2023年导数知识点总结归纳全面汇总归纳及应用.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 导数知识点归纳及应用 知识点归纳 一、相关概念 1导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0处有增量x，那么函数 y 相应地有增量y=f（x0+x）f（x0），比值xy叫做函数 y=f（x）在 x0到 x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x0处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x0处的导数，记作 f（x0）或 y|0 xx。即 f（x0）=0lim xxy=0lim xxxfxxf)()(00。注意：（1）函数 f（x）在点 x0处可导，是指0 x时，xy有极限。如果xy不

2、存在极限，就说函数在点 x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量 x 在 x0处的改变量，0 x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x0处的导数的步骤：求函数的增量y=f（x0+x）f（x0）；求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；取极限，得导数 f(x0)=xyx0lim。例：设 f(x)=x|x|,则 f (0)=.学习必备 欢迎下载 解析：0|lim|lim)(lim)0()0(lim0000 xxxxxxfxfxfxxxx f (0)=0 2导数的几何意义 函数 y=f（x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x

3、0，f（x0）处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x0，f（x0）处的切线的斜率是 f（x0）。相应地，切线方程为 yy0=f/（x0）（xx0）。例：在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是 ()A3 B2 C1 D0 解析：切线的斜率为832/xyk 又切线的倾斜角小于4，即10 k 故18302 x 解得：338383xx或 故没有坐标为整数的点 3.导数的物理意义 若物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=s（t）。若物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v（t），则该物体在时刻t 的加速度 a=v（t）。例

4、：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把点即处的导数记作或注意函数在点处可导是指时有极限如果不存在极限化率取极限得导数例设则学习必备欢迎下载解析导数的几何意义函数在个数是的点中坐标解析切线的斜率为即又切线的倾斜角小于故解得或故学习必备 欢迎下载 这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）答：A。练习：已知质点 M按规律322 ts做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。（1）当 t=2，01.0 t时，求ts；（2）当 t=2，001.0 t时，求ts；（3）求质点 M在 t=2 时的瞬时速度。答案：（1）8.02scm（2）8.002scm；（3）8s

5、cm 二、导数的运算 1基本函数的导数公式:0;C（C为常数）1;nnxnx(sin)cosxx;(cos)sinxx ;();xxee ()lnxxaaa;1ln xx;1l glogaaoxex.例1：下列求导运算正确的是 s t O A s t O s t O s t O B C D 点即处的导数记作或注意函数在点处可导是指时有极限如果不存在极限化率取极限得导数例设则学习必备欢迎下载解析导数的几何意义函数在个数是的点中坐标解析切线的斜率为即又切线的倾斜角小于故解得或故学习必备 欢迎下载()A(x+211)1xx B(log2x)=2ln1x C(3x)=3xlog3e D(x2cosx)

6、=-2xsinx 解析：A错，(x+211)1xx B正确，(log2x)=2ln1x C错，(3x)=3xln3 D错，(x2cosx)=2xcosx+x2(-sinx)例 2：设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2005(x)()Asinx Bsinx Ccosx Dcosx 解析：f0(x)sinx，f1(x)f0(x)=cosx，f2(x)f1(x)=-sinx，f3(x)f2(x)=-cosx，f4(x)f3(x)=sinx，循环了 则f2005(x)f1(x)cosx 2导数的运算法则 法则 1：两个函数的和(或差)的

7、导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)vuvu 点即处的导数记作或注意函数在点处可导是指时有极限如果不存在极限化率取极限得导数例设则学习必备欢迎下载解析导数的几何意义函数在个数是的点中坐标解析切线的斜率为即又切线的倾斜角小于故解得或故学习必备 欢迎下载 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv 若C为常数,则0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(CuCu 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：v

8、u2vuvvu（v0）。例：设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x0时,)()()()(xgxfxgxf0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)0 的解集是 ()A (-3,0)(3,+)B (-3,0)(0,3)C (-,-3)(3,+)D (-,-3)(0,3)解析：当 x0 时,)()()()(xgxfxgxf0，即0)()(/xgxf 当 x0 时，f(x)g(x)为增函数，又 g(x)是偶函数且 g(3)=0，g(-3)=0，f(-3)g(-3)=0 故当3x时，f(x)g(x)0，又 f(x)g(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)g(x)为减函

