2023年初中三角形总复习+中考几何题证明思路全面汇总归纳1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 初中三角形总复习 【知识精读】1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2.三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3.三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于 180 （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。4.补充性质：在 A

2、BC中，D 是 BC 边上任意一点，E 是 AD 上任意一点，则SSSSABECDEBDECAE。ABCDE 学习必备 欢迎下载 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。5.三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例 1.锐角三角形 ABC 中，C2B，则B 的范围是（）A.1020B B.2030B C.3045

3、B D.4560B 分析：因为 ABC为锐角三角形，所以090B 又C2B，0290B 045B 又A 为锐角，ABC180为锐角 BC90 390B，即B 30 3045B，故选择 C。例 2.选择题：已知三角形的一个外角等于 160，另两个外角的比为 2:3，则这个三角形的形状是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 分析：由于三角形的外角和等于 360，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。解：三角形的一个外角等于 160 另两个外角的和等于 200 设这两个外角的度数为 2x，3x

4、23200 xx 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 解得：x 40 2803120 xx，与 80相邻的内角为 100 这个三角形为钝角三角形 应选 C 例 3.如图，已知：在 ABC中，ABAC12，求证：CB12。AEBCF 分析：欲证CB12，可作ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E，只要证CEBC即可。为与题设ABAC12联系，又作 AF/BE 交 CB 的延长线于 F。显然EBCF，只要证CF即可。由AFABA

5、C2可得证。证明：作ABC 的角平分线 BE 交 AC 于 E，过点 A 作 AF/BE 交 CB 的延长线于 F AFBEFEBCFABABE/，又BE 平分ABC，EBCABE FFAB，ABBF 又ABFBAF，即 2ABAF 又ABACACAF12，FC，又FABC12 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 CB12 例 4.已知：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的16与14之间。分析：首先应根据已

6、知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。ABCabc 证明：如图，设 ABC的三边为 a、b、c，其中ac2，bacac，2 bc 因此，c 是最小边，bc3 因此，abcccc 23，即cabc 16()1614()()abccabc 故最小边在周长的16与14之间。中考点拨：例 1.选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（）A.50 B.100 C.180 D.200 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三

7、角学习必备 欢迎下载 ABCDEGF 分析：由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。解：，CEAGFBDAFG ABCEDAAG FAFG180 所以选择 C 例 2.选择题：已知三角形的两边分别为 5 和 7，则第三边 x 的范围是（）A.大于 2 B.小于 12 C.大于 2 小于 12 D.不能确定 分析：根据三角形三边关系应有7575 x，即122 x 所以应选 C 例 3.已知：P 为边长为 1 的等边 ABC内任一点。求证：322PAPBPC 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大

8、边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 AEFBCP 证明：过 P 点作 EF/BC，分别交 AB 于 E，交 AC 于 F，则AEPABC60 EAPEAFAPE 6060 在 AEP中，APEAEPAEAPAFEACBAEF6060 AEF是等边三角形 AFEF AEAPBEEPBPPFFCPCAEEBEPPEFCAPBPPCABEFFCAPBPPCABAFACAPBPPCPBPAPCABAC2 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种

9、而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 PAPBABPBPCBCPCPAACPAPBPCABBCACPAPBPC23232 题型展示：例 1.已知：如图，在 ABC中，D 是 BC 上任意一点，E 是 AD 上任意一点。求证：（1）BECBAC；（2）ABACBEEC。ABCDEF 分析：在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。证明：（1）BED 是 ABE的一个外角，BEDBAE 同理，DECCAE BEDDECBAECAE 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的

10、主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 即BECBAC （2）延长 BE 交 AC 于 F 点 ABAFBEEFEFFCECABAFEFFCBEEFEC又 即ABACBEEC 例 2.求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于 45。已知：如图，在 ABC中，CEABABD90，、是 ABC的外角，AF、BF分别平分EAB 及ABD。求证：AFB45 ABCEDF 分析：欲证AFB 45，须证FABFBA135 AF、BF 分别平分EAB 及ABD 要转证EABAB

