2023年实变函数题库集超详细解析答案.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 实变函数试题库及参考答案 本科 一、题 1设,A B为集合，则A BBAB（用描述集合间关系的符号填写）2设A是B的子集，则AB （用描述集合间关系的符号填写）3如果E中聚点都属于E，则称E是闭集 4有限个开集的交是开集 5设1E、2E是可测集，则12m EE12mEmE（用描述集合间关系的符号填写）6设nE 是可数集，则*m E=0 7设 f x是定义在可测集E上的实函数，如果1a，E x f xa是可测集，则称 f x在E上可测 8可测函数列的上极限也是可测函数 9设 nfxf x，ngxg x，则 nnfxgx f xg x 10设 f x在E上L可积，则 f x在E

2、上可积 11设,A B为集合，则B AAA（用描述集合间关系的符号填写）12设211,2,Akk，则A=a（其中a表示自然数集N的基数）13设nE，如果E中没有不属于E，则称E是闭集 14任意个开集的并是开集 15设1E、2E是可测集，且12EE，则1mE2mE 16设E中只有孤立点，则*m E=0 17设 f x是定义在可测集E上的实函数，如果1a，E x f xa是可测，则称 f x在E上可测 18可测函数列的下极限也是可测函数 19设 nfxf x，ngxg x，则 nnfx gx f x g x 20设 nx是E上的单调增收敛于 f x的非负简单函数列，则 Ef x dx limnEn

3、x dx 21设,A B为集合，则A BBB 22设A为有理数集，则A=a（其中a表示自然数集N的基数）23设nE，如果E中的每个点都是内点，则称E是开集 24有限个闭集的交是闭集 25设nE，则*m E0 26设E是n中的区间，则*m E=E的体积 精品资料 欢迎下载 27设 f x是定义在可测集E上的实函数，如果1a，E x f xa是可测集，则称 f x在E上可测 28可测函数列的极限也是可测函数 29设 nfxf x，ngxg x.a e，则 nfx g x 30设 nfx是E上的非负可测函数列，且单调增收敛于 f x，由勒维定理，有 Ef x dx limnEnfx dx 31设,A

4、 B为集合，则B ABA=AB 32设A为无理数集，则A=c（其中c表示自然数集0,1的基数）33设nE，如果E中没有不是内点的点，则称E是开集 34任意个闭集的交是闭集 35设nE，称E是可测集，如果nT，*m Tm TE*cmTE 36设E是外测度为零的集合，且FE，则*m F=0 37设 f x是定义在可测集E上的实函数，如果1a，E x af xb是可测，（ab）则称 f x在E上可测 38可测函数列的上确界也是可测函数 39设 nfxf x，ngxg x.a e，则 nnfxgx f xg x 40设 nfxf x，那么由黎斯定理，nfx有子列 knfx，使 knfxf x.a e于

5、E 41.设,A B为两个集合,则_cABAB.（等于）42.设nER,如果E满足EE(其中E表示E的导集),则E是闭.43.若开区间(,)为直线上开集G的一个构成区间,则(,)满(i)(a,b)G(ii),aG bG 44.设A为无限集.则A的基数_Aa(其中a表示自然数集N的基数)答案：45.设12,E E为可测集,2mE ,则1212()_m EEmEmE.答案：46.设()f x是定义在可测集E上的实函数,若对任意实数a,都有()E xf xa是可测集E上的可测函数.47.设0 x是E(R)的内点,则*_ 0m E.答案 48.设()nfx为可测集E上的可测函数列,且()(),nfxf

6、 x xE,则由_黎斯_定理可知得,存在()nfx的子列()knfx,使得.()()()ka enfxf xxE.49.设()f x为可测集E(nR)上的可测函数,则()f x在E上的L积分值不一定存在且|()|f x在E上不一定L可积.50.若()f x是,a b上的绝对连续函数,则()f x是,a b上的有界变差函数.定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 51设,A B为集合，则_()ABB AA 答案=52设nER，如果E

7、满足0EE（其中0E表示E的内部），则E是开集 53设G为直线上的开集，若开区间(,)a b满足(,)a bG且,aG bG，则(,)a b必为G的构成区间 54设|2,Ax xn n为自然数，则A的基数=a(其中a表示自然数集N的基数)55设,A B为可测集，BA且mB ，则_()mAmBm A B 答案=56设()f x是可测集E上的可测函数，则对任意实数,()a b ab，都有()E xaf xb是可测集 57若()ER是可数集，则_0mE 答案=58设()nfx为可测集E上的可测函数列，()f x为E上的可测函数，如果.()()()a enfxf xxE，则()()nfxf x xE不