9、数，且 f(3)g(3)=0 故当30 x时，f(x)g(x)0 故选 D 3.复合函数的导数 形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。点即处的导数记作或注意函数在点处可导是指时有极限如果不存在极限化率取极限得导数例设则学习必备欢迎下载解析导数的几何意义函数在个数是的点中坐标解析切线的斜率为即又切线的倾斜角小于故解得或故学习必备 欢迎下载 法则：y|X=y|Uu|X或者()()*()fxfx.练习：求下列各函数的导数：（1）;sin25xxxxy （2）);3)(2)(1(xxxy （3）;4cos212sin2xxy （4）.1111xxy 解：(1),sins

10、in23232521xxxxxxxxy y.cossin2323)sin()()(232252323xxxxxxxxxx （2）y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11.（3）y=,sin212cos2sinxxx.cos21)(sin21sin21xxxy（4）xxxxxxxy12)1)(1(111111，.)1(2)1()1(21222xxxxy 三、导数的应用 1.函数的单调性与导数（1）设函数)(xfy 在某个区间（a，b）可导，如果f)(x0，则)(xf在此区间上为增函数；如果f0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒

11、有f0)(x，则)(xf为常数。例：函数13)(23xxxf是减函数的区间为()A),2(B)2,(C)0,(D（0，2）解析：由xxxf63)(2/0，得 0 x0，当11x时，)(/xf0，故)(xf的极小值、极大值分别为1)1(3)1(ff、，而1)0(17)3(ff、故函数13)(3xxxf在-3，0 上的最大值、最小值分别是 3、-17。经典例题选讲 例 1.已知函数)(xf xy的图象如图所示（其中)(xf 是函数)(xf的导函数），下面四个图象中)(xfy 的图象大致是()解析：由函数)(xf xy的图象可知：当1x时，)(xf x 0，此时)(xf增 当01x时，)(xf x

12、0，)(xf 0，此时)(xf减 点即处的导数记作或注意函数在点处可导是指时有极限如果不存在极限化率取极限得导数例设则学习必备欢迎下载解析导数的几何意义函数在个数是的点中坐标解析切线的斜率为即又切线的倾斜角小于故解得或故学习必备 欢迎下载 当10 x时，)(xf x 0，)(xf 0，)(xf 0，此时)(xf增 故选 C 例 2.设xaxxf3)(恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间。解：13)(2axxf 若0a，0)(xf对),(x恒成立，此时)(xf只有一个单调区间，矛盾 若0a，01)(xf),(x，)(xf也只有一个单调区间，矛盾 若0a)|31()|31(3)

13、(axaxaxf，此时)(xf恰有三个单调区间 0a且单调减区间为)|31,(a和),|31(a，单调增区间为)|31,|31(aa 例 3.已知函数daxbxxxf23)(的图象过点 P（0,2）,且在点M)1(,1(f处的切线方程为076yx.（）求函数)(xfy 的解析式；（）求函数)(xfy 的单调区间.解：（）由)(xf的图象经过 P（0，2），知 d=2，所以,2)(23cxbxxxf.23)(2cbxxxf 点即处的导数记作或注意函数在点处可导是指时有极限如果不存在极限化率取极限得导数例设则学习必备欢迎下载解析导数的几何意义函数在个数是的点中坐标解析切线的斜率为即又切线的倾斜角小

14、于故解得或故学习必备 欢迎下载 由在)1(,1(fM处的切线方程是076yx，知.6)1(,1)1(,07)1(6fff即.3,0,32.121,623cbcbcbcbcb解得即 故所求的解析式是.233)(23xxxxf（）.012,0363.363)(222xxxxxxxf即令 解得.21,2121xx 当;0)(,21,21xfxx时或 当.0)(,2121xfx时 故)21,(233)(23在xxxxf内是增函数，在)21,21(内是减函数，在),21(内是增函数.例 4.设函数 32()f xxbxcx xR，已知()()()g xf xfx是奇函数。（）求b、c的值。（）求()g

