2023年点到直线的距离精品讲义公开课.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 点到直线的距离教案 教学目标 （1）知识与技能：让学生至少掌握一种点到直线距离公式的推导方法，掌握点到直线的距离公式及其应用。（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；数形结合、综合应用知识分析问题解决问题的能力；探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。（3）情感态度与价值观：培养学生勤奋思考、勇于探索解决问题的能力。引导学生用联系与转化的观点看问题，在团队合作探索解决问题的过程中获得成功的体验。教学重点：点到直线的距离公式的推导及公式的应用 教学难点：点到直线的距离公式的推导 教学方法：启发引导法、讨论法 学习方法：任务驱动下的研究性学习 教学工具：计算

2、机多媒体、三角板 教学过程：一、创设情境、提出问题 多媒体显示实际的例子：如图,在铁路的附近,有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离。教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。二、师生互动、探究新知 教师：假定在直角坐标系上，已知一个定点 P（x0,y0）和一条定直线l：Ax+By+C=0，那么如何求点 P到直线l的距离d？请学生思考并回答。学生：先过点 P作直线l的垂线，垂足为 Q，则|PQ|的长度就是点 P到直线l的距离d，将点线距离转化为定点到垂足的距离。

3、接着，多媒体显示下列 2 道题(尝试性题组)，请 2 位学生上黑板练习（其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）(1)求 P（x0,y0）到直线l：By+C=0（B0）的距离d；（答案：0CdyB）仓库 铁路 学习必备 欢迎下载(2)求 P（x0,y0）到直线l：Ax+C=0（A0）的距离d；（答案：0CdxA）第（1）、（2）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论。教师：根据以上 2 题的运算结果，你能得到什么启示？学生：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，多媒体显示并板书：BCByBCyyyPQCBylAQ000,0:0时，当 AC

4、AxACxxxPQCAxlBQ000,0:0时，当 教师：当0AB时，那么，而当直线是倾斜位置时，0:CByAxl，此时直线含有多个字母则较难；,虽然有一些思路，但具体操作起来因计算量很大难以得出结果。点到直线的距离有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（1）、（2）的启示或者是以前学过的方法的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们分小组讨论 学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问 教师根据学生提出的方案，收集思路。思路一：利用定义 求垂线 PQ的方程（由 PQ l以及直线l的斜率可知垂线 PQ的斜率，点斜式）求交点 Q坐标（联立方程

5、组求解）两点间距离公式 上述方法虽然思路自然，但是会遇到一只拦路虎运算较为繁琐。l l O y x P(x0,y0)Q 解决问题的能力探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力情感态度与距离公式的推导及公式的应用教学难点点到直线的距离公式的推导教学大型仓库现要修建一公路与之连接起来那么怎样设计能使公路最短这个学习必备 欢迎下载（思路一）解：直线PQ：000,xxxxAByy，即00AyBxAyBx 由000CByAxAyBxAyBx，22002BAACAByxBxQ 2020yyxxdQQ 教师评价：此方法思路自然，但运算繁琐。如果没有小组想到另外一种思路，教师继续提出问题：根据以往求两点间距离公

6、式的图形构造方法，求线段长度可以构造图形吗？什么图形？如何构造？思路二：利用直角三角形等面积法 如图，设 A0，B0。引导过程：点 P的坐标的意义。过 P分别作 x 轴、y 轴的垂线。构成三角形，转化为求直角三角形高的问题。如果知道面积和底边，就可以求出高。现在 要求 RP、PS、SR的长度。两点间距离公式，转化问求 R、P、S 的坐标。多媒体显示、师生一起推导：（思路二）解：设00,yxP，QQyxQ,，0,yxRR，SyxS,0 00CByAxR，ACByxR0；00CByAxS，BCAxyS0 ACByAxxxRPR000 0022A AxByCAB2220000022QB xAByAC