8、一定成立 59 设()f x为可测集()nER上的非负可测函数，则()f x在E上的L积分值一定存在 60若()f x是,a b上的有界变差函数，则()f x必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1设0,1E 中无理数，则（ACD）A E是不可数集 B E是闭集 C E中没有内点 D 1mE 2设nE 是无限集，则（AB）A E可以和自身的某个真子集对等 B Ea（a为自然数集的基数）C E D*0m E 3设 f x是E上的可测函数，则（ABD ）A 函数 f x在E上可测 B f x在E的可测子集上可测 C f x是有界的 D f x是简单函

9、数的极限 4设 f x是,a b上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC）A f x在,a b上可测 B f x在,a b上L可积 定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 C f x在,a b上几乎处处连续 D f x在,a b上几乎处处等于某个连续函数 5设nE，如果E至少有一个内点，则（BD）A*m E可以等于0 B*0m E C E可能是可数集 D E不可能是可数集 6设nE 是无限集，则（AB）A E含有可数子集 B E不一定

10、有聚点 C E含有内点 D E是无界的 7设 f x是E上的可测函数，则（BD）A 函数 f x在E上可测 B f x是非负简单函数列的极限 C f x是有界的 D f x在E的可测子集上可测 8设 f x是,a b上的连续函数，则（ABD）A f x在,a b上可测 B f x在,a b上L可积，且 ,baa bRf x dxLf x dx C f x在,a b上L可积，但 ,baa bRf x dxLf x dx D f x在,a b上有界 9设 D x是狄利克莱函数，即 10,100,1xD xx为中有理数为中无理数，则（BCD）A D x几乎处处等于1 B D x几乎处处等于0 C D

11、 x是非负可测函数 D D x是L可积函数 10设nE，*0m E，则（ABD）A E是可测集 B E的任何子集是可测集 C E是可数集 D E不一定是可数集 11设nE，10EcxExxE，则（AB）A 当E是可测集时，Ex是可测函数 B 当 Ex是可测函数时，E是可测集 C 当E是不可测集时，Ex可以是可测函数 定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 D 当 Ex是不是可测函数时，E不一定是可测集 12设 f x是,a b上的

12、连续函数，则（BD ）A f x在,a b上有界 B f x在,a b上可测 C f x在,a b上L可积 D f x在,a b上不一定L可积 13设 f x在可测集E上L可积，则（AC ）A fx，fx都是E上的非负可积函数 B fx和 fx有一个在E上的非负可积 C f x在E上L可积 D f x在E上不一定L可积 14设nE 是可测集，则（AD）A cE是可测集 B mE C E的子集是可测集 D E的可数子集是可测集 15设 nfxf x，则（CD）A nfx几乎处处收敛于 f x B nfx一致收敛于 f x C nfx有子列 nfx，使 nfxf x.a e于E D nfx可能几乎

13、处处收敛于 f x 16设 f x是,a b上有界函数，且L可积，则（BD ）A f x在,a b上黎曼可积 B f x在,a b上可测 C f x在,a b上几乎处处连续 D f x在,a b上不一定连续 17.设0,1E 中的无理点,则(CD)（A）E是可数集（B）E是闭集（C）E中的每个点均是聚点（D）0mE 定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 18.若E(R)至少有一个内点，则（BD）（A）*m E可以等于（B）*0m

14、 E （C）E可能是可数集（D）E不可能是可数集 19设,Ea b是可测集，则E的特征函数()Ex是（ABC）（A）,a b上的符号函数 （C）E上的连续函数（B）,a b上的可测函数 （D）,a b上的连续函数 20 设()f x是,a b上的单调函数，则（ACD）（A）()f x是,a b上的有界变差函数（B）()f x是,a b上的绝对连续函数 （C）()f x在,a b上几乎处处收敛 （D）()f x在,a b上几乎处处可导 21设0,1E 中的有理点，则（AC ）（A）E是可数集 （B）E是闭集（C）0mE （D）E中的每一点均为E的内点 22若()ER的外测度为 0，则（AB ）（

15、A）E是可测集 （B）0mE （C）E一定是可数集 （D）E一定不是可数集 23设mE ，()nfx为E上几乎处处有限的可测函数列，()f x为E上几乎处处有限的可测函数，如果()(),()nfxf xxE，则下列哪些结果不一定成立（ABCD ）（A）()Ef x dx存在 （B）()f x在E上L-可积（C）.()()()a enfxf xxE （D）lim()()nEEnfx dxf x dx 24若可测集E上的可测函数()f x在E上有L积分值，则（AD ）（A）()()fxL E与()()fxL E至少有一个成立（B）()()fxL E且()()fxL E （C）|()|f x在E上也

