2023年实变函数试卷(最新版)库参考超详细解析答案.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 实变函数试题库及参考答案（完整版）选择题 1,下列对象不能构成集合的是:（）A、全体自然数 B、0,1 之间的实数全体 C、0,1上的实函数全体 D、全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是:（）A、全体实数 B、全体整数 C、全体小个子 D、x：x1 3、下列对象不能构成集合的是:（）A、全体实数 B、全体整数 C、x：x1 D、全体胖子 4、下列对象不能构成集合的是:（）A、全体实数 B、全体整数 C、x：x1 D、全体瘦子 5、下列对象不能构成集合的是:（）A、全体小孩子 B、全体整数 C、x：x1 D、全体实数 6、下列对象不能构成集合的是:（）A、全体实数 B、全

2、体大人 C、x：x1 D、全体整数 7、设1:xxA,I 为全体实数,则AI=()A、(-1,1)B、(-1,0)C、(-,+)D、(1,+)精品资料 欢迎下载 8、设1111:ixixAi,Ni,则iiA1=()A、(-1,1)B、(-1,0)C、0,1 D、-1,1 9、设110:ixxAi,Ni,则iiA1=()A、(0,1)B、0,1 C、0,1 D、(0,+)10、设1211:ixixAi,Ni,则iiA1=()A、1,2 B、(1,2)C、(0,3)D、(1,2)11、设23:ixixAi,Ni,则iiA1=()A、(-1,1)B、0,1 C、D、0 12、设11:ixixAi,N

3、i,则iiA1=()A、(-1,1)B、0,1 C、D、0 13、设1212,012nAn,211,02nAn,Nn,则nnAlim()A、0,2 B、0,2 C、0,1 D、0,1 14、设1212,012nAn,211,02nAn,Nn,则nnAlim()A、0,2 B、0,2 C、0,1 D、0,1 全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 15、设),0(nAn,Nn,则nnAlim()A、B、0,n C、R D、(0,)1

4、6、设)1,0(nAn,Nn,则nnAlim()A、(0,1)B、(0,n1)C、0 D、17、设)1,0(12nAn,),0(2nAn,Nn,则nnAlim()A、B、(0,n1)C、(0,n)D、(0,)18、设)1,0(12nAn,),0(2nAn,Nn,则nnAlim()A、B、(0,n1)C、(0,n)D、(0,)19、设 A、B、C是三个集合,则 A-(A-B)=()A、B B、A C、AB D、AB 20、设 A、B、C是三个集合,则 A-(BC)=()A、(A-B)(A-C)B、(A-B)(A-C)C、AB D、AC 21、设 A、B、C是三个集合,则 A-(BC)=()A、(

5、A-B)(A-C)B、(A-B)(A-C)C、AB D、AC 22、设 A、B、S 是三个集合,且SA,SB,则)(BACs=()A、BCACss B、BCACss C、BACs D、BACs 23、设 A、B、S 是三个集合,且SA,SB,则)(BACs=()A、BCACss B、BCACss C、BACs D、BCAs 24、设 A、B、C是三个集合,则 A-(B-C)=()全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 A、AC-B

6、 B、A-B-C C、(A-B)(AC)D、C-(B-A)25、集合 E的全体内点所成的集合称为 E的()A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包 26、集合 E的全体聚点所成的集合称为 E的()A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包 27、集合 E的全体边界点和内点所成的集合是 E的()A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包 28、E-E 所成的集合是()A、开核 B、边界 C、外点 D、E 的全体孤立点 29、E的全体边界点所成的集合称为 E的()A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包 30、设点 P是集合 E的边界点,则()A、P是 E的聚点 B、P是 E的孤立点 C、P是 E的内点 D、

7、P 是CE的边界点 31、设)3,2()1,0(G,则下列那一个是 G的构成区间:()A、(0,1)B、(21,1)C、0,1 D、(0,2)32、设)1,0(1G,)2,21()0,1(2G 21GGG,则下列那一个是 G的构成区间:()A、(0,1)B、(0,2)C、(-1,21)D、(-1,2)33、设)4,0(1G,)4,3()1,0(2G 21GGG,则下列那一个是 G 的构全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 成区间

