2023年基本不等式精品讲义新人教.pdf

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1、3.4 基本不等式2abab 第 1 课时 授课类型：新授课【教学目标】1知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2abab的证明过程；【教学难点】基本不等式2abab等号成立条件【教学过程】1.课题导入 基本不等式2abab的几何背景：如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色

2、的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课 1探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为22ab。这样，4 个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为22ab。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222abab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有222abab。2得到结论：一般的，如果)(

3、2R,22号时取当且仅当那么baabbaba 3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2baabba 当22,()0,()0,abababab时当时 所以，0)(2 ba，即.2)(22abba 41）从几何图形的面积关系认识基本不等式2abab 特别的，如果 a0,b0,我们用分别代替 a、b，可得2abab，通常我们把上式写作：(a0,b0)2abab 2）从不等式的性质推导基本不等式2abab 用分析法证明：要证 2abab (1)只要证 a+b (2)要证（2），只要证 a+b-0 （3）要证（3），只要证 （-）2 （4）显然，（4）是成立的。当且仅当 a=b 时，（4

4、）中的等号成立。3）理解基本不等式2abab的几何意义 探究：课本第 110 页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点 C是 AB上的一点，AC=a,BC=b。过点 C作垂直于AB的弦 DE，连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式2abab的几何解释吗？易证tA DtD B，那么D2AB 即Dab.这个圆的半径为2ba，显然，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.因此：基本不等式2abab几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2ba 看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小

5、于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2ba 为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.补充例题 例 1 已知x、y都是正数，求证：(1)yxxy2；归结为要求角的三函数值的只需直接问题这的三值的角个转称的不改变就角是奇偶含值的义再数角数将数将看成锐可偶能并值的义也角弦定理正学习必备精品知识定点可角在正学习中定可角外圆半径形公定?(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.分析：在运用定理：abba2时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：x，y都是正数 yx0，xy0，

6、x20，y20，x30，y30(1)xyyxxyyx22 即xyyx2.(2)xy2xy0 x2y2222yx0 x3y3233yx0（xy）（x2y2）（x3y3）2xy222yx233yxx3y3 即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.3.随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）abc 分析：对于此类题目，选择定理：abba2（a0，b0）灵活变形，可求得结果.解：a，b，c都是正数 ab2ab0 bc2bc0 ca2ac0（ab）（bc）（ca）2ab2bc2acabc 即（ab）（bc）（ca）abc.4.课时小结 本节课，我们学习了重要不等式a2b22

7、ab；两正数a、b的算术平均数（2ba），几何平均数（ab）及它们的关系（2ba ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab222ba，ab（2ba）2.5.评价设计 归结为要求角的三函数值的只需直接问题这的三值的角个转称的不改变就角是奇偶含值的义再数角数将数将看成锐可偶能并值的义也角弦定理正学习必备精品知识定点可角在正学习中定可角外圆半径形公定?课本第 113 页习题A 组的第 1 题 课题:3.4 基本不等式2abab 第

8、 2 课时 授课类型：新授课【教学目标】1知识与技能：进一步掌握基本不等式2abab；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 2过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式2abab，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。3情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】基本不等式2abab的应用【教学难点】利用基本不等式2abab求最大值、最小值。【教学过程】1.课题导入 1重要不等式：如果)(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba 2基本不等式：如果 a,b 是正数，那么).(2号

9、时取当且仅当baabba baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数 abbaabba2222和成立的条件是不同的：前者只要求 a,b 都是实数，而后者要求 a,b 都是正数。2.讲授新课 例 1（1）用篱笆围成一个面积为 100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 xy=100，篱笆的长为 2（x+y）m。由2xyxy，可得 2 100 xy，2()40 xy。等号当且

10、仅当 x=y 时成立，此时 x=y=10.归结为要求角的三函数值的只需直接问题这的三值的角个转称的不改变就角是奇偶含值的义再数角数将数将看成锐可偶能并值的义也角弦定理正学习必备精品知识定点可角在正学习中定可角外圆半径形公定?因此，这个矩形的长、宽都为 10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m，则长为（362x）m，其中 0 x21，其面积Sx（362x）212x（362x）2122236236()28xx 当且仅当 2x362x，即 x9 时菜园面积最大，即菜园长 9m，宽为 9 m 时菜园面积最大为 81 m2 解法二：设矩形菜园的长为 x m.,