16、有L-积分值 （D）|()|()f xL E 三、单项选择 1下列集合关系成立的是（A）A B AA B A BA C A BBA D B AAB 2若nRE 是开集，则（B）定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 A EE B 0EE C EE D EE 4设 nfx是E上一列非负可测函数，则（B）A limlimnnEEnnfx dxfx dx B limlimnnEEnnfx dxfx dx C limlimnnEEnnfx

17、 dxfx dx D limlimnnEEnnfx dxfx 5下列集合关系成立的是（A）A ccAA B ccAA C ccAA D ccAA 6若nRE 是闭集，则（C）A EE B EE C EE D 0EE 7设E为无理数集，则（C）A E为闭集 B E是不可测集 C mE D 0mE 9下列集合关系成立的是（B）A ccAA B ccAA C ccAA D cccAA 10设nRE，则(A)A EE B EE C EE D EE 11设P为康托集，则（B）A P是可数集 B 0mP C P是不可数集 D P是开集 13下列集合关系成立的是（A）A 若AB则ccBA B 若AB则ccA

18、B C 若AB则ABB D 若AB则ABB 14设nRE，则（A）A EE B 0EE C EE D EE 15设,0 01Exx，则（B）A 1mE B 0mE C E是2R中闭集 D E是2R中完备集 定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 16设 f x，g x是E上的可测函数，则（B）A E x f xg x不一定是可测集 B E x f xg x是可测集 C E x f xg x是不可测集 D E x f xg x不一定

19、是可测集 7下列集合关系成立的是（A）（A）()A BBAB （B）()A BBA （C）()B AAA （D）B AA 18.若 nER是开集，则 （B ）（A）E的导集E （B）E的开核E（C）EE （D）E的导集E 19.设P的康托集，则(C)（A）P为可数集 （B）P为开集（C）0mP （D）1mP 20、设E是1R中的可测集，()x是E上的简单函数，则 （D）（A）()x是E上的连续函数 （B）()x是E上的单调函数（C）()x在E上一定不L可积 （D）()x是E上的可测函数 21下列集合关系成立的是（A ）（A）()()()ABCABAC （B）()A BA （C）()B AA （

20、D）ABAB 22.若 nER是闭集，则（B ）（A）0EE （B）EE（C）EE （D）EE 23.设Q的有理数集，则（C ）（A）0mQ （B）Q为闭集（C）0mQ （D）Q为不可测集 24.设E是nR中的可测集，()f x为E上的可测函数，若()0Ef x dx，则 （A ）（A）在E上，()f x不一定恒为零 （B）在E上，()0f x 定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载（C）在E上，()0f x （D）在E上，()0

21、f x 四、判断题 1.可数个闭集的并是闭集.（）2.可数个可测集的并是可测集.（）3.相等的集合是对等的.（）4.称 ,f xg x在E上几乎处处相等是指使 f xg x的x全体是可测集.（）5.可数个F集的交是F集.（）6.可数个可测函数的和使可测函数.（）7.对等的集合是相等的.()8.称 ,f xg x在E上几乎处处相等是指使 f xg x的x全体是零测集.（）9.可数个G集的并是G集.（）10.零测集上的函数是可测函数.（）11.对等的集合不一定相等.（）12.称 ,f xg x在E上几乎处处相等是指使 f xg x的x全体是零测集.（）13.可数个开集的交是开集 （）14.可测函数

22、不一定是连续函数.（）15.对等的集合有相同的基数.（）16.称 ,f xg x在E上几乎处处相等是指使 f xg x的x全体的测度大于0 （）17.可列个闭集的并集仍为闭集 （）18.任何无限集均含有一个可列子集 （）19.设E为可测集，则一定存在G集G，使EG，且0m G E.（）20.设E为零测集，f x为E上的实函数，则 f x不一定是E上的可测函数（）21.设 f x为可测集E上的非负可测函数，则 f xL E （）22.可列个开集的交集仍为开集 （）23.任何无限集均是可列集 （）24.设E为可测集，则一定存在F集F，使FE，且0m E F.（）25.设E为零测集，则 f x为E上

23、的可测函数的充要条件是：实数a都有()E xf xa 是可测集 （）26.设 f x为可测集E上的可测函数，则 Ef x dx一定存在.（）五、简答题 1.简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A，A的幂集2A的基数大于A的基数.2.简述点集的边界点，聚点和内点的关系.答:内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数

