2023年导数有关知识点总结归纳全面汇总归纳、经典例题及解析、近年高考题带超详细解析答案.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 导数及其应用 【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0处有增量x，那么函数 y 相应地有增量y=f（x0+x）f（x0

2、），比值xy叫做函数 y=f（x）在 x0到 x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x0处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x0处的导数，记作 f（x0）或 y|0 xx。即 f（x0）=0lim xxy=0lim xxxfxxf)()(00。说明：导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 名师总结 优秀知识点（1）函数 f（x）在点 x0处可导，是指0 x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点 x0处

3、不可导，或说无导数。（2）x是自变量 x 在 x0处的改变量，0 x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y=f（x0+x）f（x0）；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数 f(x0)=xyx0lim。二、导数的几何意义 函数 y=f（x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x0，f（x0）处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x0，f（x0）处的切线的斜率是 f（x0）。相应地，切线方程为 yy0=f/（x0）（xx0）。三、几种常见函数的导

4、数 0;C 1;nnxnx (sin)cosxx;(cos)sinxx ;();xxee()lnxxaaa;1ln xx;1l glogaaoxex.四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)vuvu 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv 若 C 为常数,则0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(CuCu 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以

5、分母的平方：vu=2vuvvu（v0）。形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|x=y|u u|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(xfy 在某个区间可导，商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数理解可值知识梳理导数的概念导数的几何意义物理意义导数导数的运算常见函的平均变化率即如果当时有极限我们就说函数在点处可导并把这个极限名师总结 优秀知识点 如果f)(x0，则)(xf为增函数；如果f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数；2、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数

6、为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3、最值：一般地，在区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值。求函数(x)在(a，b)内的极值；求函数(x)在区间端点的值(a)、(b)；将函数(x)的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分(1)概念：设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0 x1xi1xixnb 把区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式 Innif1(i)x（其中x 为小区间长度），把 n即x0 时，和式 In

7、的极限叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作：badxxf)(，即badxxf)(ninf1lim(i)x。这里，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：dx0C；dxxm111mxmC（mQ，m1）；x1dxlnxC；dxexxeC；dxaxaaxlnC；xdxcossinxC；xdxsincosxC（表中 C 均为常数）。(2)定积分的性质 babadxxfkdxxkf)()(（k 为常数）；bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；bacabcdxxfdx

8、xfdxxf)()()(（其中 acb)。(3)定积分求曲边梯形面积 商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数理解可值知识梳理导数的概念导数的几何意义物理意义导数导数的运算常见函的平均变化率即如果当时有极限我们就说函数在点处可导并把这个极限名师总结 优秀知识点 由三条直线 xa，xb(ab)，x 轴及一条曲线 yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯的面积badxxfS)(。如果图形由曲线 y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设 f1(x)f2(x)0），及直线 xa，xb（a0，且 x 1 时，f(x)xkxInx 1，求 k 的取值范围。【解析】(1)f,(x)=22)1()1

9、(xbxInxxxa由于直线 x+2y-3=0 的斜率为21，且过点(1,1)，故 即 解得 a=1，b=1。(2)由（1）知ln11xxx，所以22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxf xxxxxx。考虑函数()2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2()kxxh xx。(i)设0k，由222(1)(1)()k xxh xx 知，当1x 时，()0h x。而(1)0h，故 当(0,1)x时，()0h x，可得21()01h xx；当 x（1，+）时，h（x）0 f(x)=1 f,(1)=21 b=1 ba2=21 商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某

10、些简单函数的导数理解可值知识梳理导数的概念导数的几何意义物理意义导数导数的运算常见函的平均变化率即如果当时有极限我们就说函数在点处可导并把这个极限名师总结 优秀知识点 从而当 x0,且 x1 时，f（x）-（1lnxx+xk）0，即 f（x）1lnxx+xk.（ii）设 0k0,故 h（x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，k11）时，h（x）0，可得211xh（x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，+）时，h（x）0，可得211x h（x）0,与题设矛盾。综合得，k 的取值范围为（-，0.【例 4】（2012 山东）已知函数 f(x)=xekx ln（k 为常数，e=2.71828是自然

