2023年多元函数微分学全面汇总归纳.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 第八章 多元函数微分学 8.1 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，

2、掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。8.2 基本题型及解题思路分析 题型 1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。（1）基本概念 二元函数极限的定义：设()(,)f Pf xy的定义域为D,000(,)P xy是D的聚点.若常数A，对于0，总0，使得当0(,)(,)P x yDU P时，都有()(,)f PAf x yA 成立，则称A为函数(,)f x y当00(,)(,)x

3、 yxy时的极限，记作000(,)(,)lim(,)lim()x yxyPPf x yAf PA或。二元函数的连续：设()(,)f Pf x y的定义域为D,000(,)P xy为D的聚点，且0PD.若0000(,)(,)lim(,)(,)x yxyf x yf xy，则称(,)f x y在点000(,)P xy连续。（2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0lim()PPf PA存在的定义中，0PP方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。证明二元函数的极限不存在：若0PP以两种不同的方式趋于时，()f P的极 精

4、品资料 欢迎下载 限不同，则0lim()PPf P一定不存在（见例 1）。求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例 2）例 1 证明：224(,)xyf x yxy在原点0,0（）的极限不存在。【分析】观察分子、分母中变量,x y的各次幂的特点，可考虑选择路径2xky。证明：2224242442000lim(,)limlim1yyyx kyx kyxykykf x yxyk yyk，k 不

5、同，极限值就不同，故(,)(0,0)lim(,)x yf x y不存在。【评注】证明二元函数的极限不存在是个难点，关键是选择适当的0PP的路径，注意总结其选择路径的规律。例 2(,)(0,0)1-coslim21xyx yxye 。【分析】此题既可以直接利用等价无穷小代换，也可以先将分母有理化，再进行等价无穷小代换。解：(,)(0,0)(,)(0,0)1-cos1-coslimlim211(1)1xyxyx yx yxyxyee (,)(0,0)(,)(0,0)2limlim112xyx yx yxyxyexy 【评注】二元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质与运算法则，求法一般不难，这里不

6、再多举例子。例 3 设3222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx yf x yxyx y，证明函数),(yxf在点(0,0)连续。微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载【分析】：通过观察分子、分母中变量,x y的各次幂的特点，可以看出),(yxf在(0,0)点的极限存在且为0，但不易利用例2 中的评注直接求解，可以考虑将点(,)x y转化成极坐标来表示。证明：3222(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)li

7、mx yx yxyf x yxy 2320(cossin)cos,sinlim0(0,0)xyf (,)f x y在点(0,0)连续。2.偏导数的概念 二元函数的偏导数的概念：设(,)zf x y在点00(,)xy的某一邻域内有定义 如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000 存在 则称此极限为函数(,)zf x y在点00(,)xy处对x的偏导数 记作00yyxxxz 00yyxxxf 00yyxxxz 或),(00yxfx。如果极限yyxfyyxfy),(),(lim00000存在 则称此极限为函数(,)zf x y在点00(,)xy处对y 的偏导数，记作 00yyxxyz 0

8、0yyxxyf 00yyxxyz 或fy(x0 y0)例 4 设24(,),xyf x ye则函数在原点偏导数存在的情况是 A(0,0),(0,0)xyff存在存在 B(0,0),(0,0)xyff存在不存在 C(0,0),(0,0)xyff不存在存在 D(0,0),(0,0)xyff不存在不存在（研）解：应选【C】2400011(0,0)=limlim00 xxxxxeefxx，微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 因为001

9、1limlim100 xxxxeexx，01lim10 xxex 故0011limlim00 xxxxeexx，所以(0,0)xf 不存在。2420200011(0,0)limlimlim000yyyyyyeeyfyyy 所以(0,0)yf 存在。故选【C】。【评注】开算数根也即含绝对值也即为分段函数，必要时需要用偏导数定义 讨论偏导数，与一元函数类似，是重要考点。例 5 设22(,)(0,0)(,)34lim2x yf x yxyxy,则 2(0,0)(0,0)xyff （2008-北京赛）.【分析】为了利用偏导数的定义求出(0,0)xf 和(0,0)yf，需要写出函数的表达式，为此要想到利

