2023年由递推公式求通项的方法大全.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 由递推式求数列通项法专题 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型 1 递推公式为)(1nfaann 累加法(逐差相加法)例.已知数列na满足211a，nnaann211，求na。312nan 类型 2（1）递推公式为nnanfa)(1 累乘法(逐商相乘法)例：已知数列na满足321a，nnanna11，求na。23nan 练习:已知31a，nnanna23131)1(n，求na。na631n 类型 3 递推公式为qpaann 1（其中 p，q 均为常数，)0)1(ppq）。转化法

2、例：已知数列na中，11a，321nnaa，求na.321nna 练习：（1）数列an满足a1=1，an=21a1n+1（n2），求数列an的通项公式。an=2（21）1n（2）数列an 满足a1=1，0731nnaa,求数列an 的通项公式。1731()443nna 类型 4 递推式为11nnnqpaa（p、q 为常数）可同除1nq，再转化为类型 3 例已知数列na满足11a，123nnnaa)2(n，求na 2123nnna 练习：已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。113()2()23nnna 类型 5 递推式为11()nnnmaak ab 例：1,13111a

3、aaannn，求na 132nan 类型 6 递推式为nnnqapaa12 待定系数法与分解系数法 设)(112nnnnkaahkaa，比较系数得qhkpkh,，可解得kh,。学习必备 欢迎下载 例、数列na满足23,5,21221nnaaaana=0，求数列an 的通项公式。1231nna（已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN （I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；例.已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。1)31(4347nna 解：由nnnaaa313212可转化为)(112nnnnsaatsaa 即n

4、nnstaatsa12)(3132stts311ts或131ts 这里不妨选用311ts（当然也可选用131ts 试一试），则 例、数 列na中，nnnaaaaa122123,2,1，求 数 列na的 通 项 公 式。1731()443n 若本题中取1,31hk，则有nnnnaaaa3131112即得311nnaa为常数列,nnaa311 131nnaa1231aa 37312 例：已知数列na满足),0(0253,1221Nnnaaabaaannn，求数列na的通项公式。)(32112nnnnaaaa则数列nnaa 1是以ab为首项，32为公比的等比数列 类型 7 11knnapa 例设正项

5、数列na满足11a，212nnaa（n2）.求数列na的通项公式.1212nna 类型 8 递推式：nfpaann 1 法一：待定系数法；法二：两递推式相减 列满足求类型递推公式为累乘法逐商相乘法例已知数列满足求练习已知中为常数可同除再转化为类型求求类型递推式为例求类型递推式为待定解由可转化为即或这里不妨选用当然也可选用试一试则例数列中求数列学习必备 欢迎下载 例na满足11a，1231naann，求数列na的通项公式。,1)1(2321naann（3n）两式相减得2)(3211nnnnaaaa转化为qpbbnn 1求之.类型 9 归纳、猜想、证明 例 9：在数列na中，1,2211naaaa

6、nn，求na的表达式。5,4,3432aaa 1nan 数学归纳法证明之 已知1a和递推式，直接逐项求出2a 3a 4a。通过观察发现规律，求出na 已知形如)(nfSn 采取手段利用：1nnnSSa注意检验：11Sa 已知形如)(nnafS 采取手段利用：)(11nnafS再用1nnnSSa 已知形如)(1nfaann 采取手段是)1(12faa)2(23faa。的逐差累加法已知形如)(1nfaann，采取手段是322111nnnnnnnaaaaaaa的逐商累乘法 已知形如cqaann 1（q,c 为常数）采取手段是：构造以q 为公比的等比数列，利用待定系数法 已知式中含有1nnaa或1nn

7、ss采取手段等式左右同除1nnaa或1nnss，构造等差数列已知式中形如:11,(,)nnnBaaA aA B C DCaD为常数,且 BC)求数列的通项公式时,用左右同取倒数法。已知式中含有nnndacaa12，可变形为)(112nnnnpaaqpaa的待定系数法，其中,cpq ,dpq，构造等比数列。已知式中含有)(1nfkaann（K 为常数）如果()f n是指数式则 的处理手段是：同除1nk 如()f n是线性式则可对照待定系数法，设1(1)2()nnak npaknp 列满足求类型递推公式为累乘法逐商相乘法例已知数列满足求练习已知中为常数可同除再转化为类型求求类型递推式为例求类型递推

8、式为待定解由可转化为即或这里不妨选用当然也可选用试一试则例数列中求数列学习必备 欢迎下载 求通项练习:（1）已知数列na中，首项111,2nnaaan，求通项：（13 21nnan ）（2）已知数列na中，首项111,22nnnaaa，求通项：（12nnan）1、已知数列na中，111,1nnnaaana，求通项na 2 已知数列na的前n项和为ns，且满足114,22(2)nnaasnn，求 na的表达式。3 数列na满足123,2,2aa且n2时113210nnnsss，求通项na 4 数列na中，若1nnsna，求通项na 5 数列na中，na0,且22na=2ns，求通项na 6 已知

9、数列na中，19,a 且满足136.3nnnaa,求通项na 7 已知函数()22,xxf x且数列na满足2(log)2nfan，求通项na 8 数列na满足1234234.(1)(2)naaaanan nn，求通项na 9 数列na中，已知10a，132nnnaa，求通项na 10 数列na中，已知156a，111132nnnaa ，求na 11 数列na中，已知11a，且1294nnnaaa，求通项na 12 数列na中,2142nnnsa，求通项na 答案：（1）222nann （2）322nna （3）221nna （4）1(1)nan n 列满足求类型递推公式为累乘法逐商相乘法例已

10、知数列满足求练习已知中为常数可同除再转化为类型求求类型递推式为例求类型递推式为待定解由可转化为即或这里不妨选用当然也可选用试一试则例数列中求数列学习必备 欢迎下载（5）42nan（6）(21)3nnan（7）21nann （8）33nan（9）112(32)nnna （10）11116()()23nnna（11）6521nnan(观察法与特征根法)（12）12nnna 13.已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。1)31(4347nna 解：由nnnaaa313212可转化为)(112nnnnsaatsaa 14.在数列an中，a1=2，且an+1=212na，求an的通项公式 an=1231nan+121=21（an21）列满足求类型递推公式为累乘法逐商相乘法例已知数列满足求练习已知中为常数可同除再转化为类型求求类型递推式为例求类型递推式为待定解由可转化为即或这里不妨选用当然也可选用试一试则例数列中求数列