2023年实变函数试卷(最新版)库4及参考超详细解析答案.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 实变函数试题库及参考答案（4）本科 一、填空题 1.设,A B为两个集合,则_cABAB.2.设nER,如果E满足EE(其中E表示E的导集),则E是 3.若开区间(,)为直线上开集G的一个构成区间,则(,)满(i)）（ba,G(ii),aG bG 4.设A为无限集.则A的基数_Aa(其中a表示自然数集N的基数)5.设12,E E为可测集,2mE ,则1212()_m EEmEmE.6.设()nfx为可测集E上的可测函数列,且()(),nfxf x xE,则由_定理可知得,存在()nfx的子列()knfx,使得.()()()ka enfxf xxE.7.设()f x为可测集E

2、(nR)上的可测函数,则()f x在E上的L积分值 存在且|()|f x在E上 L可积.（填“一定”“不一定”）8.若()f x是,a b上的绝对连续函数,则()f x是,a b上的有 二、选择题 1设,0 01Exx，则（）A 1mE B 0mE C E是2R中闭集 D E是2R中完备集 2设 f x，g x是E上的可测函数，则（）A、E x f xg x不一定是可测集 B、E x f xg x是可测集 精品资料 欢迎下载 C、E x f xg x是不可测集 D、E x f xg x不一定是可测集 3下列集合关系成立的是（）A、()A BBAB B、()A BBA C、()B AAA D、B

3、 AA 4.若 nER是开集，则 （）A、E的导集E B、E的开核E C、EE D、E的导集E 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1设 f x是,a b上有界函数，且L可积，则（）A f x在,a b上黎曼可积 B f x在,a b上可测 C f x在,a b上几乎处处连续 D f x在,a b上不一定连续 2.设0,1E 中的无理点,则()A、E是可数集 B、E是闭集 C、E中的每个点均是聚点 D、0mE 3.若E(R)至少有一个内点，则（）A、*m E可以等于 B、*0m E C、E可能是可数集 D、E不可能是可数集 4设,Ea b是可测集，则E的特征函数()Ex是（）A、,a

4、 b上的符号函数 C、E上的连续函数 B、,a b上的可测函数 D、,a b上的连续函数 四、判断题 1.零测集上的函数是可测函数.（）载是不可测集不一定是可测集下列集合关系成立的是精品资料欢迎下载的可测函数且则设是上可积函数则在上也是可积的精品资料欢迎下载设选题四判断题五定义题答由若当分解定理有界变差函数可表示成两个单精品资料 欢迎下载 2.可列个闭集的并集仍为闭集 （）3.任何无限集均含有一个可列子集 （）4.设E为可测集，则一定存在G集G，使EG，且0m G E.（）五、定义题 1.为什么说有界变差函数几乎处处可微？2.简述无穷多个开集的交集是否必为开集？3.可测集E上的可测函数与简单函

5、数有什么关系？4.,a b上的有界变差函数与单调函数有什么关系？六、计算题 7.设 3sin0,1 xxPfxxxP，P为康托集，求 0,1f x dx.载是不可测集不一定是可测集下列集合关系成立的是精品资料欢迎下载的可测函数且则设是上可积函数则在上也是可积的精品资料欢迎下载设选题四判断题五定义题答由若当分解定理有界变差函数可表示成两个单精品资料 欢迎下载 8.求 0,lnlimcosxnnxnexdxn.载是不可测集不一定是可测集下列集合关系成立的是精品资料欢迎下载的可测函数且则设是上可积函数则在上也是可积的精品资料欢迎下载设选题四判断题五定义题答由若当分解定理有界变差函数可表示成两个单精品

6、资料 欢迎下载 七、证明题 1设(),(),(),()nnfx gxf xg x是E上几乎处处有限的可测函数，且()()nfxf x，()()ngxg x，则()()()()nnfxgxf xg x 2设(),()f x g x是E上L可积函数，则22()()fxgx在E上也是L可积的 载是不可测集不一定是可测集下列集合关系成立的是精品资料欢迎下载的可测函数且则设是上可积函数则在上也是可积的精品资料欢迎下载设选题四判断题五定义题答由若当分解定理有界变差函数可表示成两个单精品资料 欢迎下载 3设()f x是可测集E上的非负可测函数，如果()0Ef x dx，则()0.f xa e于E 4证明等式