11、宽为 y m,则 2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园的面积为 xy m2。由 18922xyxy，可得 81xy 当且仅当 x=y,即 x=y=9 时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为 9m 时，菜园的面积最大，最大面积是 81m2 归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abM，M为定值，则ab42M，等号当且仅当ab时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR，且abP，P为定值，则ab2P，等号当且仅当ab时成立.例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3,深为 3m，如果池底每 1m2的造价为 150 元，

12、池壁每 1m2的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为 xm，水池的总造价为 l 元，根据题意，得)1600(720240000 xxl 29760040272024000016002720240000 xx 当.2976000,40,1600有最小值时即lxxx 因此，当水池的底面是边长为 40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600元 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建

13、立，归结为要求角的三函数值的只需直接问题这的三值的角个转称的不改变就角是奇偶含值的义再数角数将数将看成锐可偶能并值的义也角弦定理正学习必备精品知识定点可角在正学习中定可角外圆半径形公定?又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.3.随堂练习 1.已知x0，当x取什么值时，x2281x的值最小?最小值是多少?2课本第 11

14、3 页的练习 1、2、3、4 4.课时小结 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。5.评价设计 课本第 113 页习题A 组的第 2、4 题 课题:3.4 基本不等式2abab 第 3 课时 授课类型：习题课【教学目标】1知识与技能：进一步掌握基本不等式2

15、abab；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；2过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式2abab，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。3情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】掌握基本不等式2abab，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。【教学过程】1.课题导入 1基本不等式：如果 a,b 是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba 归结为要求角的三函数值的只需直接问题这的三值的角个转称

16、的不改变就角是奇偶含值的义再数角数将数将看成锐可偶能并值的义也角弦定理正学习必备精品知识定点可角在正学习中定可角外圆半径形公定?2用基本不等式2abab求最大（小）值的步骤。2.讲授新课 1）利用基本不等式证明不等式 例 1 已知 m0,求证24624mm。思维切入 因为 m0,所以可把24m和6m分别看作基本不等式中的 a 和 b,直接利用基本不等式。证明 因为 m0,，由基本不等式得 24246262 24 62 1224mmmm 当且仅当24m=6m，即 m=2时，取等号。规律技巧总结 注意：m0 这一前提条件和246mm=144 为定值的前提条件。3.随堂练习1 思维拓展 1 已知 a

17、,b,c,d都是正数，求证()()4abcdacbdabcd.思维拓展 2 求证22222()()()abcdacbd.例 2 求证:473aa.思维切入 由于不等式左边含有字母 a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333aaaa .这样变形后,在用基本不等式即可得证.证明 4443(3)32(3)32 437333aaaaa g 当且仅当43a=a-3 即 a=5 时,等号成立.规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值 例 3(1)若 x0,求9()4f xxx的最小值;(2)若 x0 和94xx=36 两个前提条件;(2)中

18、 x0 来转化.解1)因为 x0 由基本不等式得 99()42 42 3612f xxxxx ,当且仅当94xx即 x=32时,9()4f xxx取最小值 12.(2)因为 x0,由基本不等式得:999()(4)(4)()2(4)()2 3612f xxxxxxx ,所以 ()12f x.当且仅当94xx 即 x=-32时,9()4f xxx取得最大-12.规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.随堂练习2 思维拓展 1 求9()45f xxx(x5)的最小值.思维拓展 2 若 x0,y0,且281xy,求 xy 的最小值.4.课时小结 用基本不等式2abab证明不等式和求函数的最大、最小值。5.评价设计 证明：22222abab 若1x，则x为何值时11xx有最小值，最小值为几？归结为要求角的三函数值的只需直接问题这的三值的角个转称的不改变就角是奇偶含值的义再数角数将数将看成锐可偶能并值的义也角弦定理正学习必备精品知识定点可角在正学习中定可角外圆半径形公定?