11、D270 又C90，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 问题得证 证明：EABABCC ABDCABC 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 ABCCCAB180，C90 EABABDABCCCABC18090270 AF、BF 分别平分EAB 及ABD FABFBAEABABD1212270135 在 ABF中，AFBFABFBA 18045 【实战模拟】1.已知：三角形的三边长为 3，8，12 x，求 x 的取值范围

12、。2.已知：ABC中，ABBC，D 点在 BC 的延长线上，使ADBC，BCA，CAD，求和间的关系为？ABCD 3.如图，ABC中，ABCACB、的平分线交于 P 点，BPC134，则BAC（）A.68 B.80 C.88 D.46 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 ABCP 4.已知：如图，AD 是 ABC的 BC 边上高，AE 平分 BAC。求证：EADCB12 ABCDE 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三

13、角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 5.求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载【试题答案】1.分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。解：三边长分别为 3，8，12 x，由三边关系定理得：51211 x 421025x

14、x 2.解：ABBCBCABAC，又ADBCADAB，DB，又 BCADB DB ，根据三角形内角和，得：2180 3180 3.解：BPC134 PBCPCB46 又BP、CP 为B、C 的平分线 ，PBCABCPCBACBPBCPCBABCACBABCACBBACABCACB1212122469218088 4.证明：EADEACCAD AE 平分BAC，EACBAC12 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 又ADBC，A

15、DC90 CADC90 又BACBC180 EADBACCADBCCCB1212180901212 EADCB12 5.证明：如图，设 ABC的BAC 和ABC 的外角平分线交于点 D EABDCG FABABCACBEBABACACB D ABD B AFABEBAABCBACACB1212 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 则ADBDABDBA180 ABCACBBACABCBACACBABCBAC1212 又1212A

16、CGABCBAC AD BAC G12。9、等腰三角形 【知识精读】（）等腰三角形的性质 1.有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2.定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底

17、边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定 1.有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它

18、所对的直角边等于斜边的一半。2.定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3.等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【分类解析】例 1.如图，已知在等边三角形

19、ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且 CECD，DMBC，垂足为 M。求证：M 是 BE 的中点。A D 1 B M C E 分析：欲证 M 是 BE 的中点，已知 DMBC，所以想到连结 BD，证 BDED。因为ABC 是等边三角形，DBE21ABC，而由 CECD，又可证E21ACB，所以1E，从而问题得证。证明：因为三角形 ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点 所以121ABC 又因为 CECD，所以CDEE 所以ACB2E 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种

20、而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 即1E 所以 BDBE，又 DMBC，垂足为 M 所以 M 是 BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）例 2.如图，已知：ABC中，ACAB，D 是 BC 上一点，且CADCDBAD，求BAC的度数。A B C D 分析：题中所要求的BAC在ABC中，但仅靠ACAB 是无法求出来的。因此需要考虑DBAD 和CADC 在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。解：因为ACAB，所以CB 因为DBAD，所以CDABB；因为CDCA，所以CDACA

21、D（等边对等角）而 DABBADC 所以BDACBADC22，所以B3BAC 又因为180BACCB 即180B3CB 所以36B 即求得108BAC 说明 1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3.此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。例 3.已知：如图，ABC中，ABCDACAB，于 D。求证：DCB2BAC。的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中

22、等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 A 1 2 D B C E 3 分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB的关系。证明：过点 A 作BCAE 于 E，ACAB 所以BAC2121（等腰三角形的三线合一性质）因为90B1 又ABCD，所以90CDB 所以90B3（直角三角形两锐角互余）所以31（同角的余角相等）即DCB2BAC 说明：1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的

23、高是一条常用的辅助线；2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出DCB的等角等。4、中考题型：1.如图，ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别为ABC与ACB的角平分线，且相交于点 F，则图中的等腰三角形有（）A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 A 3