8、:()A、(0,1)B、(3,4)C、(0,4)D、(1,4)34、设)1,0(1G,)4,3()2,1(2G 21GGG,则下列那一个是 G的构成区间:()A、(0,1)B、(0,3)C、(0,4)D、(1,4)35、设)2,0(1G,)4,3()2,1(2G 21GGG,则下列那一个是 G 的构成区间:()A、(0,1)B、(0,2)C、(1,2)D、(1,4)36、设)2,1()1,0(1G,)23,21()0,1(2G 21GGG,则下列那一个是G的构成区间:()A、(21,23)B、(1,2)C、(0,1)D、(-1,0)37、若BA，则下列命题错误的是：()A、BA B、AB C、

9、BA D、BA 38、若CBA,则下列命题正确的是：（）A、CBA B、AB=C C、CBA D、A 的孤立点B 的孤立点=C 的孤立点 39、若CBA,则下列命题错误的是：（）A、CBA B、C AB C、CBA D、A 的孤立点B 的孤立点=C 的孤立点 40、设CA 是 A的余集，则下列命题正确的是：（）A、)()(CAAC B、)(CAA C、C(A)（CA）D、CAAC)(全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 41、设

10、 AB=C,则下列命题正确的是：（）A、CBA B、CBA C、ABC D、A 的孤立点B 的孤立点=C 的孤立点 42、(2-4-1-2)下列命题错误的是：（）A、A是闭集 B、A是闭集 C、A是闭集 D、A 是闭集 43、若 A 是闭集，B是开集，则 AB是：（）A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断 44、若 A 是开集，B是闭集，则 AB是：（）A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断 45、若nA是一开集列，则nnA1是：（）A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断 46、若nA是一开集列，则nnA1是：（）A、开集 B、闭集 C、既非开集

11、又非闭集 D、无法判断 47、若nA是一闭集列，则nnA1是：（）A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断 48、若nA是一闭集列，则nnA1是：（）A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断 49、若 1,0QE，则mE（）A、0 B、1 C、2 D、3 50、下述结论（）正确.全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 A、EmEm*B、EmEm*C、EmEm*D、EmEm*51、下列说法正确的是（）A、

12、xxf1)(在（0，1）有限 B、xxf1)(在)1,21(无界 C、0,1,0(,1)(xxxxf，在 0，1 有 限 D、0,1 1,0(,1)(xxxxf，在0，1 有界 52、函数列nnxxf)(在0，1 上（）于 0.A、a，e一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、基本上一致收敛 53、设E是0，1 中的不可测集，ExExxf 1,0,1,1)(则下列函数在0，1 上可测的是（）.A、)(xf B、)(xf C、|)(|xf D、)(xf 54、若)(xf可测，则它必是（）.A、连续函数 B、单调函数 C、简单函数 D、简单函数列的极限 55、若QE 1,0，则mE（）A、0 B、1

13、 C、2 D、3 56、下列说法不正确的是（）A、E的测度有限，则E必有界 B、E的测度无限，则E必无界 C、有界点集的测度有限 D、nR的测度无限 57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（）全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 A、xxftg)(在)4,0(无 界 B、2,)2,0,tg)(xxxxf在2,0有限 C、2,1)2,0,tg)(xxxxf在2,0有界 D、xxftg)(在)2,0(有限 58、函数列nnxxf)

14、21()(在0,2上（）于 0.A、收敛 B、一致收敛 C、基本上一致收敛 D、a.e.一致收敛 59、设ExxExxxf 1,0,)(其中E是0,1 的不可测集，则下列函数在0,1可测的是（）.A、|)(|xf B、)(xf C、)(xf D、)(xf 60、一个函数在其定义域中的（）点处都是连续的.A、边界点 B、内点 C、聚点 D、孤立点.61、0P是康托尔（cantor）集，则0mP（）A、0 B、1 C、2 D、3 62、设A是B的真子集，则（）A、BmAm*B、BmAm*C、BmAm*D、BmAm*63、下列说法正确的是（）A、xxfctg)(在)2,4(无 界 B、全体实数全体整

