2023年复变函数精品讲义-解析函数.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第 7 讲 授课题目（章、节）1 解析函数的概念 教 学 目 的 与 要 求 1、理解复变函数导数、微分和解析函数的概念 2、掌握连续、可导、可微、解析之间的关系 3、熟练应用求导法则 4、能够利用定义来判别一些函数的解析性 主 要 知 识 点 1、导数、微分、解析的定义 2、可导、连续、可微、解析之间的关系 3、复变函数的求导法则 4、函数解析性的判别 重 点 和 难 点 重点为复变函数微分、解析的定义 难点是函数解析性的判别 学习必备 欢迎下载 教 学 内 容 解析函数是复变函数主要的研究对象。一个函数如果是解析函数，它就具有非常好的性质，在理论中也有广泛的应用。解析函

2、数是复变函数的重要部分，也是以后学习的基础。1.解析函数的概念 一 复变函数的导数和微分 1.导数的定义 定义：设函数 w=f(z)定义于区域 D,0z为 D中的一点，点0zz不出 D的范围。如果极限000()()limzf zzf zz 存在，那么就说 f(z)在0z可导。这个极限值称为 f(z)在0z的导数，记作 00000()()d()limdzz zf zzf zwfzzz （2.1.1）也就是说，对于任意给定的0，相应地有一个()0,使得当 0|z 时，有 000()()|()|f zzf zfzz 。（备注：将定义用数学语言叙述出来，000()()0,0,0|()|f zzf zz

3、fzz 当时，有）注：定义中，0zz 0z的方式是任意的。极限值存在的要求与0zz 0z的方式无关，这比一元实变函数的类似限制要严格得多。如果 f(z)在 D内处处可导，我们就说 f(z)在 D内可导。例 1 求2()f zz的导数（分析：目前对于导数只讲了定义，因此利用定义判别）解：由定义，0()()()limzf zzf zfzz 220()limzzzzz 0lim(2)zzz 2.z 故2()2zz 例 2.问()2 f zxyi是否可导？（分析：要判断一个函数可导，还是利用定义判别。如果zz 沿着不同的路径趋向于 z 时，极限值不同，则该函数不可导。本题就是利用了这个思想，找了两个特

4、殊的间的关系复变函数的求导法则函数解析性的判别重点为复变函数微分解函数它就具有非常好的性质在理论中也有广泛的应用解析函数是复变函在可导这个极限值称为在的导数记作也就是说对于任意给定的相应地有学习必备 欢迎下载 路径，平行于 x 轴和平行于 y 轴。对定义的注 1，本题是一个很好的例子。）解：00()()limlimzzff zzf zzz 0()2()2limzxxyy ixyiz 02limzxyixyi 设 zz沿着平行与 x 轴的直线趋向于 z，则有02limzxyixyi 0lim1xxx；设 zz沿着平行与 y 轴的直线趋向于 z，则有02limzxyixyi 02lim2yyiyi

5、；所以()2 f zxyi的导数不存在。2.可导与连续 定理：函数 f(z)在0z处可导则在0z处一定连续，但函数 f(z)在0z处连续不一定在0z处可导。（分析：先证可导一定连续，只需证明出000lim()()zf zzf z 即可。从可导的定义入手。对于定理的后一部分，举个反例。）证：根据在0z可导的定义：0,0 ，使得当0|z时，有000()()(),f zzf zfzz 000()()()()f zzf zzfzz 令 则0lim()0,zz00 ()()因为 f zzf z0()(),fzzzz 所以000lim()()zf zzf z 即()f z在0z连续。证毕 反例：函数()2

6、f zxyi，容易发现此函数处处连续，但由例 2，却处处不可导。1、求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的。求导公式与法则：(1)()0,.cc其中 为复常数 1(2)(),.nnznzn其中 为正整数 间的关系复变函数的求导法则函数解析性的判别重点为复变函数微分解函数它就具有非常好的性质在理论中也有广泛的应用解析函数是复变函在可导这个极限值称为在的导数记作也就是说对于任意给定的相应地有学习必备 欢迎下载(3)()()()().