24、6 E D F B C 分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有 8个，故选择 C。2.）已知：如图，在ABC中，ABAC，D 是 BC 的中点，DEAB，DFAC，E、F 分别是垂足。求证：AEAF。A E F B D C 证明：因为ACAB，所以CB 又因为ACDFABDE，所以90CFDBED 又 D 是 BC 的中点，所以DCDB 所以)AAS(CFDDEB 所以CFBE，所以AFAE 说明：证法二：连结 AD，通过 AED AFD证明即可 5、题形展示：例 1.如图，ABC中，100AACAB，BD 平分ABC。求证：BCBDAD。A D 1 B 2

25、 E F C 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 分析一：从要证明的结论出发，在 BC 上截取BDBF，只需证明ADCF，考虑到21，想到在 BC 上截取BABE，连结 DE，易得，则有FDAD，只需证明CFDE，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DEDFCF。证明一：在 BC 上截取BDBFBABE，连结 DE、DF 在ABD和EBD中，BDBD21BEBA，80DEF100ABEDDEAD)SAS(EBDABD，又10

26、0AACAB，40)100180(21CABC 20402121 而BFBD 80)20180(21)2180(21BDFBFD ADBDFCBFBCFCDFDEADFCDFCFDC404080CDFEFDC40C80DFEDFDE80DFEDEF，即BCBDAD 分析二：如图，可以考虑延长 BD 到 E，使 DEAD，这样 BDAD=BD+DE=BE，只需证明 BEBC，由于202，只需证明80BCEE A D E 1 B 2 F C 3 4 5 6 易证6020100180ADBEDC，120BDC，故作BDC的角平分线，则有FBDABD，进而证明DFCDEC，从而可证出80E。证明二：延

27、长 BD 到 E，使 DEAD，连结 CE，作 DF 平分BDC交 BC 于 F。由证明一知：100A2021，的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 则有12060180BDC603660201001803，DF 平分6054BDC 606543，在ABD和FBD中 43BDBD21，)A S A(F BDA BD 100ABFDFDAD，而DEDFDEAD，在DEC和DFC中，DCDC65DFDE，)S A S(D F CD

28、E C 80100180BFD180DFCE 在BCE中，803202，B C EEB C E，80 BCBDADBEBC，说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。【实战模拟】1.选择题：等腰三角形底边长为 5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm，则腰长为（）A.2cm B.8cm C.2cm 或 8cm D.以上都不对 2.如图，ABC是等边三角形，BCBD90CBD，则1的度数是_。C A 1 D B 2 3 3.求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平

29、分线上.的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 4.ABC中，120AACAB，AB 的中垂线交 AB 于 D，交 CA 延长线于 E，求证：BC21DE。A E D O B C 1 2 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载【试题答案】1.B 2.分析：结合三角形内

30、角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。解：因为ABC是等边三角形 所以60ABC BCAB，因为BCBD，所以BDAB 所以23 在ABD中，因为60ABC90CBD，所以150ABD，所以152 所以75ABC21 3.分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E 分别为 AC、AB 边中点，BD、CE 交于O 点。求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上。分析：欲证本题结论，实际上就是证明OCOB。而 OB、OC 在ABC中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有21、的两个三角形全等。证明：因为在ABC中，

31、ACAB 所以ACBABC（等边对等角）又因为 D、E 分别为 AC、AB 的中点，所以EBDC（中线定义）在BCD和 CBE中，)(CBBC)(EBCDCB)(EBDC公共边已证已证 所以)SAS(CBEBCD 所以21（全等三角形对应角相等）。的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 所以OCOB（等角对等边）。即点 O 在 BC 的垂直平分线上。说明：（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“