15、数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 0,2,0(ctg)(xxxxf在2,0有限 C、0,12,0(ctg)(xxxxf在2,0有界 D、xxfctg)(在)2,0(有限 64、函数列nnnxxf2)(在21,0上（）于 0.A、收敛 B、一致收敛、C、基本上一致收敛 D、a.e.一致收敛 65、设E是0,1上的不可测集，ExxExxxf 1,0)(22则下列函数在0,1可测的是（）.A、)(xf B、)(xf C、|)(|xf D、)(x

16、f 66、设E为可测集，则下列结论中正确的是（）A、若)(xfn在E上a,e收敛于一个a,e有限的可测函数)(xf，则)(xfn一致收敛于)(xf B、若)(xfn在E上a,e收敛于一个a,e有限的可测函数)(xf，则)(xfn基本上一致收敛于)(xf C、若)(xfn在E上a,e收敛于一个a,e有限的可测函数)(xf，则)(xfn)(xf D、若)(xfn在E上基本上一致收敛于)(xf，则)(xfna,e收敛于)(xf 67、G表示康托尔（cantor）集在0,1中的余集，则mG=（）A、0 B、1 C、2 D、3 68、设21,SS都可测，则21SS（）全体实数全体整数全体胖子下列对象不能

17、构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 A、可测 B、不可测 C、可能可测也可能不可测 D、以上都不对 69、下列说法正确的是（）A、xxfsec)(在)4,0(上无界 B、xxfsec)(在)4,0(上有限 C、2)2,0sec)(xxxxf在2,0上有限 D、21)2,0sec)(xxxxf在2,0上有界 70、函数列nnnxxf3)(在31,0上（）于 0 A、收敛 B、一致收敛 C、基本上一致收敛 D、a.e.一致收敛 71、设ExxExxxf 1,0,)(

18、33，其中 E是0,1 上的不可测集，则（）在0,1可测.A、)(xf、B、)(xf C、)(xf D、|)(|xf 72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（）A、它们是同一概念 B、a,e有限的可测函数是连续函数 C、a,e有限的可测函数是基本上连续的函数 D、a,e有限的可测函数是a,e连续的函数 73、)2,1()1,0(m()全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 A、1、B、2 C、3 D、4 74、A可测，B

19、是A的真子集，则（）A、mBmA B、BmmA*C、BmmA*D、以上都不对 75、下列说法正确的是（）A、21)(xxf在(0,1)有限、B、21)(xxf在 1,21无界 C、0,1,0(,1)(2xxxxf在0,1有限 D、1,1 1,0(,1)(2xxxxf在0,1有界 76、函数列xxfnnsin)(在2,0上（）于 0.A、收敛 B、基本上一致收敛 C、一致收敛 D、a.e.一致收敛 77、设ExxExxxf 1,0,)(22其中E是0,1 上的不可测集，则（）在0,1上是可测的.A、|)(|xf B、)(xf C、)(xf D、)(xf 78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确

20、的是（）A、简单函数一定是可测函数 B、简单函数列的极限是可测函数 C、简单函数与可测函数是同一概念 D、简单函数列的极限与可测函数是同一概念 79、3,2()1,1m（）A、1 B、2 C、3 D、4 80、L可测集类，对运算（）不封闭.全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 A、可数和 B、有限交 C、单调集列的极限 D、任意和.81、下列说法正确的是（）A、31)(xxf在)1,21(无界 B、31)(xxf在)1,0(有限

21、 C、0 1,0(1)(3xxxxf在0,1 有限 D、01 1,0(1)(3xxxxf在0,1有界 82、函数列xxfnncos)(在2,0上（）于 0.A、基本一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、a.e.一致收敛 83、设E是2,0中的不可测集，ExxExxxf2,0,sin,sin)(则下列函数在2,0上可测的是（）.A、)(xf B、|)(|xf C、)(xf D、)(xf 84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（）A、依测度收敛不一定一致收敛 B、依测度收敛不一定收敛 C、若)(xfn在E上a.e.收敛于a.e.有限的可测函数)(xf，则)()(xfxfn D、若)()(xfx