11、对数的底数），曲线 y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线与 x 轴平行。（）求 k 的值；（）求 f(x)的单调区间；（）设 g(x)=(x2+x)()fx,其中()fx为 f(x)的导函数，证明：对任意 x0，21)(exg。【解析】由 f(x)=xekx ln可得)(xfxexkxln1，而0)1(f，即01ek，解得1k；（）)(xfxexxln11，令0)(xf可得1x，当10 x时，0ln11)(xxxf；当1x时，0ln11)(xxxf。于是)(xf在区间)1,0(内为增函数；在),1(内为减函数。（）xxexxxxexxxxxgln)(1ln11)()(222，当1x时，0,

12、0,0ln,0122xexxxx，210)(exg.当10 x时，要证22221ln)(1ln11)()(eexxxxexxxxxgxx。只需证2221()ln(1)xxxxxee，然后构造函数即可证明。【例 5】（2012 北京）已知函数2(1)()a xf xx，其中0a.（）求函数()f x的单调区间；（）若直线10 xy 是曲线()yf x的切线，求实数a的值；（）设2()ln()g xxxx f x，求()g x在区间1,e 上的最大值.（其中e为自然对数的底数）商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数理解可值知识梳理导数的概念导数的几何意义物理意义导数导数的运算常见

13、函的平均变化率即如果当时有极限我们就说函数在点处可导并把这个极限名师总结 优秀知识点【解析】（）3(2)()axfxx，（0 x），在区间(,0)和(2,)上，()0fx；在区间(0,2)上，()0fx.所以，()f x的单调递减区间是(,0)和(2,)，单调递增区间是(0,2).（）设切点坐标为00(,)xy，则002000030(1)10(2)1a xyxxyaxx 解得01x，1a.（）()g x ln(1)xxa x，则()ln1g xxa 解()0g x，得1eax，所以，在区间1(0,e)a上，()g x为递减函数，在区间1(e,)a上，()g x为递增函数.当1e1a，即01a

14、时，在区间1,e上，()g x为递增函数，所以()g x最大值为(e)eegaa.当1eea，即2a 时，在区间1,e上，()g x为递减函数，所以()g x最大值为(1)0g.当11e0;当 x2321，时，f (x)0,所以 f(x)在 x=21处取得极大值，在 x=23处取得极小值。（2）若()f x为R上的单调函数则 f (x)恒大于等于零或 f (x)恒小于等于零，因为 a0 所以=（-2a）2-4a 0，解得 00）.（）令 F（x）xf（x），讨论 F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当 x1 时，恒有 xln2x2a ln x1.【课后作业】一、选择题 1.（200

15、5 全国卷文）函数93)(23xaxxxf,已知)(xf在3x时取得极值,则a=()A 2 B 3 C 4 D 5 商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数理解可值知识梳理导数的概念导数的几何意义物理意义导数导数的运算常见函的平均变化率即如果当时有极限我们就说函数在点处可导并把这个极限名师总结 优秀知识点 2(2008 海南、宁夏文）设()lnf xxx，若0()2fx，则0 x（）A 2e B e C ln22 D ln2 3（2005 广东）函数13)(23xxxf是减函数的区间为（）A ),2(B)2,(C)0,(D（0，2）4.（2008 安徽文）设函数1()21(0)

16、,f xxxx 则()f x（）A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数 D 是减函数 5（2007 福建文、理）已知对任意实数 x 有 f(x)=f(x)，g(-x)=g(x)，且 x0 时，f(x)0，g(x)0，则 x0，g(x)0 B f(x)0，g(x)0 C f(x)0 D f(x)0，g(x)0）有极大值 9.（）求 m 的值；（）若斜率为-5的直线是曲线()yf x的切线，求此直线方程.商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数理解可值知识梳理导数的概念导数的几何意义物理意义导数导数的运算常见函的平均变化率即如果当时有极限我们就说函数在点处可导并把这个极限名师总结

