2023年初三上专题四点共圆.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 四点共圆专题讲义 例 1如图，E、F、G、H 分别是菱形 ABCD 各边的中点求证：E、F、G、H 四点共圆 例 2（1）如图，在ABC 中，BD、CE 是 AC、AB 上的高，A=60求证：ED=12BC （2）已知：点 O 是ABC 的外心，BE，CD 是高求证：AODE 例 3如图，在ABC 中，ADBC，DEAB，DFAC求证：B、E、F、C 四点共圆 总结：四点共圆的方法：学习必备 欢迎下载 1_ 2_ 3_ 4_ 例 4求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中 ABCD+BCAD=ACBD 练习 1在ABC中，BABCBAC，M 是 AC 的中点，

2、P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA绕点 P 顺时针旋转2得到线段 PQ（1）若60 且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出CDB的度数；（2）在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想CDB 的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ=QD，请直接写出的范围 练习 2在ABC 中，A=30，AB=23，将ABC 绕点 B 顺时针旋

3、转（090），得到DBE，其中点 A的对应点是点 D，点 C 的对应点是点 E，AC、DE 相交于点 F，连接 BF.OA=OB=OC ADC=ABC=90 ACD=ABD=90 B+D=180或A+BCD=180或A=DCE A=D或B=C 乘积的和等于对角线的乘积即图中是的中点是线段上的动点将线段绕点小用含的代数式表示并加以证明对于适当大小的当点在线段上运动到某如图若线段绕点旋转得到线段请补全并直接写出的度数如图若求的度数学习必备 欢迎下载（1）如图 1，若=60，线段 BA绕点 B 旋转得到线段 BD.请补全DBE，并直接写出AFB 的度数；（2）如图 2，若=90，求AFB 的度数和

4、BF 的长；（3）如图 3，若旋转（090），请直接写出AFB 的度数及 BF 的长（用含 的代数式表示）.练习 3已知，点 P 是MON 的平分线上的一动点，射线 PA 交射线 OM 于点 A，将射线 PA绕点 P 逆时针旋转交射线 ON 于点 B，且使APB+MON=180 （1）利用图 1，求证：PA=PB；（2）如图 2，若点 C 是 AB 与 OP 的交点，当 S POB=3S PCB时，求 PB 与 PC 的比值；（3）若MON=60，OB=2，射线 AP 交 ON 于点 D，且满足且PBD=ABO，请借助图 3 补全图形，并求 OP 长 练习 4已知，在 ABC 中，AB=AC过

5、 A点的直线 a 从与边 AC 重合的位置开始绕点 A按顺时针方向旋转角 ，直线 a 交 BC 边于点 P（点 P 不与点 B、点 C 重合），BMN 的边 MN 始终在直线 a 上（点 M 在点 N 的上方），且 BM=BN，连接 CN（1）当BAC=MBN=90 时，如图 a，当 =45 时，ANC 的度数为_；图 3 DCBAFE图 1 DCBA图 2 EFDCBA乘积的和等于对角线的乘积即图中是的中点是线段上的动点将线段绕点小用含的代数式表示并加以证明对于适当大小的当点在线段上运动到某如图若线段绕点旋转得到线段请补全并直接写出的度数如图若求的度数学习必备 欢迎下载 如图 b，当 45时

6、，中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图 c，当BAC=MBN90时，请直接写出ANC 与BAC 之间的数量关系，不必证明 练习5已知：RtA BC和 RtABC 重合，A C B=ACB=90，BA C=BAC=30，现将 RtA BC 绕点 B 按逆时针方向旋转角 （60 90），设旋转过程中射线C C和线段AA相交于点 D,连接 BD（1）当 =60时，A B过点 C，如图 1 所示，判断 BD和AA之间的位置关系，不必证明；（2）当 =90时，在图 2 中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图 3，对旋转角 （60 90），猜想（1）中的结论是否仍然

7、成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由 图 1 图 2 图 3 练习 6在等边ABC 外侧作直线 AP，点 B 关于直线 AP 的对称点为 D，连接 AD，BD，CD，其中 CD 交直线 AP于点 E设PAB，ACE，AEC(1)依题意补全图 1；(2)若15，直接写出和的度数；(3)如图 2，若 60120，判断，的数量关系并加以证明；请写出求大小的思路（可以不写出计算结果）乘积的和等于对角线的乘积即图中是的中点是线段上的动点将线段绕点小用含的代数式表示并加以证明对于适当大小的当点在线段上运动到某如图若线段绕点旋转得到线段请补全并直接写出的度数如图若求的度数学习必备 欢迎下载 图

8、1ACDB图2FOAECDB图3ACDB 练习 7阅读下面材料：小红遇到这样一个问题，如图 1：在ABC 中，ADBC，BD=4，DC=6，且BAC=45，求线段 AD 的长 小红是这样想的：作ABC 的外接圆O，如图 2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道BOC=90，然后过 O 点作 OEBC 于 E，作 OFAD 于 F，在 RtBOC 中可以求出O 半径及 OE，在 RtAOF 中可以求出AF，最后利用 AD=AF+DF 得以解决此题 请你回答图 2 中线段 AD 的长 .参考小红思考问题的方法，解决下列问题：如图 3：在ABC 中，ADBC，BD=4，DC=6,且BAC=30

9、，则线段 AD 的长 .练习 8已知：A、B、C 三点不在同一直线上 (1)若点 A、B、C 均在半径为 R的O 上，（i）如图，当A=45，R=1 时，求BOC 的度数和 BC 的长；（ii）如图，当A为锐角时，求证：sinA=2BCR；(2)若定长线段 BC 的两个端点分别在MAN 的两边 AM、AN(B、C 均与 A 不重合)滑动，如图，当MAN=60，图 2 ABPCABCP图 1 乘积的和等于对角线的乘积即图中是的中点是线段上的动点将线段绕点小用含的代数式表示并加以证明对于适当大小的当点在线段上运动到某如图若线段绕点旋转得到线段请补全并直接写出的度数如图若求的度数学习必备 欢迎下载

10、BC=2 时，分别作 BPAM，CPAN，交点为 P，试探索在整个滑动过程中，P、A 两点间的距离是否保持不变？请说明理由 练习 9在四边形 ABCD 中，ABDC，ABCD，K，M 分别在 AD，BC 上，DAM=CBK 求证：DMA=CKB 分析：连 KM，由DAM=CBK，得到 A，B，M，K 四点共圆，则DAB=CMK，AKB=AMB，而DAB+ADC=180，得到CMK+KDC=180，因此 C，D，K，M 四点共圆，所以CMD=DKC，即可得到DMA=CKB 解答：解：连 KM，DAM=CBK，A，B，M，K 四点共圆，DAB=CMK，AKB=AMB，又ABDC，DAB+ADC=180，乘积的和等于对角线的乘积即图中是的中点是线段上的动点将线段绕点小用含的代数式表示并加以证明对于适当大小的当点在线段上运动到某如图若线段绕点旋转得到线段请补全并直接写出的度数如图若求的度数学习必备 欢迎下载 CMK+KDC=180 C，D，K，M 四点共圆，CMD=DKC，180-DKC-AKB=180-CMD-AMB，DMA=CKB 乘积的和等于对角线的乘积即图中是的中点是线段上的动点将线段绕点小用含的代数式表示并加以证明对于适当大小的当点在线段上运动到某如图若线段绕点旋转得到线段请补全并直接写出的度数如图若求的度数