7、A xB xxxAB00QByyxxA0022AxByCBAB 0022AxByCAB2200221ABAxByCAB解决问题的能力探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力情感态度与距离公式的推导及公式的应用教学难点点到直线的距离公式的推导教学大型仓库现要修建一公路与之连接起来那么怎样设计能使公路最短这个学习必备 欢迎下载 BCByAxyyPSS000 由PSPRRSPQ，RSPSPRPQ 而22PSRPRS222200BABACByAx 2200BAABCByAx 2200BACByAxPQ 思路三：将来可以为利用三角函数、不等式、向量等方法求解。各小组同学都运用了不同的解法，此类题解法灵活多

8、样，同学们要注意选择适当、最优的方法来解题，以便取得最佳效果。说明：学生只初略学习了三角函数、不等式、向量等未学。如果学生没有想到思路三，教师提示做课后思考作业题目。教师提问：上式是由条件下时当0AB得出，对时，或当00BA成立吗？（成立）1.当 A=0，B0 时，0:CByl 此时，直线为：BCy,直线为平行于x轴（或重合于x轴）的直线 则：2200000)(BACByAxBCByBCyBCyPSPQ 2.当 A0，B=0时，0:CAxl 此时，直线为：ACx，直线为平行于y轴（或重合于y轴）的直线 则：2200000)(BACByAxACAxACxACxPRPQ 点 P在直线l上成立吗？（

9、成立）公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？由此推导出点 P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0距离公式：解决问题的能力探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力情感态度与距离公式的推导及公式的应用教学难点点到直线的距离公式的推导教学大型仓库现要修建一公路与之连接起来那么怎样设计能使公路最短这个学习必备 欢迎下载 2200BACByAxd适用于任意点、任意直线。三、变式训练、学会应用 练习 1 (学生上台展示)1.求点 A（-2，3）到直线 3x+4y+3=0 的距离。2.求点 C（1，-2）到直线 4x+3y=0 的距离。3.点 P(-1,2)到直线 3x=2 的距离。4.点 P

10、(-1,2)到直线 3y=2 的距离。5.点 A(a,6)到直线 x+y+1=0 的距离为 4，求 a 的值。练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式。练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式。教师强调：直线方程的一般形式，点到直线的距离公式熟练掌握才能在解题时游刃有余。四、拓展延伸、升华提高 例 1:已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求 三角形的面积。解：设 AB边上的高为h，则hABSABC|21，22)31()13(|22AB,AB边上的高为h就是点 C到 AB的距离，AB边所在直线方程为:04 yx.点)0,1(C到直线04 yx的距离 2511|041

11、|22h.因此，5252221 ABCS.解决问题的能力探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力情感态度与距离公式的推导及公式的应用教学难点点到直线的距离公式的推导教学大型仓库现要修建一公路与之连接起来那么怎样设计能使公路最短这个学习必备 欢迎下载 五、当堂检测 2.6.22.10.04),(.2333.33.3.3.)(10433.1DCBAOPOyxyxPDCBAmyxlm）的最小值是（是原点，则上，在直线若点或等于，则的距离等于：）到直线，点（|六、学生小结、教师点评 1.知识：点到直线的距离公式的推导及其运用。2.思想方法 转化：将点线距离转化为定点到垂足的距离；等积法将其转化为直角三角形中三顶点的距。离数形结合、特殊到一般的思想方法。七、课外练习 巩固提高 课本习题 3.3A 组第 8,9 题；总结写出点到直线距离公式的多种方法。八、板书设计 3.3.3 点到直线的距离 1.两种特殊情况 当 A=0，B0 时，0:CByl 当 A0，B=0时，0:CAxl 2.一般情况 AB 0 时，0:CByAxl 思路一：按定义 思路二：等面积法 解决问题的能力探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力情感态度与距离公式的推导及公式的应用教学难点点到直线的距离公式的推导教学大型仓库现要修建一公路与之连接起来那么怎样设计能使公路最短这个