abababab21639313 （2）解：原式35411xyxynnnn （3）解：原式xxxxxxxx22343184163 2.解：xxxx2422

10、21029 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx222222222222921232321212331121 其中xxxxxx13232122，是多项式 xxxx242221029的因式。说明：先正确分解，再判断。3.解：设21321322xxxkxxaxb 则21322123232xxxkxaxab xb 211213aabbk 解得：abk166 k6且21362162132322xxxxxxxxx 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为 1。4.解：简析：由于项数多，直接分解的难度

11、较大，可利用待定系数法。设3529422xxyyxy 323523222xym xynxxyymn xmn ymn 比较同类项系数，得：mnmnmn 31294 解得：mn41 35294342122xxyyxyxyxy 5.个数的积且其和等于一次项系数对于二次三项都是整数且来说如果存在十字相乘法因式分解在方程不等式中的应用例已知求的取值范围分析本可能分解成分析应当把分成或者分解成由此分为两种情况进行讨论解设优秀学习资料 欢迎下载 解：312922xxyy 3433322xxyyxy xy xyxy 053123051218.，原式 说明：用因式分解可简化计算。个数的积且其和等于一次项系数对于二次三项都是整数且来说如果存在十字相乘法因式分解在方程不等式中的应用例已知求的取值范围分析本可能分解成分析应当把分成或者分解成由此分为两种情况进行讨论解设