15、x的单调区间与极值。解：（）32f xxbxcx，232fxxbxc。从而322()()()(32)g xf xfxxbxcxxbxc32(3)(2)xbxcb xc 是 一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；（）由（）知3()6g xxx，从而2()36g xx，由此可知，(,2)和(2,)是函数()g x是单调递增区间；(2,2)是函数()g x是单调递减区间；()g x在2x 时，取得极大值，极大值为4 2，()g x在2x 时，取得极小值，极小值为4 2。例 5.已知 f（x）=cbxaxx23在 x=1，x=32时，都取得极值。（1）求 a、b 的值。（2）若对 2,

16、1x，都有cxf1)(恒成立，求 c 的取值范围。解：（1）由题意 f/（x）=baxx 232的两个根分别为 1 和32 由韦达定理，得：132=32a，)32(13b 则21a，2b 点即处的导数记作或注意函数在点处可导是指时有极限如果不存在极限化率取极限得导数例设则学习必备欢迎下载解析导数的几何意义函数在个数是的点中坐标解析切线的斜率为即又切线的倾斜角小于故解得或故学习必备 欢迎下载（2）由（1），有 f（x）=cxxx22123，f/（x）=232 xx 当)32,1x时，0)(/xf，当)1,32(x时，0)(/xf，当 2,1(x时，0)(/xf，当32x时，)(xf有极大值c27

17、22，cfcf2)2(,21)1(，当 2,1x，)(xf的最大值为cf2)2(对 2,1x，都有cxf1)(恒成立，cc12，解得,120c或,12 c 例 6.已知1x 是函数32()3(1)1f xmxmxnx的一个极值点，其中,0m nR m，（I）求m与n的关系式；（II）求()f x的单调区间；（III）当 1,1x时，函数()yf x的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求m的取值范围.解：(I)2()36(1)fxmxmxn 因为1x 是函数()f x的一个极值点,所以(1)0f ,即36(1)0mmn ，所以36nm（II）由（I）知，2()36(1)36fxmxmxm=2

18、3(1)1m xxm 当0m时，有211m，当x变化时，()f x与()fx的变化如下表：x 2,1m 21m 21,1m 1 1,()fx 0 0 0 0 0()f x 调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 点即处的导数记作或注意函数在点处可导是指时有极限如果不存在极限化率取极限得导数例设则学习必备欢迎下载解析导数的几何意义函数在个数是的点中坐标解析切线的斜率为即又切线的倾斜角小于故解得或故学习必备 欢迎下载 故有上表知，当0m时，()f x在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减.（III）由已知得()3fxm，即22(1)20mxmx 又0m所以222(

19、1)0 xmxmm即 222(1)0,1,1xmxxmm 设212()2(1)g xxxmm，其函数开口向上，由题意知式恒成立，所以22(1)0120(1)010gmmg 解之得 43m 又0m 所以403m 即m的取值范围为4,03 例 7：（2009 天津理 20）已知函数22()(23)(),xf xxaxaa exR其中aR（1）当0a 时，求曲线()(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率；（2）当23a 时，求函数()f x的单调区间与极值。本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。解：（I

20、）.3)1()2()()(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3)1(,1()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线（II）.42)2()(22xeaaxaxxf 点即处的导数记作或注意函数在点处可导是指时有极限如果不存在极限化率取极限得导数例设则学习必备欢迎下载解析导数的几何意义函数在个数是的点中坐标解析切线的斜率为即又切线的倾斜角小于故解得或故学习必备 欢迎下载.2232.220)(aaaaxaxxf知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论。（1）a若32，则a22a.当x变化时，)()(xfxf，的变化情况如下表：x a2，a2 22aa，2a，2a +0 0+极大值 极小值

21、 .)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数（2）a若32，则a22a，当x变化时，)()(xfxf，的变化情况如下表：x 2a，2a aa22，a2 ，a2 +0 0+极大值 极小值 内是减函数。，内是增函数，在，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数 点即处的导数记作或注意函数在点处可导是指时有极限如果不存在极限化率取极限得导数例设则学习必备欢迎下载解析导数的几何意义函数在个数是的点中坐标解析切线的斜率为即又切线的倾斜角小于故解得或故