22、fn，则存在子列)(xfina.e.收敛于)(xf 85、设)(xf是可测集E上的非负可测函数，则)(xf（）A、必可积 B、必几乎处处有限 C、必积分确定 D、不一定积分确定 全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 86、设)(xf在可测集E上可积，则在E上（）A、)(xf与)(xf只有一个可积 B、)(xf与)(xf皆可积 C、)(xf与)(xf不一定可积 D、)(xf与)(xf至少有一个不可积 87、设0mE（E），)(xf

23、是E上的实函数，则下面叙述正确的是（）A、)(xf在E上不一定可测 B、)(xf在E上可测但不一定可积 C、)(xf在E上可积且积分值为 0 D、)(xf在E上不可积 88、)(xf在可测集E上)(L可积的必要条件是，)(xf为（）A、连续函数 B、几乎处处连续函数 C、单调函数 D、几乎处处有限的可测函数 89、设)(xD为狄立克雷函数，则10)()(dxxDL（）A、0 B、1 C、1/2 D、不存在 90、设)(xf为 Cantor 集的特征函数，则10)()(dxxfL（）A、0 B、1/3 C、2/3 D、1 填空题 1、设 A为一集合，B是 A的所有子集构成的集合；若A=n,则B=

24、2、设 A为一集合，B是 A的所有子集构成的集合；若 A是一可数集,则B=3、若cA,cB,则BA 4、若cA,B 是一可数集,则BA 5、若cA,nB,则BA 6、若nA是一集合列,且cAn,nnA1 7、若IA是任意集族,其中 I 是指标集,则AI=全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 8、若IA是任意集族,其中 I 是指标集,则AI=9、若IA是任意集族,其中 I 是指标集,S 是一集合,则)(ACIS=10、若IA是任意

25、集族,其中 I 是指标集,S 是一集合,则)(ACIS=11、若nA是任意一个集合列,则nnAlim 12、若nA是任意一个集合列,则nnAlim 13、欧氏空间nR中,任意两点),(21nxxxx,),(21nyyyy的距离 d(x,y)=14、Ca,b空间中,任意两元素 x(t),y(t)的距离 d(x,y)=15、2l空间中,任意两元素),(21nxxxx,),(21nyyyy 的距离 d(x,y)=16、欧氏空间2R中,任意两点),(21xxx,),(21yyy 的距离 d(x,y)=17、欧氏空间3R中,任意两点),(321xxxx,),(321yyyy 的距离d(x,y)=18、欧

26、氏空间4R中,任意两点),(4321xxxxx,),(4321yyyyy 的距离d(x,y)=19、设2RX,1:),(22yxyxE,则E=20、设3RX,1:),(222zyxzyxE,则E=21、设2RX,1:),(22yxyxE,则E=22、设2RX,1:),(22yxyxE,则E=23、设3RX,1:),(222zyxzyxE,则 E=24、设3RX,1:),(222zyxzyxE,则E=25、设 A=0,1,B=3,4,则 d(A,B)=26、设 C是康托完备集,G=0,1C,则 d(C,G)=27、设 C是康托完备集,则 C的半径)(C=28、两个非空集合 A,B 距离的定义为

27、d(A,B)=29、一个非空集合 A的直径的定义为)(A=30、设 A=0,1 Q,则)(A=全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 31、nRE，对每一列覆盖E的开区间1iiEI，定义Em*_。32、设iS是一列递增的可测集合，则)lim(nnSm_。33、设)(xf是定义在可测集nRE 上的实函数，若Ra，有_，则称)(xf在E上可测。34、)()(xfxfn的定义为_。35、设A=“开集类”，B=“波雷尔集类”，C=“可测集

28、类”，D=“G型集类”。那么A，B，C，D的关系是_。36、I是区间，则mI=_ 37、a,b 上的连续函数及单调函数都是_。38、叶果洛夫定理反映了_与_的关系。39、设nRE，E有界，I为任一包含E的开区间，则Em*_ 40、)(*1iiAm1*iiAm称为测度的_ 41、可测集nRE 上的连续函数都是_。42、可测函数列的极限是_。43、若BA，则BmAm*，这称为外测度的_。44、若集合G能表示成_则称G为G集。45、实变函数中的函数连续性是数学分析中函数连续性的 _。46、几乎处处是与_有关的概念。47、设nRE，若对nRT 都有_则称E是L可测的。48、若集合F能表示成_则称F为F

