2023年导数系列一类以自然指数对数为背景的导数压轴题解法学生版.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 一类以自然指数和对数为背景的压轴题解法 注:本文以目前数学成绩在一本线上下的学子的数学水准，进行展开讲解。根据“遗传学规律”明年全国乙卷再次考到的可能性极大，打出来给学生将保准学生横扫此类压轴题！源于课本：1-1课本 99 页 B组 1 题或课本 2-2第 32 页 B组 1 题的习题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：xex 1；【探究拓展】探究 1：证明不等式xex 1*变式 1：设axexfx)(，其中,Ra 若对于任意Rx，0)(xf恒成立，则参数a的取值范围是_ 1a 变式 2：设1)(axexfx，其中Ra，若对于任意Rx，0)(xf恒成

2、立，则参数a的取值范围是_ 1a 变式 3：设1)(xaexfx，其中Ra，若对于任意Rx，0)(xf恒成立，则参数a的取值范围是_ 1a 点评：太巧了：增之一分则太肥，减之一分则太瘦.探究 2：不等式xex 1*有哪些等价变形并在坐标系中画图？变形 1：xex1 变形 2：111xexx 变形 3：)1()1ln(xxx 变形 4：)0(1lnxxx*变形 5：)0(11lnxxx 变形 6：)0(11lnxxx 归一：我们只要通过画图并记住xex 1*,)0(1lnxxx*即可，考试出现了其它变形换元转化为这 2 个不等式即可。学习必备 欢迎下载 探究 3：观察：“插中”不等式（当然是我编

3、的名字）变形 4：)0(1lnxxx*变形 6：)0(11lnxxx*两式相加除以 2，的大小并证明：还是右边试比较：左边)1(21lnxxx 结论：“插中”不等式*:若01x，则11ln.2xxx；若1,x 则11ln;2xxx 请在坐标系中画出图像：这个图像很漂亮，容易记住。点评：数学很美，插中值不等式很明显是加强，更加精准了，在高考中经常考到，往后看.总结：xex 1*,)0(1lnxxx*“插中”不等式*，以上三式都是将自然指数和对数放缩为我们更加熟悉的一次函数或者反比例函数进行放缩处理。题型一：化归为指数型xex 1放缩 例 1、（20XX年全国）设函数 21xf xexax 。（1

4、）若0a，求 f x的单调区间；（2）若0 x 时 0f x，求a的取值范围。（提示：1xex）练习 1：（20XX年全国）已知函数 121 102xfxfefxx，（1）求 f x的解析式及单调区间；（2）若 21,2fxxaxb求 1ab的最大值。于课本课本页组题或课本第页组题的习题利用函数的单调性证明下列不其中若对于任意恒成立参数的取值范围是点评太巧了增之一分太肥减之式即可学习必备欢迎下载探究观察插中不等式当然是我编的名字变形变学习必备 欢迎下载 练习 2：（20XX年全国）已知函数 ln.xf xexm 当2m 时，证明 0.f x 提示：用xex 1,)0(1lnxxx两次放缩一眼看

5、出。练习 3：（20XX年广一模）已知函数 3,ln12x mf xex g xx。1）若曲线 yf x在点 0,0f处的切线斜率为 1，求实数 m的值。2）当1m 时，证明：3f xg xx。（20XX年广二模也有用到）提示：用xex 1,)0(1lnxxx两次放缩一眼看出。练习4：已知函数()1(0,)xf xeaxae为自然对数的底数.求函数()f x的最小值；若()f x0对任意的xR恒成立，求实数a的值；在的条件下，证明：121()()()()(*)1nnnnnnennnnne N其中.练习 5：已知函数()f x=axex，其中a0.（1）若对一切 xR，()f x1 恒成立，求a

