2023年初中数学最值问题集锦 几何的定值与最值.pdf

《2023年初中数学最值问题集锦 几何的定值与最值.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年初中数学最值问题集锦 几何的定值与最值.pdf（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、优秀学习资料 欢迎下载 几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1特殊位置与极端位置法；2几何定理(公理)法；3数形结合法等 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需

2、要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法【例题就解】【例 1】如图，已知 AB=10，P是线段 AB上任意一点，在 AB的同侧分别以AP和 PB为边作等边APC和等边BPD，则 CD长度的最小值为 思路点拨 如图，作 CC AB于 C，DD AB于 D，DQ CC，CD2=DQ2+CQ2，DQ=21AB一常数，当 CQ越小，CD越小，本例也可设 AP=x，则 PB=x10，从代数角度探求 CD的最小值 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等 【例 2】如

3、图，圆的半径等于正三角形 ABC的高，此圆在沿底边 AB滚动，切点为 T，圆交 AC、BC于 M、N，则对于所有可能的圆的位置而言，MTN为的度数（）优秀学习资料 欢迎下载 A从 30到 60变动 B从 60到 90变动 C保持 30不变 D保持 60不变 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点 C时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断 注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变 化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值【例 3】如图，已知平行四边形 ABCD，AB=a，BC=b(ab)，P为 AB边

4、上的一动点，直线 DP交 CB的延长线于 Q，求 AP+BQ 的最小值 思路点拨 设 AP=x，把 AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式abba222(当且仅当ba 时取等号)来求最小值 【例 4】如图，已知等边ABC内接于圆，在劣弧 AB上取异于 A、B的点 M，设直线 AC与 BM相交于 K，直线 CB与 AM相交于点 N，证明：线段 AK和 BN的乘积与 M点的选择无关 思路点拨 即要证 AK BN是一个定值，在图形中ABC 的边长是一个定值，说明 AK BN与 AB有关，从图知 AB为 ABM 与ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK BN=AB2，从而我们的证明目标更加明确 注

5、：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题【例 5】已知XYZ是直角边长为 1 的等腰直角三角形(Z=90)，它的三个顶点分别在等腰 RtABC(C=90)的三边上，求ABC直角边长的最大可能值 思路点拨 顶点 Z在斜边上或直角边 CA(或 CB)上，当顶点 Z在斜边 AB上时，取 xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点 Z在(AC 或 CB)上时，设 CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大 殊位置极端位置直接计算等方法先探求出定值再给出证明几何中的最值法几何定理公理法数形结合法等注几何中的定值与最值近年广泛出现于方法

6、例题就解例如图已知是线段上任意一点在的同侧分别以和为边作等优秀学习资料 欢迎下载 值 注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值 学力训练 1如图，正方形 ABCD的边长为 1，点 P为边 BC上任意一点（可与 B点或 C点重合），分别过 B、C、D作射线 AP的垂线，垂足分别是 B、C、D，则 BB+CC+DD 的最大值为 ，最小值为 2如图，AOB=45，角内有一点 P，PO=10，在角的两边上有两点 Q，

7、R(均不同于点 O)，则PQR的周长的最小值为 3如图，两点 A、B在直线 MN外的同侧，A到 MN的距离 AC=8，B到 MN的距离 BD=5，CD=4，P在直线 MN上运动，则PBPA的最大值等于 4如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧 AN的中点，P点是直径 MN上一动点，O的半径为 1，则 AP+BP的最小值为()A1 B22 C2 D13 5如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P从 A点出发，沿看圆柱的侧面移动到 BC的中点 S 的最短距离是()A212 B 2412 C 214 D 242 6如图、已知矩形 ABCD，R，P户分别是 DC、BC上的点，E

8、，F分别是 AP、RP的中点，当 P在 BC上从 B向 C移动而 R不动时，那么下列结论成立的是()A线段 EF的长逐渐增大 B线段 EF的长逐渐减小 C线段 EF的长不改变 D线段 EF的长不能确定 殊位置极端位置直接计算等方法先探求出定值再给出证明几何中的最值法几何定理公理法数形结合法等注几何中的定值与最值近年广泛出现于方法例题就解例如图已知是线段上任意一点在的同侧分别以和为边作等优秀学习资料 欢迎下载 7如图，点 C是线段 AB上的任意一点(C 点不与 A、B点重合)，分别以 AC、BC为边在直线 AB的同侧作等边三角形 ACD和等边三角形 BCE，AE与 CD相交于点 M，BD与 CE