10、用结论：0()(),limPPf PAf PA 其中00limPP。解：22(,)(0,0)(,)34lim2,x yf x yxyxy 22(,)342,f x yxyxy 其中(,)(0,0)lim0,x y 从而2222(,)342()()f x yxyxyxy ，2200(0,0)(0,0)320(0,0)limlim30 xxxfxfxxxfxx 2200(0,0)(0,0)420(0,0)limlim40yyxfyfyyyfyy 故2(0,0)(0,0)642xyff 。【评注】此例中这种把极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。3.全微分概念及以上几个概

11、念之间的关系 二元函数全微分的概念：如果函数(,)zf x y在点(x y)的全增量(,)(,)zf xx yyf x y 可表示为 微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 22()()()zA xB yoxy 则称函数(,)zf x y在点(x y)可微分 而称AxBy为函数(,)zf x y在点(x y)的全微分 记作dz 即 dzA xB y 关系：偏导连续可微偏导存在；可微连续；但偏导存在可微；连续偏导存在【评注】一元函数

12、微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中。例 6 设)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf，（1）),(yxf在（0，0）点是否连续？（2）求(,)xfx y；（3）),(yxf在（0，0）点是否可微；（4）(,)xfx y在（0，0）点是否连续。（天津工业大学竞赛题）【分析】讨论分段函数在分段点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微分的定义。解(1)由夹逼准则 2210(,)sinf x yxyxyxy，(,)(0,0)lim(,)0(0,0)x yf x yf 因此，故(,)0,0f x y 在（）点连续。(2)当(,)(0,0)x y 时 22222

13、211(,)2 sincosxxfx yxxyxyxy,当(,)(0,0)x y，利用偏导数的定义得 00(0,0)(0,0)0(0,0)limlim0 xxxfxffxx，故222222112 sincos,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xxxx yfx yxyxyxyx y 同理可得 微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 222222112 sincos,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)yyyx yfx

14、 yxyxyxyx y(3)为了考察),(yxf在(0,0)点是否可微，我们来考察 (0,0)(0,0)xyzfxfy 是否为22()()xy 的高阶无穷小，因为 22221sin(0,0)(0,0)()()02()()xyx yzfxfyxyx yx yxy 0(0,0)2x yxy ，故0(0,0)(0,0)lim0 xyzfxfy ，即(0,0)(0,0)()xyzfxfyo 所以),(yxf在(0,0)点可微。（4）由于222222(,)(0,0)(,)(0,0)11lim(,)lim(2 sincos)xx yx yxfx yxxyxyxy不存在，所以(,)xfx y在(0,0)点不

15、连续。【评注 1】利用偏导数和全微分的定义讨论函数偏导数的存在性和可微性，既是重点也是难点，需掌握。【评注 2】若),(yxf在(0,0)点连续，且偏导数存在，则判别),(yxf在0,0（）点是否可微，需考察(0,0)(0,0)xyzfxfy 是否为22()()xy 的高阶无穷小。【评注 3】此例验证了偏导数连续是可微的充分条件，而非必要条件。【评注 4】注意这几个概念之间的关系与一元函数的有关结论的不同之处。例 7 设函数(,)|(,)f x yxyx y,其中(,)x y在点(0,0)的一个邻域内连续,证明:(,)f x y在点(0,0)处可微的充要条件为(0,0)0。（2007-天津赛）

16、证明：（必要性）已知x,yf在点(0,0)处可微，故00,fx与00,fy都存在。而 000000 000,0limlimxxxxx,xx,fxx，微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 其 中00|(,0)|(,0)lim(0,0),lim(0,0),xxxxxxxx 由 于00,fx存 在，故000,。（充 分 性）已 知000,，类 似 于 必 要 性 的 过 程 容 易 推 出(0,0)0,(0,0 xyff欲证x,yf在

