2023年坐标系与参数方程知识点总结归纳全面汇总归纳.pdf

《2023年坐标系与参数方程知识点总结归纳全面汇总归纳.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年坐标系与参数方程知识点总结归纳全面汇总归纳.pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 坐标系与参数方程 知识点(一)坐标系 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点(,)P x y是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)xxyy 的作用下,点(,)P x y对应到点(,)P x y,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与

2、坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标 设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点 M的极角,记为.有序数对(,)叫做点 M的极坐标,记作(,)M.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的

3、原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:学习必备 欢迎下载 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)互化公式 cossinxy 222tan(0)xyyxx 在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 (02)r 圆心为(,0)r,半径为r的圆 2 cos()22r 圆心为(,)2r,半径为r的圆 2 sin(0)r 圆心为(,)2r

4、,半径为r的圆 2 sin(0)r 过极点,倾斜角为的直线 (1)()()RR 或(2)(0)(0)和 过点(,0)a,与极轴垂直的直线 cos()22a 过点(,)2a,与极轴平行的直线 sin(0)a 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再系以互相垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特学习必备 欢迎下载 要求至少有一

5、个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点(,)4 4M可以表示为5(,2)(,2),444444 或或(-)等多种形式,其中,只有(,)4 4 的极坐标满足方程.5.圆与直线一般极坐标方程（1）圆的极坐标方程 若圆的圆心为 00(,)M，半径为 r，求圆的极坐标方程。设(,)P为圆上任意一点，由余弦定理，得 PM2=OM2+OP2 2OM OPcosPOM，则圆的极坐标方程是：2220002cos r （2）直线的极坐标方程 若直线 l 经过点00(,)M，且极轴到此直线的角为 ，求直线 l的极坐标方程。设直线 l 上任意一点的坐标为 P(，)，由正弦定理，得：OPsinOMP=OMsi

6、nOPM 整理得直线 l 的极坐标方程为 00sin sin 6、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(a：a cos2a cos2a sin2a sin2a )cos(2 a M P 0 0 O x x O P(，)M(0，0)l 0 0 系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再系以互相垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特学习必备 欢迎下载 6、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：0 cosa cosa sina sina )cos(a （二）、cos2aax

7、OM图2sin2aaxOM图4sin2aaxOM图5cos2aaxOM图3aaxOM图1),(a)cos(2 aaxOM图600 xOM图1（，）cosaaOM图2cosaaOM图3sinaOM图4asinaOM图5a),(a)cos(aOMpN图6（，）a系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再系以互相垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特学习必备 欢迎下载 参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y都是某个变数t的函数()()xf tyg t,

8、并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点(,)M x y都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y中的一个与参数t的关系,例如()xf t,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()yg t,那么()()xf tyg t就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y的取值范围保持一致.注：普通方程化为

9、参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数 如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设(,)M x y，则cos()sinxryr为参数。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为(,)a b，半径为r的圆的普通方程是222()()xaybr，它的参数方程为：cos()sinxarybr 为参数。4椭圆的参数方程 以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为22221(0),xyabab 其

10、参数方程为cos()sinxayb为参数，其中参数称为离心角；系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再系以互相垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特学习必备 欢迎下载 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是22221(0),yxabab 其参数方程为cos(),sinxbya为参数 其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点

11、，两个角的数值都不相等。但当02 时，相应地也有02，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程 以坐标原点O为中心，焦 点 在x轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 议 程 为22221(0,0),xyabab其 参 数 方 程 为sec()tanxayb为参数，其中30,2),.22且 焦 点 在y轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是22221(0,0),yxabab其 参 数 方 程 为cot(0,2).cscxbeya 为参数，其中且 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)ypx p的参数方程为22().2xpttypt

12、 为参数 7直线的参数方程 经过点000(,)Mxy，倾斜角为()2的直线l的普通方程是00tan(),yyxx而过000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点(,)M x y为终点的有向线段0M M的数量，当点M在0M上方时，t0；当点M在0M下方时，t0；当点M与0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度

13、与原直角坐标系中的单位长度相同。系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再系以互相垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特学习必备 欢迎下载 其中参数 t 是以定点 P（x0，y0）为起点，对应于 t 点 M（x，y）为终点的有向线段 PM的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离 根据 t 的几何意义，有以下结论 1 设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA和 tB，则ABABtt BAABtttt4)(2 2 线段AB的中点所对应的参数值等于2BAtt 三）例题鉴赏例 1（20

14、12 湖北）(23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标xOy中，圆221:4Cxy，圆222:(2)4Cxy。()在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C的极坐标方程，并求出圆12,C C的交点坐标(用极坐标表示)；()求出12CC与的公共弦的参数方程。例 2（坐标系与参数方程）直线2cos1与圆2cos相交的弦长为 3 解析：化极坐标为直角坐标得直线2213,(1)1,2=3.22xxy圆由勾股定理可得相交弦长为 系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再系以互相垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐

15、标能建为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特学习必备 欢迎下载 例 3（陕西文 17）直角坐标系xOy中，以原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，B分别在曲线1C：3cossinxy（为参数）和曲线2C：1上，则|AB的最小值为 1 【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程【解】曲线1C的方程是22(3)1xy，曲线2C的方程是221xy，两圆外离，所以|AB的最小值为22301 1 1 例 4（浙江理科）已知直线:lsincos1tytx，t(为参数，为l的倾斜角，且0)与曲线 sincos2:yxC(为参数)相交于

16、A、B 两点，点F的坐标为)0,1(（1）求ABF的周长；（2）若点)0,1(E恰为线段AB的三等分点，求ABF的面积。解：（1）将曲线 C 消去可得：1222yx，直线l过曲线 C 的左焦点)0,1(F，由椭圆的定义可知ABF为|BFAFFBFABFAFAB 24422|)|(|)|(|aaaBFFBAFFA （2）可设直线l的方程为1 kyx，若点)0,1(E为线段AB的三等分点，不妨设 EBAE2，),(),(2211yxByxA，则212yy 联立102222kyxyx，消去x得：012)2(22kyyk 则21222222212221kyyykkyyy，消去2y得：722k 此时814321222)1(8|222221kkkkyy 所以8143|2121yyEFSABF 系如图所示在平面内取一个定点叫做极点自极点引一条射线叫做极轴再系以互相垂直的两条数轴为几何背景平面直角坐标系内的点与坐标能建为终边的角叫做点的极角记为有序数对叫做点的极坐标记作一般不作特