29、集。49、E上的简单函数，指的是对E进行有限不变可测分解后，每一个可测子集上都取_的函数。50、鲁金定理反映了_与_的关系。51、设iS是一列递减可测集合，且k，kmE，则)lim(nnSm_。52、L可测集和波雷尔集相差一个 _。53、两个可测函数的四则运算（假定它们都有意义）结果_。54、函数列),(,0,0(,1)(nxnxxfn在),0(不一致收敛于1，且不_收敛全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 于 1。55、设)(

30、xf在可测集E上可积，则 fmE（）56、（叙述积分的绝对连续性）设)(xf在E上可积，则对任何可测集EA，有AmAdxxf)(lim0（）57、设0P为 Cantor集，则dxxP0sin（）58、设0P为 Cantor 集，则dxxP0cos（）59、设Q为有理数集，则dxeQx（）60、设N为自然数集，则dxxNln（）简答题 1、构造自然数全体到偶数全体的一一映射.2、构造(0,1)到 R的一一映射.3、构造(0,1)到 0,的一一映射.4、构造能被 3 整数整除的正整数到正整数全体的一一映射.5、构造(0,1)到(0,1)(2,3)的一一映射.6、构造奇数全体到偶数全体的一一映射.7

31、、（请说明：在),0(E上的函数列nxxxfn)(，,2,1n，不测度收敛于xxf)(8、请叙述 L测度的可列可加性。9、若)(xf在可测集E上可测，则Rc，)(xcf在E上也可测。10、请指出L可测集和F集的关系。全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 11、用可测函数的定义说明狄里克雷函数CQxQxxD 1,0,0 1,0,1)(在0,1可测。12、从基数的角度请举出三种零测集的例子。计算题 1、设为无理数时当为有理数时当xx

32、xxfx,)(1，计算 1,0)(dxxf。2、设为无理数时当为有理数时当xexexfxx,)(2，计算 1,0)(dxxf。3、设为无理数时当为有理数时当xxxxxf,sin,cos)(，计算 1,0)(dxxf。4、设0P为 Cantor 集，时当时当002 1,0,)(PxxPxxxf，计算 1,0)(dxxf。5、设0P为 Cantor 集，时当时当00 1,0,)(2PxePxexfxx，计算 1,0)(dxxf。6、设0P为 Cantor 集，时当时当00 1,0,sin,cos)(PxxPxxxf，计算 1,0)(dxxf。7、求1051sin)(lim22nxdxRxnnxn。

33、8、求101sin)(lim222/1nxdxRxnnxn。9、求1021cos)(lim22nxdxRxnnxn。10、求101cos)(lim223/2nxdxRxnnxn。11、求1021)cos(sin)(lim242dxnxnxRxnxnn。全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 12、求101242/33)(limdxRxnxnn。判断题 1、0,1=1,0 ()理由：2、任意两个集合 A、B,都有BA,或 AB ()

34、理由：3、任意集合都有子集。（）理由：4、aa （）理由：5、=()理由：6、=0 ()理由：7、若一个点不是 E的聚点,则必然也不是 E的内点.()理由：8、E 的外点全体和 E的余集是相同的.()理由：9、E的内点必然属于 E.()理由：10、E的孤立点必然属于 E ()理由：全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 11、E的边界点一定不属于 E ()理由：12、E的聚点必然属于 E ()理由：13、若FE 可测，则E和F都可

35、测。（）理由：14、若)()(xgxf，a.e.于E，)(xf在可测集E上可测，则)(xg也在E上可测（）。理由：15、两个集合的基数相等，则它们的外测度相等。（）理由：16、若)(xf在可测集E上可测，则)(fE也可测。（）理由：17、若mE，且ffn，)()(limxfxfnn a,e于E（）理由：18、设21,SS都可测，则21SS 也可测，且2121)(mSmSSSm。（）理由：19、若)(xf在可测集E上可测，则)(xf在 E的任意可测子集上也可测（）。理由：20、无限集的外测度一定不为零。（）理由：21、若)(xf在可测集 E上可测，则)(xf在 E的任意子集上可测（）全体实数全体