17、点(0,0)处可微，只需证 2222(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)(0,0)(0,0)|(,)lim=lim0.xyx yx yf x yffxfyxyx yxyxy 注意到：222222|2xyxyxyxyxy，所以 2202xyx,yx,yxy。又 (,)(0,0)lim0 00 x yx,y,，由夹逼定理知 22(,)(0,0)lim0 x yxyx,yxy。从而x,yf在点(0,0)处可微，并且0dx,yf。【评注】此题是一元函数中的重要结论“设()x在xa点连续，则()|()f xxax 在xa可导的()0a”在多元函数中的推广，但证明过程要比一元函数复杂的多。题型

18、 2 多元函数的偏导数的计算 1.复合函数求导 例 8 设函数20sin(,)1xytF x y zdtt，则2202xyFx（2011-研）解：2sin1()Fyxyxxy，为了计算简便，由偏导数的定义，可得 22222200022sin 24(14)cos 216 sin2()41 4(14)xxxyFxxxxxxxx。【评注】0000,x xxxy yfxyfx y同时000(,),xdf x yfxydx 0000,x xyyy yfxyfx y，同时000(,),ydf xyfxydy，微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌

19、握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 利用后者往往可以大大简化计算，此例的解答就是利用的后者。例 9 设xygyxxy,fz，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数。求yxzxz222,。（2005-天津赛）【分析】本题是典型的利用复合函数求导法则求二阶偏导数的常规题。解：gxyfyyfxz2211，gxygxyfyffygxygxyfyyfyfyyfyxz4232222111242322122111222122111 gxygxfyxxyffyfgxygxfyxxfyfyfyxxfyfyxz3222311221

20、322222122122111211111【评注 1】多元复合函数的求导法则是重点，应理解链式法则的内涵。常见的链式法则有：(),(,)zf u ux y：,zdzuzdzuxduxyduy (,),(),()zf u v ux vx：dzz duz dvdxu dxv dx(,),(,),(,)zf u v ux y vx y：xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz zf(u x y)且u(x y)：xuuzxz dydvvzyuuzyz 其它情形可以此类推，此例中就涉及到和。【评注 2】若f具有二阶连续偏导数，则2112ff,注意将此两项进行合并.例 10 设),2(2xxyfz，这里

21、f可导且具有连续偏导数，求yzxz,.解：xyxxyfxxxyfxz22),2(),2(2122 ),2()(2221xxyfyx 微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 02),2(),2(2122xxxyfyxxyfyz ),2(221xxyfx 【评注】注意区分何时该用全导数记号，何时该用偏导数记号。例 11 设xuzxttxyzyxfu，求，又),(),(),(，uz.解：由上述表达式可知,x z为自变量,所以 xtyxy

22、xxtxyxyxfffffxyffxu yzytzzytzzuyffffffzz。【评注】类似于一元函数，对于多层的复合关系，先要分清变量间的关系，然后逐层利用复合函数的链式法则即可。例 12 设变换yxvyaxu2把方程0212222yzyzyxz化为20zu v，试确定a.（2003-天津赛）。【分析】利用变量替换，借助求解多元复合函数的偏导数使方程变形，是常见题型，这里注意把握好,zzzxy 与中间变量,u v及自变量,x y的树形关系：解：计算一、二阶偏导数：vzuzxvvzxuuzxz，vzuzayyvzyauzyvvzyuuzyz2112，22222222vzvuzuzxz，yvz

23、yavuzyauzyvzuzayyz1412212222222322，代入方程0212222yzyzyxz，得到 0)2()41(2122222222vuzauzayzyzyxz 微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 以题意有020412aa，所以2a.例 13 设二元函数x,yu具有二阶偏导数，且0 x,yu，证明 ygxfx,yu的充要条件为：yuxuyxuu2。（2009-天津赛）证明：（必要性）若 ygxfx,yu，则