7、f zg zfzg z(4)()()()()()().f z g zfz g zf z g z 2()()()()()(5).()0)()()f zfz g zf z g zg zg zgz(6)()()().()f g zfw g zwg z其中 1(7)(),()(),()0()fzwf zzwww其中与是两个互为反函数的单值函数且4.微分的概念 定义：设函数()wf z在0z可导，则000()()()()wf zzf zfzzzz，式中0lim()0 zz，()zz是 z的高阶无穷小，0()fzz是函数()wf z的改变量 w的线性部分。0()fzz称为函数()wf z在点0z的微分，记

8、作0()dwfzz 函数在如果0z的微分存在，则称函数()f z在0z可微。特别的，当()f zz时有0dwdzf(z)zz ，所以00d()()d wfzzfzz，即00d()dz zwfzz 如果函数()f z在区域 D 内处处可微，则称()f z在区域内可微。函数()wf z在0z可导与在0z可微是等价的。二、解析函数的概念 1.解析函数的定义 如果函数()f z在0z及0z的领域内处处可导，那么称()f z在0z处解析。如果函数()f z在区域 D 内每一个点解析，则称()f z在区域 D 内解析，或者称()f z是区域 D 内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）。2.奇点的定义 如果

9、函数()f z在0z处不解析，那么称0z为()f z的奇点。说明：根据定义可知：函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。但是函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念。即函数在一点处可导不一定在该点处解析，函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多。例 3 研究函数2(),()2 f zzg zxyi和2()h zz的解析性。间的关系复变函数的求导法则函数解析性的判别重点为复变函数微分解函数它就具有非常好的性质在理论中也有广泛的应用解析函数是复变函在可导这个极限值称为在的导数记作也就是说对于任意给定的相应地有学习必备 欢迎下载（分析：由例 1 知，函数2()f zz在复平面内处处可导，因此

10、此函数在复平面内解析。由例 2 知，g(z)x2yi 在复平面内处处不可导，因此此函数在复平面内处处不解析。对函数2()h zz，先计算出hz，然后求极限，判断是否可导。）解：由本节例 1 和例 2 知，2()f zz在复平面内是解析的，()2 g zxyi在复平面内处处不解析。下面讨论2h(z)z的解析性 00()()h zzh zz 2200zzzz 0000()()+-=zz zzz zz00,zzzzz 0(1)0,z 000()()lim0.zh zzh zz 0(2)0,z 0000 (),zzyyk xxz 令沿直线趋于 zzxi yxi y 11yixyix11ikik 由于

11、k 的任意性，11zkizki不趋于一个确定的值，所以000()()limzh zzh zz 不存在。因此2h(z)z仅在0z 处可导，而在其他点都不可导，根据定义，他在复平面内处处不解析。例 4 研究函数1wz的解析性（分析：对于此函数，可直接求导，但要保证分母不为零。）解：因为1wz在复平面内除0z 处处可导，且2d1dwzz，所以 w 在复平面内除0z 外处处解析，0z 是它的奇点。定理（1）在区域 D内解析的两个函数()f z与()g z的和、差、积、商（除去分母为零的点）在 D 内解析。（2）设函数()hg z在 z 平面上的区域 D 内解析，函数()wf h在 h 平面上的区域G

12、内解析，如果对 D 内的每个点 z，函数()g z的对应值 h 都属于 G，那么复合函数()wf g z在 D 内解析。间的关系复变函数的求导法则函数解析性的判别重点为复变函数微分解函数它就具有非常好的性质在理论中也有广泛的应用解析函数是复变函在可导这个极限值称为在的导数记作也就是说对于任意给定的相应地有学习必备 欢迎下载 以上定理的证明，可利用求导法则.根据定理可知:（1）所有多项式在复平面内是处处解析的。（2）任何一个有理分式函数()()P zQ z在不含分母为零的点的区域内是解析的，使分母为零的点是它的奇点。（可续页）间的关系复变函数的求导法则函数解析性的判别重点为复变函数微分解函数它就

13、具有非常好的性质在理论中也有广泛的应用解析函数是复变函在可导这个极限值称为在的导数记作也就是说对于任意给定的相应地有学习必备 欢迎下载 本 讲 小 结 本节讲了导数、微分、解析的概念和三者之间的关系。解析函数的概念为本节重点。其中，例 1 和例 2 加深了对导数定义的理解，且例 2 又能说明可导与连续的关系。例 3 和例 4 可以加深对解析定义的理解。思 考 题 及 作 业 题 思考题 复变函数()f z在点0z可导与在0z解析有无区别？作业题：p66 页 1（2），2（1）(3)，3（2）(3)，4 课 后 预 习 要 点 1柯西黎曼方程 2函数在区域 D内解析的充要条件。间的关系复变函数的求导法则函数解析性的判别重点为复变函数微分解函数它就具有非常好的性质在理论中也有广泛的应用解析函数是复变函在可导这个极限值称为在的导数记作也就是说对于任意给定的相应地有