36、整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 理由：22、若可测集A是可测集B的子集，且mAmB，则0)(ABm（）理由：23、若)(,rfEQr都可测，则f在可测集E上也可测（）理由：24、若 E可测，A可测，且0)(EAm ，则)(AEmmE。（）理由：证明题 1、任意无穷集合包含一可数子集.2、若 A是一个可数集合,B 是一个有限集合,则BA是可数集.3、若 A和 B都是可数集合,则BA是可数集.4、有理数全体成一可数集。5、证明由直线上互不

37、相交的开区间作为集A的元素，则 A至多为可数集。6、空间2R中,ZyZxyx,:),(是一个可数集合.7、证明：集合E可测的充要条件是对于任意EA，CEB，总有BmAmBAm*)(*8、设)(xf是,baE 上a.e.有限的可测函数，则对于任何0及0，存在连续函数)(xg，使)|(gfEm 9、证明：对nRE，E可测的充要条件是CE可测。10、设函数列)(xfn在E上依测度收敛于)(xf，且)()(xgxfn，a.e.于E，n=1,2,，则)()(xgxf在 E上a.e.成立。全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则

38、设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 11、证明：可数点集的外测度为零。12、（设函数列)(xfn在有界集E上基本上一致收敛于)(xf，证明)(xfn在E上a.e.收敛于)(xf 13、设nSSS,21是n个互不相交的可测集合，iiSE，ni,2,1。证明：nnEmEmEmEEEm*)(*2121 14、证明：若ffn，gfn，则gf 在E上a.e.成立。15、若0*Em，则E可测。16、设),0(E，)1()(nxnxfn，,2,1n，xxf1)(，试 证)()(xfxfn。17、设A可测，B为任意集合，证明：BmmABAmBAm*)(*)(

39、*18、设xxfnnxxfEn)(,2,1,1)(),0(，证明：)()(xfxfn 19、设)(xf是 1,0E上的可积函数，则0limnfmEn 20、设mE，)(xf是E上的有界可积函数，则对任何可测集EA，有AmAdxxf0)(lim0 21、设由 1,0中取出n个可测子集nEEE,21，假定 1,0中任一点至少属于这n个集中的q个，试证必有一集，它的测度大于或等于nq/。22、试从10,)()1(3211xxxxx，求证：41312112ln。23、设)(xfn 为E上的可积函数列，)()(xfxfn a.e.于E，且EnKdxxf)(，K为常数，则)(xf可积。24、设)(xf在E

40、上)(L可积，0)(xf且Edxxf0)(，则0)(xf a.e.于全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 E。实变函数试题题库参考答案 一、选择题 1、D 2、C 3、D 4、D 5、A 6、B 7、C 8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31

41、、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A 二、

42、填空题 1、n2 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、x:对于任意的I,有Ax；8、x:存在I,使得Ax；9、ACsI；10、ACsI；11、nknkA1；12、nknkA1；13、211)(nkkx；14、|)()(|sup,tytxbax；15、2112)(kkkyx；16、21222211)()(yxyx；17、21233222211)()()(yxyxyx；18、全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载

43、21244233222211)()()()(yxyxyxyx；19、1:),(22yxyxE；20、1:),(222zyxzyx；21、1:),(22yxyx；22、1:),(22yxyx；23、1:),(222zyxzyx；24、1:),(222zyxzyx；25、2；26、0；27、1；28、),(inf,yxdByAx；29、),(sup,yxdAyAx；30、1；31、1|infiiI；32、nnmSlim；33、)(afE可测；34、0有1iiIE；35、CBDA；36、|x；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、)(*|EImI；40、次可数可加性；41、可测函数；42、