24、ygxfyxuygxfyuygxfxu2，显然有yuxuyxuu2。（充分性）若yuxuyxuu2，则0uuuuyxxy ，由于0 x,yu，所以 02uyuxuxuyuuuxuy，即0lnxuy，因此xu ln不含y，故可设 lnuxx。从而有 yxxudln，ddeeexx yxx yu，即 ygxfx,yu。【评注】此题的难点在充分性的证明上，注意是涉及到了关于商的偏导数运算法则的逆运算，看似简单，实际上非常能考察大家的基本功。2.隐函数求导 例 14 设有三元方程1lnxzeyzxy，根据隐函数存在定理，存在点0,1,1（）的一个邻域，在此邻域内该方程（）（A）只能确定一个具有连续偏导

25、数的隐函数),(yxzz；（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(zyxx 和),(yxzz；（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(zxyy 和),(yxzz；微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(zyxx 和),(zxyy。（2005-研）解：应选D 令,)ln1,xzF x y zxyzye（显然,)ln1xzF x y zxyzye（在0,1,1（）点的一个邻域内具有连续

26、的偏导数导数，且0,1,1F(）=0,而(0,1,1),1,1)20,xzxFyze （0(0,1,1),1,1)10,yzFxy （0(0,1,1),1,1)ln0,xzzFyxe（0 故可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(zyxx 和),(zxyy。【评注】本题考查了对隐函数存在定理的三个条件及结论的理解。例15设x,yzz 是由xyzz e所确定的二元函数，求：22xz，y2xz。（2010-天津赛）。【分析】此例是最基本的隐函数求导问题，可以直接利用隐函数的求导公式：zxFFxzzyFFyz，也可以方程(,)=0 x y zF两边分别对x，y求偏导数。解 1：利用隐函数的求导公式。令

27、(,)=z+ezF x y zxy，则由隐函数的求导公式得 11xzzzFzyyxeeF ，11yzzzFzxxyeeF ，32222e1ee1ezzzzyxzyxz，322e1ee11e1ee1zzzzzzxyyzyyxz 解 2:将等式xyzz e两边分别对x，y求偏导数：yxzxzze，zyxze1，xyzyzze，zxyze1，32222e1ee1ezzzzyxzyxz，322e1ee11e1ee1zzzzzzxyyzyyxz。微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数

28、的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 【评注】一般地，若利用zxFFxz，zyFFyz求隐函数的二阶偏导数时，应注意到z仍然是,x y的函数，需进一步利用复合函数的求导法则去求，这是难点。例 16 设函数(,)zz x y是由方程11(,)0F zzxy确定的隐函数，其中F具有 连 续 的 二 阶 偏 导 数，且(,)(,)0uvF u vF u v求 证：220zzxyxy和2223322()0zzzxxy xyyxx yy。(2011-北京赛)解：令11(,)(,)G x y zF zzxy，则由隐函数的求导公式得 121212121()()xzFGFzxxGFFxFF ，2222

29、12121()yzFGFzyyGFFyFF ，由于(,)(,)0,uvF u vF u v 所以2222121222121212()0()()FFFFzzxyxyxyxFFyFFFF。将等式220zzxyxy两边分别对,x y求偏导数，得到 2222220zzzxxyxxy x，即222222zzzxyxxy xx 2222220zzzxyyx yyy，即222222zzzxyyx yyy，将上面的第一个式子两边同乘,x第二个式子两边同乘y，然后相加并注意到220zzxyxy和22zzx yy x，得到2223322()0zzzxxy xyyxx yy。微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形