9、相交于点 N(1)求证：MN AB；(2)若 AB的长为 l0cm，当点 C在线段 AB上移动时，是否存在这样的一点 C，使线段 MN的长度最长?若存在，请确定 C点的位置并求出 MN的长；若不存在，请说明理由(20XX 年云南省中考题)8如图，定长的弦 ST 在一个以 AB为直径的半圆上滑动，M是 ST 的中点，P是 S 对 AB作垂线的垂足，求证：不管 ST 滑到什么位置，SPM是一定角 9已知ABC是O的内接三角形，BT为O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点 P作 BC的平行线交直线 BT于点 E，交直线 AC于点 F(1)当点 P在线段 AB上时(如图)，求证：PAPB=PE

10、PF；(2)当点 P为线段 BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由 殊位置极端位置直接计算等方法先探求出定值再给出证明几何中的最值法几何定理公理法数形结合法等注几何中的定值与最值近年广泛出现于方法例题就解例如图已知是线段上任意一点在的同侧分别以和为边作等优秀学习资料 欢迎下载 10如图，已知；边长为 4 的正方形截去一角成为五边形 ABCDE，其中 AF=2，BF=l，在 AB上的一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积，则矩形 PNDM 的面积最大值是()A8 B12 C225 D 14 11如图，AB是半圆的直径，线段 CA上 AB于点 A，线

11、段 DB上 AB于点 B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形 ACPDB 的最大面积是()A22 B21 C23 D23 12如图，在ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边 AB、AC上分别取点 D、E，使线段 DE将ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度 13如图，ABCD 是一个边长为 1 的正方形，U、V分别是 AB、CD上的点，AV与 DU相交于点 P，BV与 CU相交于点 Q求四边形 PUQV 面积的最大值 14 利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水 已知每个喷水器的喷水区域是半径为 l0 米的圆，问如何设计(

12、求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)其中，正方形 MNPQ 与四个相同矩形(图中阴影部分)的面殊位置极端位置直接计算等方法先探求出定值再给出证明几何中的最值法几何定理公理法数形结合法等注几何中的定值与最值近年广泛出现于方法例题就解例如图已知是线段上任意一点在的同侧分别以和为边作等优秀学习资料 欢迎下载 积的和为 800 平方米(1)设矩形的边 AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为 (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为 2100 元；在四个相

13、同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为 105 元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为 40 元 设该工程的总造价为 S(元)，求 S 关于工的函数关系式 若该工程的银行贷款为 235000 元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由 若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金 73000 元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由(镇江市中考题)16某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地 ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(

14、精确到 1m2)参考答案 殊位置极端位置直接计算等方法先探求出定值再给出证明几何中的最值法几何定理公理法数形结合法等注几何中的定值与最值近年广泛出现于方法例题就解例如图已知是线段上任意一点在的同侧分别以和为边作等优秀学习资料 欢迎下载 殊位置极端位置直接计算等方法先探求出定值再给出证明几何中的最值法几何定理公理法数形结合法等注几何中的定值与最值近年广泛出现于方法例题就解例如图已知是线段上任意一点在的同侧分别以和为边作等优秀学习资料 欢迎下载 殊位置极端位置直接计算等方法先探求出定值再给出证明几何中的最值法几何定理公理法数形结合法等注几何中的定值与最值近年广泛出现于方法例题就解例如图已知是线段上任意一点在的同侧分别以和为边作等优秀学习资料 欢迎下载 殊位置极端位置直接计算等方法先探求出定值再给出证明几何中的最值法几何定理公理法数形结合法等注几何中的定值与最值近年广泛出现于方法例题就解例如图已知是线段上任意一点在的同侧分别以和为边作等优秀学习资料 欢迎下载 殊位置极端位置直接计算等方法先探求出定值再给出证明几何中的最值法几何定理公理法数形结合法等注几何中的定值与最值近年广泛出现于方法例题就解例如图已知是线段上任意一点在的同侧分别以和为边作等