24、是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 3.简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限 4.,a b上单调函数与有界变差函数有什么关系？答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.5.简述集合对等的基本性质.答：AA；若AB，则BA；若AB，且BC，则AC.6.简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系.答：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成.7.可测集与开集、G集有什么关系？答：设E是可测集，则0，开集G，使GE，使m G E，

25、或 G集G，使GE，且0m G E.8.,a b上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系？答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数.9.简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.答：若ABB，又BAA，则AB 10.简述1R中开集的结构.答:设G为1R中开集，则G可表示成1R中至多可数个互不相交的开区间的并.11.可测集与闭集、F集有什么关系？答：设E是可测集，则0，闭集FE，使m E F或 F集FE，使0m E F.12.为什么说绝对连续函数几乎处处可微？答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调

26、函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.13.简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数.14.简述nR中开集的结构.答：nR中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并 15.可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？答：设 ,nfxf x是可测集E上的一列可测函数，那 当mE 时，,.nfxf xa e于E，必有 nfxf x.反之不成立，但不论mE 还是mE ，nfx存在子列 knfx，使 ,.knfxf xa e于E.当mE 时，,.nfxf xa e于E，由Egoro

27、ff定理可得 nfx近一致收敛于 f x，反之，无需条件mE ，结论也成立.16.为什么说有界变差函数几乎处处可微？答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.17.简述无穷多个开集的交集是否必为开集？定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 答：不一定，如 1111,11,1nnn 18.可测集E上的可测函数与简单函数有什么关系？答：简单函数必是可测函数但可测函

28、数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.19.,a b上的有界变差函数与单调函数有什么关系？答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.20.简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定 如 1111,11,1nnn 21.可测集E上的可测函数与连续函数有什么关系？答：E上连续函数必为可测函数但E上的可测函数不一定时连续函数，E上可测函数在E上是“基本上”连续的函数 22.,a b上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数 六、计算题 1.设 230,1

29、xxEfxxxE，其中E为0,1中有理数集，求 0,1f x dx.解：因为0mE，所以 3,.f xx a e于0,1，于是 30,10,1f x dxx dx，而3x在0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，41331000,11|44xx dxRx dx 因此 0,114f x dx.2.设nr为0,1中全体有理数，12121,00,1,nnnxr rrfxxr rr，求 0,1limnnfx dx.解：显然 nfx在0,1上可测，另外由 nfx定义知，0,.nfxa e于0,1 1n 所以 0,10,100nfx dxdx 因此 0,1lim0nnfx dx.3.设

30、 2sin0,1 xxPf xxxP，P为康托集，求 0,1fx dx.解：因为0mP，所以 2,.f xx a e于0,1 定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 于是 20,10,1f x dxx dx 而2x在0,1上连续，所以 31221000,11|33xx dxRx dx 因此 0,113f x dx.4.设 22sin,0,11nnxnxfxxn x，求 0,1limnnfx dx.解：因为 nfx在0,1上连续，所

31、以可测1,2,n 又 2222sin1,0,1,1,2,1122nnxnxnxnxfxxnn xn xnx 而22lim01nnxn x，所以 lim0nnfx.因此由有界控制收敛定理 0,10,10,1limlim00nnnnfx dxfx dxdx 5.设 3cos0,2xxEfxxxE，E为0,2中有理数集，求 0,2fx dx.解：因为0mE，所以 cos,.f xx a e于0,1 于是 0,0,22cosf x dxxdx 而cos x在0,2上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式 22000,1coscossin|1xdxRxdxx 因此 0,21fx dx 6.设 22cos,

32、0,11nnxnxfxxn x，求 0,1limnnfx dx.解：因为 nfx在0,1上连续，所以可测1,2,n 定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 又 2222cos1,0,1,1,2,1122nnxnxnxnxfxxnn xn xnx 而22lim01nnxn x，所以 lim0nnfx.因此由有界控制收敛定理 0,10,10,1limlim00nnnnfx dxfx dxdx 7.设 3sin0,1 xxPfxxxP，

33、P为康托集，求 0,1f x dx.解：因为0mP，所以,.f xx a e于0,1 于是 0,10,1fx dxxdx 而x在0,1上连续，所以 2121000,11|22xxdxRx dx 因此 0,112f x dx.8.求 0,lnlimcosxnnxnexdxn.解：令 0,lncosxnnxnfxxexn 显然 nfx在0,上可测，且 0,0,lncosxnnxnexdxfx dxn 因为 lnlncos,0,1,2,xnxnxnfxexxnnn 不难验证 lnnxngxn，当n足够大时，是单调递减非负函数，且 lim0nngx，所以 0,0,0,lnlimlimlimnnnnnx