30、式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载【评注】在证明第二个等式时，若先利用zzxy 、的表达式去求三个二阶偏导数，再代入待证明的等式的左端，显然很麻烦，而设法利用第一问的结果，两边同时对,x y求偏导，问题便迎刃而解了。例 17 设),(zyxfu，0),(2zyx，xysin，其中,f具有连续的一阶偏导数，且0z，求dxdu.（2002-天津赛）【分析】在求导之前要先分析清楚变量之间的关系，对于此题，变量,u y z都为x的一元函数。解：三式两端同时对x求全导数得：d

31、xdzfdxdyffdxdu321 02321dxdzdxdyx xdxdycos 整理可得：321cos2xxdxdz 332121cos2cosfxxfxfdxdy。【评注】分清函数关系后，此题也可以视为是利用方程组求导数的方法求得的隐函数的导数。例 18 设),(),(2yvxugvyvuxfu，其中gf,具有一阶连续偏导数，求xvxu ,【分析】这是典型的由方程组组成的隐函数的求导问题，方程组两边直接对x求偏导数即可。解：方程组两端同时对x求偏导得：)2()1()()(2121xvyvgxugxvxvfuxuxfxu 由此可知，当0)12)(1(1221gfyvgxf时有 微分存在的必

32、要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 12211221)12)(1()12(gfgyvf xgfgyvf uxu，1221111)12)(1()1(gfgyvf xf uf xgxv.题型 3 多元函数微分学在几何中的应用 1.空间曲线的切线和法平面方程 例 19 曲线0243444222zyxzyx在点)1,1,1(M处的切线方程为 .（2003-天津赛）解：方程组两边对x求全导数得01 20 xyyzzyz ，解之得222zxyyyyx

33、zyz ，从而(1,1,1)(1,1,1)0,1yz，故(1,0,1)T。【评注】一般地，若：()()()xtytzt，则在0tt处，000(),(),()Tttt；若：()()yy xzz x，则在0 xx处，切向量00(1,(),()Ty xz x；若：(,)0(,)0F x y zG x y z，则在0000(,)Mxyz点，00(1,(),()Ty xz x（注意条件），此例题属第三种情形。例 20 螺旋线cossin(02)xyz 上与平面0 xyz 平行的切线有（）（A）1 条；（B）2 条；（C）3 条；（D）4 条.(2012-天津赛)解：应选（B）(sin,cos,1)T，(

34、1,1,1)n，依题意Tn，即sincos10，故11,2，所以12(1,0,1),(0,1,1)TT，故切线方程为112,101011zxyxyz。微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载【评注】此题的切向量属例 19【评注】中的第一种情形。例 21 设函数),(yxf在点0,0（）附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1xyff，(0,0)3xf 则(0,0)()3A dzdxdy；(B)曲面(,)(0,0,(0,0)3,1,1

35、zf x yf在点的法向量为（）；()C曲线0),(yyxfz在点)0,0(,0,0(f处的切向量为(1,0,3);(D)曲线0),(yyxfz在点)0,0(,0,0(f处的切向量为(3,0,1);（2001-研）解：应选()C 函数),(yxf在点,0（0）的两个偏导数存在，并不一定能保证函数),(yxf在点0,0（）可微，因此()A不正确。由于偏导数存在不一定能保证曲面(,)zf x y在相应点处存在切平面，即便切平面存在，其(0,0,(0,0)3,1,-1f在点的法向量也应为（），故(B)不正确。曲线0),(yyxfz的参数方程为0(,0)xxyzf x，从而其切向量为(1,0,3)，故

36、()C正确。【评注】此题的概念性很强，所涉及的知识点也较多，易犯的典型错误是选()A。2.空间曲面的切平面和法线方程 例 22 曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是 。（2003-研）【分析】待求平面的法矢量为 1,4,2n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面22yxz切平面的法矢量与 1,4,2n平行确定.解 令 22),(yxzzyxF，则 微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 xFx