17、 优秀知识点【参考答案】【课堂练习】一、选择 110AADBD DDCCC(2)填空（1）3；1216；13.2 ；14.23R4R34,球的体积函数的导数等于球的表面积函数 三、解答题 15.解：每月生产 x 吨时的利润为)20050000()5124200()(2xxxxf).(200,20002400053)()0(5000024000512123舍去解得由xxxxfxxx 0)(200),0)(xfxxf使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且最大值为：)(31500005000020024000)200(51)200(3元f 答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 3

18、15 万元.16.解：()因为22()91f xxaxx,所2()329fxxax 223()9.33aax 即当2()9.33aaxfx 时，取得最小值因斜率最小的切线与126xy 平行，即该切线的斜率为-12，所以22912,9.3aa 即 解得3,0,3.aaa 由题设所以()由()知323,()391,af xxxx 因此 212()3693(3(1)()0,1,3.(,1)()0,()(1(1,3)()0,()13()0,()3.()(,13f xxxxxf xxxxf xf xxf xf xf xf xf x 令解得：当时，故在，）上为增函数；当时，故在（，）上为减函数；当x(3,

19、+)时，故在（，）上为增函数由此可见，函数的单调递增区间为）和（，）；单调递减区13.间为（，）商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数理解可值知识梳理导数的概念导数的几何意义物理意义导数导数的运算常见函的平均变化率即如果当时有极限我们就说函数在点处可导并把这个极限名师总结 优秀知识点 17解：（1）32()1f xxaxx 求导：2()321fxxax 当23a时，0，()0fx,()f x在R上递增 当23a，()0fx 求得两根为233aax 即()f x在233aa，递增,223333aaaa ，递减,233aa ，递增（2）要使 f(x)在在区间2133，内是减函数，

20、当且仅当，0)(xf在2133，恒成立，由)(xf 的图像可知，只需031032ff，即0323403437aa,解得。a2。所以，a的取值范围,2。18.解：（）因为,)()(xxeexf 所以切线l的斜率为,t e故切线l的方程为).(txeeytt即0)1(teyxett。（）令 y=0 得 x=t+1,x=0 得)1(teyt 所以 S（t）=)1()1(21tett=tet2)1(21从而).1)(1(21)(ttetSt 当t（0，1）时，)(tS0,当t（1,+）时,)(tS0,所以 S(t)的最大值为 S(1)=e2。19解：()f x的定义域为32，（）224622(21)(

21、1)()2232323xxxxfxxxxx 当312x 时，()0fx；当112x 时，()0fx；当12x 时，()0fx 从而，()f x分别在区间312，12，单调增加，在区间112，单调减少（）由（）知()f x在区间3 14 4，的最小值为11ln224f 商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数理解可值知识梳理导数的概念导数的几何意义物理意义导数导数的运算常见函的平均变化率即如果当时有极限我们就说函数在点处可导并把这个极限名师总结 优秀知识点 又31397131149lnlnln1 ln442162167226ff 0 所以()f x在区间3 14 4，的最大值为1

22、17ln4162f 20.（）解：根据求导法则得.0,2In21)(xxaxxxf 故,0,2In2)()(xaxxxxfxF 于是.0,221)(xxxxxF 列表如下：x (0,2)2 (2,+)F（x）-0 +F(x)极小值 F（2）故知 F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+）内是增函数，所以，在 x2 处取得极小值 F（2）2-2In2+2a.（）证明：由.022In22)2()(0aFxFa的极小值知，于是由上表知，对一切.0)()(),0(xxfxFx恒有 从而当.,0)(,0)(0）内单调增加在（故时，恒有xfxfx 所以当.0In2In1,0)1()(12xaxxfxfx

23、 即时，故当.1In2In12xaxxx时，恒有【课后作业】一、选择 1-10 DBDAB ACABD 一、填空 11.520 xy ；12.38；13.32；14.2,-2.三、解答题 15.解：（I）f (x)3x26x9令 f (x)0，解得 x3，所以函数 f(x)的单调递减区间为（，1），（3，）（II）因为 f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a，所以 f(2)f(2)因为在（1，3）上 f (x)0，所以 f(x)在1,2上单调递增，又由于 f(x)在2，1上单调递减，因此 f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解