44、可测函数；43、单调性；44、1iiG（iG开）；45、推广；46、测度；47、)(*)(*CETmETmTm；48、1nnF，（nF闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、nnmSlim；52、零测集；53、可测函数；54、依测度；55、0；56、0；57、0；58、0；59、0；60、0 三、判断题 1、()理由:集合具有无序性 2、()理由:举一反例,比如:取 A=1,B=2 3、（）理由:空集是任意集合的子集.4、（）全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合

45、称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 理由:符号表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系.5、()理由:表示没有任何元素的集合,而表示单元素集合,这个元素是 6、()理由:表示没有任何元素的集合,而0 表示单元素集合,这个元素是 0 7、()理由:根据内点的定义,内点一定是聚点 8、()理由:举一反例,比如:E=(0,1),元素 1 不是 E 的外点,但却属于 E 的余集分 9、()理由:有内点的定义可得.10、()理由:有内点的定义可得.11、()理由:举例说明,比如:E=(0,1),元素 1 是 E的边界点,但属于 E.12、()理由:举一反例,比如:E=(0,1),元素 1

46、是 E的内点,但不属于 E 13、（）理由:因有若 1,0E，E不可测，而EE)1,0(可测 14、（）理由:因)()()(aggfEgfeagE 全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载)()(aggfEafgfE 两可测集的并可测。15、（）理由:因 C 2,0 1,0，但2 2,0,1 1,0 mm 16、（）理由:因 1)()(nnfEfE 分 17、（）理由:反例：1,0(E，nnnnnnjijjxjjxxf2,2,12,

47、21(,02,21(,1)()(把)(njf是按n后按j的顺序形成的函数列 18、（）理由:因2S的测度可能无限 19、（）理由:因若1E（可测）E，则11)()(EafEafE 20、（）理由:反例：自然数集外测度为零。21、（）理由:若1E是E的不可测集就不行。22、（）理由:反例：),0(),1(BA，1)(ABm 23、（）全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 理由:因Rc，存在单调下降趋于c的有理数列nr，则有 1)(

48、)(nnrfEcfE，故可测。24、（）理由:因mEEAmmEEAEmAEm)()()(四、简答题 1、答:令 f(2n)=2n f(2n1)2（n）其中 n=1,2,下面验证 f 是自然数全体到偶数全体的一一映射.（1）设 m自然数全体,n自然数全体且 f(m)=f(n)若 f(m)=f(n)0,则 m、n 为偶数，f(m)=f(n)=m=n 若 f(m)=f(n)0,则 m、n 为奇数，f(m)=f(n)=1m=1 n 即 m=n,故而 f 是单射。（2）对于任意的 m偶数全体 若 m=0,则有 f(1)=0;若 m0,则有 f(m)=m;若 mn 时则,21kcccBA，显然BA是可数集

49、.3、证明:令 C=A B,则有AC,故 C是可数集或有限集 若 C是有限集，显然.若 C是可数集，显然 BC，设,21ncccC，,21nbbbB。令nnba2，nnca 12，则 BACBaaan,21。而,21naaa显然是可数集。故而BA是可数集.4、证明：设,321iiiiA （,3,2,1i）,则iA是可数集，于是知全体正有理数1iiAQ成一可数集。因正负有理数成一一对应，故负有理数Q成一可数集。但全体有理数 0QQR，故有理数全体成一可数集。全体实数全体整数全体胖子下列对象不能构成集合的是全体实数全体整设则设则设则设则设则设则设则精品资料欢迎下载设则设则设则设则设界导集闭包集合的

50、全体聚点所成的集合称为的开核边界导集闭包集合的精品资料 欢迎下载 5、证明：在每个区间中取一有理数与这个区间对应，则不同的区间对应不同的有理数，故 A与有理数的子集对等。而有理数集是可列的，所以 A是至多可列的。6、证明：令:),(ZxnxAn 其中Zn，Z为整数集。显然nA是可数集,并且nnAZyZxyx,:),(。因为可数个可数集的并是可数集，故 ZyZxyx,:),(是可数集。7、证明：必要性，取BAT，则BCETAET,，从而 BmAmCETmETmTmBAm*)(*)(*)(*充分性，T，令CETBETA,，则CEBEA,，且TBA。因此)(*)(*)(*CETmETmBmAmBAm