37、2，yFy2，1zF.设切点坐标为),(000zyx，则切平面的法矢量为 1,2,200yxn，其与已知平面042zyx平行，因此有 11422200yx，可解得 2,100 yx，相应地有.520200yxz 故所求的切平面方程为 0)5()2(4)1(2zyx，即 542zyx。【评注 1】两平面平行，则它们的法向量成比例，但并不一定相等。【评注 2】一般地，若曲面方程为(,)0F x y z，则在0000(,)Mxyz点，切平面的法向量000000000(,),(,),(,)xyznFxyzFxyzF xyz。例 23 求曲面vzvuyvuxS2sincos:，在2,4uv处的切平面方程

38、。【分析】S 为曲面的参数方程，分别将2,4uv代人曲面 S 的方程中，得在曲面上过点(2,2,)2的两条空间曲线方程，这两条曲线在点(2,2,)2的切线所确定的平面就是所求的切平面。解：将2,4uv代人 S 的方程，得曲面上一点(2,2,)2，将2u 代人曲面方程得在曲面上的一条空间曲线的参数方程2cos2sin2xvyvzv，其切向量为1(2,2,2)T，将4v代人曲面方程得在曲面上的另一条空间曲线的参数方程22222xuyuz，其切向量为222(,0)22T，从而切平面的法向量为 微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方

39、程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 12220(2 2,2 2,1)22222ijknTT ，故所求的切平面方程为 2(2)2(2)()02xyz，即2242xyz 。例 24 在椭球面1222222czbyax上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相等的线段。（2009-天津赛）【分析】只需按题设要求一步一步去做即可，关键是建立完切平面方程后，应注意到切点满足椭球面方程，最好把切平面方程化简成平面的截距式方程。解：设 1222222czbyaxx,y,zF，切点为000(,)xyz，202axFx，202byFy，202czFz，故

40、该点处切平面的法向量为000222222(,)xyznabc，切平面方程为0222020020020zzczyybyxxax，即1020202zcybxazyx。依题意，有截距0020202kkzcybxa，即kczkbykax202020,。由于切点在椭球面上，故有1222222222ckcbkbaka，即1222222kckbka，从而解得222cbak，于是有222202222022220cbac,zcbab,ycbaax。切平面方程为222cbazyx。题型 4 与函数的全微分、方向导数和梯度有关的题 例 25 设函数()f u可微,且 102f,则224zfxy在点(1,2)处的全微

41、微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 分 1,2dz （研）解：22(1,2)(1,2)18(4)842zx fxyx ，22(1,2)(1,2)2(4)2zy fxyy ，1,2(1,2)(1,2)d42zzzdxdyxdyxy。【评注】一般地，若,zf x y则 00001,2(,)(,)dxyxyzzzdxdyxy；若,uf x y z则000000000000(,)(,)(,)(,)duxyzxyzxyzxyzuuudx

42、dydzxyz。例 26.设函数),(yxzz 由方程2xyzxexyz所确定，则 dz （2006-天津赛）.解 1:令(,)=2zy xF x y zzyxxe ，则由隐函数的求导公式得 1111zy xzy xzy xzy xxzy xzy xzFzexeexexxexeF ，11111z y xz y xyz y xz y xzFzxexeyxexeF 故1d1zy xzy xzy xzzexezdxdydxdyxyxe 。解 2：由全微分形式不变性，得()0zy xzy xdzdydxedxxedzdydx ，故1d1z y xz y xz y xexezdxdyxe 。【评注】求由

43、隐函数所确定的函数的全微分时，既可以先利用隐函数的求导方法求出偏导数，再利用全微分的计算公式得dz，也可以利用全微分形式不变性得dz 例 27 函数)ln(22zyxu在点)1,0,1(A处，沿点A指向点)2,2,3(B方向的方向导数为 （2005-天津赛）。解：22(1,0,1)(1,0,1)112uxxyz，2222(1,0,1)(1,0,1)10uyyxyzyz，微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 2222(1,0,1)