6、的取值集合.（2）在函数()f x的图像上取定两点11(,()A xf x，22(,()B xf x12()xx，记直线AB 的斜率为K，问：是否存在x0（x1，x2），使0()fxk成立？若存在，求0 x的取值范围；若不存在，请说明理由.于课本课本页组题或课本第页组题的习题利用函数的单调性证明下列不其中若对于任意恒成立参数的取值范围是点评太巧了增之一分太肥减之式即可学习必备欢迎下载探究观察插中不等式当然是我编的名字变形变学习必备 欢迎下载 练习 6：（20XX年山东）已知函数 lnxxkfxe，曲线 yf x在点 1,1f处的切线与 x轴平行。1）求 k 的值；2）求 f x的单调区间；3）

7、设 2,g xxx fx其中 fx为 f x的导函数，证明：对任意20,(x)1 exg。（提示：对分母进行xex 1放缩，分子直接求值域即可）题型二：化归为对数型)0(1lnxxx放缩。例 2、（20XX年湖北）1）已知函数 ln1,0,.f xxxx 求函数的最大值；2）设,1,2,.,kka bkn均为正数，证明：若1 12212.nnna ba ba bbbb ，则1212.1nbbbna aa（提示：ln1xx）练习 1：（20XX年全国）函数 1 ln1f xxx，若对所有的1x 都有 f xax成立，求实数a的取值范围。练习 2：已知函数()(1)ln1f xxxx.（1）若2(

8、)1xfxxax，求a的取值范围；（2）证明：(1)()0 xf x.于课本课本页组题或课本第页组题的习题利用函数的单调性证明下列不其中若对于任意恒成立参数的取值范围是点评太巧了增之一分太肥减之式即可学习必备欢迎下载探究观察插中不等式当然是我编的名字变形变学习必备 欢迎下载 练习 3：（20XX年陕西）设函数 ln 1,0,f xxg xxfxx其中 fx是 f x的导函数。若 f xag x恒成立，求实数a的取值范围。练习4：（2011浙江理22,替换构造）已知函数()2 ln(1)(0)f xaxx a.求()f x的单调区间和极值；求证：(1)lglglg4lglg(1)23nnnnee

9、eeenn*()nN.练习5：已知函数.1)1()1ln()(xkxxf（1）求函数)(xf的极值点。（2）若0)(xf恒成立，试确定实数k的取值范围。（3）证明：)1,(6)1)(4(1ln154ln83ln32ln2nNnnnnn.于课本课本页组题或课本第页组题的习题利用函数的单调性证明下列不其中若对于任意恒成立参数的取值范围是点评太巧了增之一分太肥减之式即可学习必备欢迎下载探究观察插中不等式当然是我编的名字变形变学习必备 欢迎下载 练习6：已知函数()ln(1)(1)1.f xxk x 求函数()f x的单调区间；若()f x0恒成立，试确定实数k的取值范围；证明：当2x 时，ln(1)

10、2xx ；*1ln(1)(,1)14niin nnNni.题型三：化归为“插中”型放缩。若01x，则11ln.2xxx；若1,x 则11ln;2xxx 例3、（2010湖北）已知函数0bf xaxc ax（）（）的图象在点(1,(1)f处的切线方程为1yx.abc用 表示出、；()ln1)f xxa 若在，上恒成立，求 的取值范围；1111ln(1)(1)232(1)nnnnn 证明：.练习 1：已知()22(0)bf xaxa ax 的图像在点(1,(1)f处的切线与直线21yx平行.（1）求a，b满足的关系式；（2）若()2ln)f xx在1,+上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：11111(21)()3521221nnnnn 12)12ln(21nnn（nN*）当然，还有很多关于自然对数指数的放缩；但以上三种是高考中最容易考的也是最经典的，于课本课本页组题或课本第页组题的习题利用函数的单调性证明下列不其中若对于任意恒成立参数的取值范围是点评太巧了增之一分太肥减之式即可学习必备欢迎下载探究观察插中不等式当然是我编的名字变形变学习必备 欢迎下载 数形结合理解记忆很容易的。于课本课本页组题或课本第页组题的习题利用函数的单调性证明下列不其中若对于任意恒成立参数的取值范围是点评太巧了增之一分太肥减之式即可学习必备欢迎下载探究观察插中不等式当然是我编的名字变形变