7、：()()()ABCA BA C 载是不可测集不一定是可测集下列集合关系成立的是精品资料欢迎下载的可测函数且则设是上可积函数则在上也是可积的精品资料欢迎下载设选题四判断题五定义题答由若当分解定理有界变差函数可表示成两个单精品资料 欢迎下载 实变函数试题库及参考答案（4）本科 一、填空题 1.等于 2.闭集.3.(a,b)G 4.5.6.黎斯 7.不一定 不一定 8.界变差函数.二、单选题 1.B 2.B 3.A 4.B 三、多选题 1.BD 2.CD 3.BD 4.ABC 四、判断题 五、定义题 1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变

8、差函数几乎处处可微.2.答：不一定，如 1111,11,1nnn 3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.六、解答题 1.解：因为0mP，所以,.f xx a e于0,1 载是不可测集不一定是可测集下列集合关系成立的是精品资料欢迎下载的可测函数且则设是上可积函数则在上也是可积的精品资料欢迎下载设选题四判断题五定义题答由若当分解定理有界变差函数可表示成两个单精品资料 欢迎下载 于是 0,10,1fx dxxdx而x在0,1上连续，所以 212

9、1000,11|22xxdxRx dx 因此 0,112f x dx.2.解：令 0,lncosxnnxnfxxexn 显然 nfx在0,上可测，且 0,0,lncosxnnxnexdxfx dxn 因为 lnlncos,0,1,2,xnxnxnfxexxnnn 不难验证 lnnxngxn，当n足够大时，是单调递减非负函数，且 lim0nngx，所以 0,0,0,lnlimlimlimnnnnnxndxgx dxgxn0,00dx 由勒贝格控制收敛定理 0,lim0nnfx dx 故 0,lnlimcos0 xnnxnexdxn.七、证明题 1.证明 对任何正数0，由于|()()()()|()

10、()|()()|nnnnfxgxf xg xfxf xgxg x 载是不可测集不一定是可测集下列集合关系成立的是精品资料欢迎下载的可测函数且则设是上可积函数则在上也是可积的精品资料欢迎下载设选题四判断题五定义题答由若当分解定理有界变差函数可表示成两个单精品资料 欢迎下载 所以|()()()()|nnE xfxgxf xg x|()()|()()|22nnE xfxf xE x gxg x 于是|()()()()|nnmE xfxgxf xg x|()()|()()|22nnmE xfxf xmE x gxg x0()n 故()()()()nnfxgxf xg x 2.证明 因(),()f x

11、g x是E上L可积，所以|()|,|()|f xg x在E上L可积，从而|()|()|f xg xL可积，又222()()(|()|()|)|()|()|fxgxf xg xf xg x 故22()()fxgx在E上L可积 3.证明 反证，令|()0AE x f x，则由()f x的可测性知，A是可测集.下证0mA，若不然，则0mA 由于11|()0|()nAE x f xE x f xn，所以存在1N，使 1|()0mE x f xdN 于是11|()|()111()()|()0EE x f xE x f xNNdf x dxf x dxdxmE x f xNNNN 因此()0Ef x dx，矛盾，故()0.f xa e于E 4.证明 ()()()()()()(cccccABCABCABCABACABAC 载是不可测集不一定是可测集下列集合关系成立的是精品资料欢迎下载的可测函数且则设是上可积函数则在上也是可积的精品资料欢迎下载设选题四判断题五定义题答由若当分解定理有界变差函数可表示成两个单精品资料 欢迎下载 载是不可测集不一定是可测集下列集合关系成立的是精品资料欢迎下载的可测函数且则设是上可积函数则在上也是可积的精品资料欢迎下载设选题四判断题五定义题答由若当分解定理有界变差函数可表示成两个单