24、得 a2 故 f(x)=x33x29x2，因此 f(1)13927，即函数 f(x)在区间2，2上的最小值为7 16.解（）32f xxbxcx，232fxxbxc。从而322()()()(32)g xf xfxxbxcxxbxc32(3)(2)xbxcb xc 是一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；（）由（）知3()6g xxx，从而2()36g xx，由此可知，商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数理解可值知识梳理导数的概念导数的几何意义物理意义导数导数的运算常见函的平均变化率即如果当时有极限我们就说函数在点处可导并把这个极限名师总结 优秀知识点(,2)

25、和(2,)是函数()g x是单调递增区间；(2,2)是函数()g x是单调递减区间；()g x在2x 时，取得极大值，极大值为4 2，()g x在2x 时，取得极小值，极小值为4 2。一、解：()由32()f xxbxcxd的图象过点 P（0，2）,d=2 知,所以 32()2f xxbxcx,f(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1)处的切线方程是 6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1,f(-1)=6,326,121,bcbc 即0,23,bcbc 解得 b=c=-3。故所求的解析式为 f(x)=x3-3x2-3x+2,()f(x)=3x2-6x-3,令

26、3x2-6x-3=0即 x2-2x-1=0,解得 x1=1-2,x2=1+2,当 x1+2时,f(x)0;当 1-2x1+2时,f(x)0 f(x)=x3-3x2-3x+2在(1+2,+)内是增函数,在(-,1-2)内是增函数,在(1-2,1+2)内是减函数.18.解：设长方体的宽为 x（m），则长为 2x(m)，高为230(m)35.441218xxxh.故长方体的体积为).230()(m69)35.4(2)(3322xxxxxxV 从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV令 V（x）0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1.当 0 x1 时，V（x）0；当 1x32

27、时，V(x)0，故在 x=1 处 V（x）取得极大值，并且这个极大值就是 V（x）的最大值。从而最大体积 VV（x）912-6 13（m3），此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3。19解：（）2()363(2)fxaxxx ax 因为2x 是函数()yf x的极值点，所以(2)0f ，即6(22)0a，因此1a 经验证，当1a 时，2x 是函数()yf x的极值点（）由题设，xxaaxxg6)1(3)(230)0(g 当()g x在区间0 2，上的最大值为(0)g时，06)1(323xxa

28、ax对一切2,0 x都成立，即xxxa3632对一切2,0 x都成立令xxxx363)(2，2,0 x，则 min)(xa 由0)3(6)2(3)(222xxxx，可知xxxx363)(2在2,0 x上单调递减，所以 56)2()(minx，故 a 的取值范围是65，商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数理解可值知识梳理导数的概念导数的几何意义物理意义导数导数的运算常见函的平均变化率即如果当时有极限我们就说函数在点处可导并把这个极限名师总结 优秀知识点（2）当0a时，抛物线6)1(3)(2xaaxxh的对称轴为aax2)1(3，当 a0 时，02)1(3aa，有 h(0)=-

29、60,所以 h(x)在),0(上单调递减，h(x)0 时,因为 h(0)=-60,所以要使 h(x)0 在2,0 x上恒成立,只需 h(2)0 成立即可,解得 a56;综上，a的取值范围为65，20.解：()f(x)3x2+2mxm2=(x+m)(3xm)=0,则 x=m 或 x=31m,当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：从而可知，当 x=m 时，函数 f(x)取得极大值 9，即 f(m)m3+m3+m3+1=9,m2.()由()知，f(x)=x3+2x24x+1,依题意知 f(x)3x24x45，x1 或 x31.又 f(1)6，f(31)2768，所以切线方程为 y65(x1),或 y27685(x31)，即 5xy10，或 135x27y230.x(,m)m(m,m31)m31(m31,+)f(x)+0 0+f(x)极大值 极小值 商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数理解可值知识梳理导数的概念导数的几何意义物理意义导数导数的运算常见函的平均变化率即如果当时有极限我们就说函数在点处可导并把这个极限