32、在 底边的垂直平分线上”正确地理解成“OBOC”是关键的一点。（2）实际上，本题也可改成开放题：“ABC 中，ABAC，D、E 分别为 AC、AB上的中点，BD、CE 交于 O。连结 AO 后，试判断 AO 与 BC 的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。4.分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取 BC 的中点。证明：过点 A 作 BC 边的垂线 AF，垂足为 F。E A 3 1 2 D B F C 在ABC中，120BACACAB，所以30CB 所以BC21BF6021，（等腰三角形三线合一性质）。所以603（邻补角定义

33、）。所以31 又因为 ED 垂直平分 AB，所以30E（直角三角形两锐角互余）。AB21AD（线段垂直平分线定义）。又因为AB21AF（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）。所以AFAD 在ABFRt和AEDRt中，1 3 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 90ADEAFB)(ADAF)(31已证已证 所以)ASA(AEDRtABFRt 所以BFED 即BC21ED。说明：（1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一

34、项基本功；（2）直角三角形中30角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。6、全等三角形及其应用 【知识精读】1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2.全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，记作“ABC ABC其中，“”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4.寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应

35、角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折

36、如图（1），BOC EOD，BOC 可以看成是由 EOD 沿直线 AO 翻折 180 得到的；旋转 如图（2），COD BOA，COD 可以看成是由 BOA 绕着点 O 旋转 180 得到的；平移 如图（3），DEF ACB，DEF 可以看成是由 ACB 沿 CB 方向平行移动而得到的。5.判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理 6.注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即 AAA；b:有两边和其中一角对应相等，即 SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的

37、基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载【分类解析】全等三角形知识的应用（1）证明线段（或角）相等 例 1：如图，已知 AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC 分析：由已知条件可证出ACDABE，而 BF 和 FC 分别位于DBF 和EFC 中，因此先证明ACDABE，再证明DBFE

38、CF，既可以得到 BF=FC.证明：在ACD 和ABE 中，AE=AD A=A AB=AC.ACDABE (SAS)B=C（全等三角形对应角相等）又 AD=AE,AB=AC.ABAD=AC AE 即 BD=CE 在DBF 和ECF 中 B=C BFD=CFE（对顶角相等）BD=CE DBFECF（AAS）BF=FC（全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行 例 2：已知：如图，DEAC，BFAC，垂足分别为 E、F，DE=BF，AF=CE.求证：ABCD 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简

39、单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 DCBAEF 分析：要证 ABCD，需证CA，而要证CA，又需证ABFCDE.由已知 BFAC，DEAC，知DECBFA=90，且已知 DE=BF，AF=CE.显然证明ABFCDE 条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证CA,进一步证明 ABCD.证明：DEAC，BFAC （已知）DECBFA=90 （垂直的定义）在ABF 与CDE 中，AF=CE （已知）DECBFA （已证）DE=BF（已知）ABFCDE（SAS）CA (全等三角形对应角相等)ABCD （内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半

40、法将问题转化为证明两条线段相等 例 3：如图，在 ABC 中，AB=AC，延长 AB 到 D，使 BD=AB，取 AB 的中点 E，连接 CD 和 CE.求证：CD=2CE 分析：()折半法：取 CD 中点 F，连接 BF，再证CEBCFB.这里注意利用 BF 是ACD中位线这个条件。证明：取 CD 中点 F，连接 BF BF=12 AC,且 BFAC（三角形中位线定理）的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 ACB2 (两直线平

41、行内错角相等)又 AB=AC ACB3 （等边对等角）32 在CEB 与CFB 中，BF=BE 32 CB=CB CEBCFB (SAS)CE=CF=12 CD（全等三角形对应边相等）即 CD=2CE （）加倍法 证明：延长 CE 到 F，使 EF=CE，连 BF.AEBDCF4 123 在AEC 与BEF 中，AE=BE 12（对顶角相等）CE=FE AECBEF(SAS)AC=BF,43 (全等三角形对应边、对应角相等)BFAC (内错角相等两直线平行)ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又 AB=AC ACB=ABC CBF=CBD （等角的补角相等）在CFB 与CDB