44、(1,0,1)112uzzxyzyz，(2,2,1)lAB，221cos,cos,cos,333 (2,2,1)(2,2,1)(2,2,1)(2,2,1)1coscoscos2fuuulxyz。【评注】一般地，000000(,)(,)cos(,)cosxyxyffxyfxyl，000000000000(,)(,)cos(,)cos(,)cosxyzxyzffxy zfxy zfxy zl，其 中c o s,c o s,c是向量l的方向余弦。例 28.函数(,)arctanxf x yy在点(0,1)处的梯度等于 。（2008-研）解：222(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)11,01()

45、1()xffyyxxxyyy，所以(0,1)(0,1)(0,1)ffgradfijixy。【评注】一般地，000000(,)(,),(,)xygradfxyfxyfxy；000000000000(,)(,),(,),(,)xygradfxyzfxy zfxyzf xyz。例 289 求,a b c的值，使函数232(,)f x y zaxybyzcx z在点(1,2,1)M处沿z轴正方向的方向导数有最大值64.解：2223(,)3,(,)2,(,)2xyzfx y zaycx zfx y zaxybz fx y zbycx z，(1,2,1)43,(1,2,1)4,(1,2,1)22xyzfa

46、c fab fbc ，设(1,0,0)l，则cos1,cos0,cos0，故(1,2,1)(1,2,1)cos(1,2,1)cos(1,2,1)cosxyzffffl43ac，微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载 由 方 向 导 数 与 梯 度 的 关 系 知，当(1,0,l 的 方 向 与 梯 度(1,2,1)(43,4g r a d facabbc的方向一致时，方向导数达到最大值。据题意有436440220acabbc，故4

47、,16abc。【评注】方向导数沿梯度的方向达到最大值，且其最大值为梯度的模。题型 5 与多元函数极值有关的题 例30已 知 函 数(,)fxy在 点(0,0)的 某 个 邻 域 内 连 续，且222(,)(0,0)(,)lim1()x yf x yxyxy，则(A)点(0,0)不是(,)f x y的极值点；(B)点(0,0)是(,)f x y的极大值点；(C)点(0,0)是(,)f x y的极小值点；(D)无法判断点(0,0)是否为(,)f x y的极值点.（研）【分析】由题设，容易推知(0,0)0f，因此点(0,0)是否为(,)f x y的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内(,)f

48、x y是恒大于零、恒小于零还是变号.解：应选（A）由 1)(),(lim222)0,0(),(yxxyyxfyx知，分子的极限必为零，从而有(0,0)0f,且222222(,)()()f x yxyxyo xy yx,(充分小时），于是.)()()0,0(),(222222yxoyxxyfyxf 特殊地，当xy 且x充分小时，04)0,0(),(42xxfyxf；而当xy且x充分小时，04)0,0(),(42xxfyxf.故点(0,0)不是(,)f x y的极值点，应选(A).【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度.极限表示式转化为极限值加无穷小

49、量，是有关极限分析过程中常用的思想（见例 5 的评注）。例 31 设函数(,)zf x y的全微分为dzxdxydy，则点（0，0）微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数平面及曲面的切平面和法线的概念熟练掌握它们的方程的求法了解二元朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一精品资料 欢迎下载（A）不是(,)f x y的连续点；（B）不是(,)f x y的极值点；（C）是(,)f x y的极大值点；（D）是(,)f x y的极小值点。解;应选 （D）因dzxdxydy可得,zzxyxy，221zAx，20zBx y，221zCy，又在（0，0）处，0,

50、0zzxy，210ACB，10A，故（0，0）为函数(,)zf x y的一个极小值点。【评注】此题主要考察了极值的充分条件：设函数(,)zf x y在点00(,)xy的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy，令 000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyA fxyB fxyC，则 AC B20 时具有极值 且当 A0时有极小值 AC B20时没有极值 AC B2 0 时可能有极值 也可能没有极值。例 32 设 z=z(x,y)是由0182106222zyzyxyx确定的函数，求),(yxzz 的极值点和极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