42、中，的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 CB=CB CBF=CBD BF=BD CFBCDB(SAS)CF=CD 即 CD=2CE 说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取 AC 中点 F，连 BF(如图)（B 为 AD 中点是利用这个办法的重要前提），然后证 CE=BF.(4)证明线段相互垂直 例 4：已知：如图，A、D、B 三点在同一条直线上，ADC

43、、BDO 为等腰三角形，AO、BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。CBAOED 分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AOBC.证明：延长 AO 交 BC 于 E,在ADO 和CDB 中 AD=DC ADO=CDB=90o OD=DB ADOCDB (SAS)AO=BC,OAD=BCD（全等三角形对应边、对应角相等）AODCOE（对顶角相等）COE+OCE=90o AOBC 5、中考点拨：例 1如图，在ABC 中，ABAC，E 是 AB的中点，以点 E 为圆心，EB 为半径画弧，交BC

44、于点 D，连结 ED，并延长 ED 到点 F，使 DFDE，连结 FC 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 求证：FA 分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中A、F 不在全等的两个三角形中，但由已知可证得 EFAC，因此把A通过同位角转到BDE中的BED，只要证EBDFCD 即可 证明：ABAC，ACBB，EBED，ACBEDB EDAC BEDA BEEA BDCD 又 DEDF，BDECDF

45、 BDECDF，BEDF FA 说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。例 2 如图，已知 ABC 为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，并且使 AE=BD，连接 CE、DE.求证：EC=ED 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 BCDEFA 分析：把已知条件标注在图上，需构

46、造和AEC 全等的三角形，因此过 D 点作 DFAC交 BE 于 F 点，证明AECFED 即可。证明：过 D 点作 DFAC 交 BE 于 F 点 ABC 为等边三角形 BFD 为等边三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC 在 ACE 和DFE 中，EF=AC（已证）EACEDF(两直线平行，同位角相等)AE=FD(已证)AECFED（SAS）EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：例 1 如图，ABC 中，C2B，12。求证：ABACCD 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对

47、等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 分析：在 AB 上截取 AEAC，构造全等三角形，AEDACD，得 DEDC，只需证 DEBE 问题便可以解决 证明：在 AB上截取 AEAC，连结 DE AEAC，12，ADAD，AEDACD，DEDC，AEDC AEDBEDB，C2B，2BBEDB 即 BEDB EBED，即 EDDC，ABACDC 剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作 AEAC 是利用了角

48、平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容 【实战模拟】1.下列判断正确的是（）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为 30的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等 2.已知：如图，CDAB于点 D，BEAC 于点 E，BE、CD 交于点 O，且 AO 平分BAC 求证：OBOC

49、 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载 3.如图，已知 C 为线段 AB 上的一点，ACM 和 CBN 都是等边三角形，AN 和 CM 相交于 F 点，BM 和 CN 交于 E 点。求证：CEF 是等边三角形。A B C M N E F 1 2 4.如图，在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线求证：AD12(AB+AC)5.如图，在等腰 RtABC中，C90，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，C

50、HAB于H点，交AE于G 求证：BDCG 的交点叫重心三角形的高三条高线的交点叫垂心三角形的主要性质三角角形中等角对等边等边对等角大角对大边大边对大角三角形具有稳定性的一种而且是最简单的多边形在几何里常常把多边形分割成若干个三角学习必备 欢迎下载【试题答案】1.D 2.证明：AO平分ODB，CDAB于点D，BEAC于点E，BE、CE 交于点O，ODOE，ODBOEC90,BODCOE。BODCOE（ASA）OBOC 3.分析 由 ACM=BCN=60 ，知 ECF=60，欲证 CEF 是等边三角形，只要证明 CEF是等腰三角形。先证 CAN MCB，得 1=2.再证 CFN CEB，即可推得