34、ndxgx dxgxn0,00dx 由勒贝格控制收敛定理 定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 0,lim0nnfx dx 故 0,lnlimcos0 xnnxnexdxn.9.设 101001xD xx为，上的有理点为，上的无理点，求 0 1D x dx，.证明 记1E是0,1中有理数集，2E是0,1中无理数集，则 12120,1,EE EE，120,1mEmE，且 1210EED x，所以 120,1100D x dxmEm

35、E.10 求0lnlimcosxnxnexdxn.证明 易知lnlimcos0 xnxnexn 对任意0,1xn，lnlncosxxnxnexnn 设ln()xyf yy，0y，则2ln()yxyxyfyy，当3y 时，1lnyxyxy，()0fy.则ln()xnf nn是单调减函数且非负（3n）；又ln1limlim0nnxnnxn，由Levi单调收敛定理得 000lnlnlimlim00nnxnxndxdxdxnn，即ln()xnL En，再由Lebsgue控制收敛定理得 000lnlnlimcoslimcos00 xxnnxnxnexdxexdxdxnn 11.设 230,1xxPfxx

36、xP，其中P为康托集，求 0 1fx dx，.定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 解：因为P为康托集，故0mP，0,1 1mP 所以 320,1PPf xxx 所以 2330,10,1fx dxx mPx mPx 12.求 22,0,11nnxfxEn x，求 limnnEfx dx.解：易知：22lim00,11nnxxn x 令 2221,1nnxfxg xn xx，则 22232222222221110111nnxnxn

37、xn xnxg xfxnxnxxn xxxn xn x 所以 00,1,1nfxg xxn 又因为 g x在0,1上Lebesgue可积，所以由控制收敛定理，得 22lim001nEEnxdxdxn x 七、证明题 1证明集合等式：()A BBAB 证明()()cA BBABB()()()ccABABBABBBAB 2设E是0,1中的无理数集，则E是可测集，且1mE 证明 设F是0,1中的有理数集，则F是可数集，从而*0m F，因此F是可测集，从而cF可测，又0,1 0,1cEFF，故E是可测集.由于EF ，所以 10,1()0mm EFmEmFmF，故1mF 3设(),()f x g x是E

38、上的可测函数，则|()()E x f xg x是可测集 证明 设 nr为全体有理数所成之集，则 11|()()|()()|()|()nnnnnE x f xg xE x f xrg xE x f xrE x g xr 因为(),()f x g x是E上的可测函数，所以|()nE x f xr，|()nE x g xr是可测集，1,2,n，于是由可测定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 集性质知|()()E x f xg x是可测

39、集 4设()f x是E上的可测函数，则对任何常数0a，有1|()|()|EmE xf xaf x dxa 证明 因为()f x在E上可测，所以|()|f x在E上非负可测，由非负可测函数积分性质，|()|()|()|()|E x f xaE x f xaEadxf xdxf xdx 而|()|()|E x f xaadxa mE xf xa，所以 1|()|()|EmE xf xaf x dxa 5设()f x是E上的L可积函数，nE是E的一列可测子集，且lim0nnmE，则 lim()0nEnf x dx 证明 因为lim0nnmE，所以0,1N ，当nN时，nmE，又()f x在E上L可积

40、，所以由积分的绝对连续性，0,0,当,eE me时|()|ef x dx 于是当nN时，nmE，因此|()|nEf x dx，即lim()0nEnf x dx 6证明集合等式：()AA BAB 证明 ()()()(ccccccAABAABAABAAB ()()cAAABAB 7设12,A A是0,1的可测子集，且121mAmA，则12()0m AA 证明 因为120,1,0,1AA，所以120,1AA，于是12()0,11m AAm 另一方面，121122()AAAAAA，所以 12112211221122()()()()m AAmAAAAm AAAmAmAm AAmA 于是1212()()0

41、mAAmAmAmAA 8设()f x是定义在可测集nER上的实函数，nE为E的可测子集（1,2,n），且1nnEE，则()f x在E上可测的充要条件是()f x在每个nE上可测 证明 对任何实数a，因为 11|()|()(|()nnnnE x f xaE x f xaEE x f xa 所以()f x在E上可测的充要条件是对每个1,2,n，()f x在每个nE上可测 定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 9设()f x是E上的可

42、测函数，则对任何常数0a，有()|()af xEmE x f xaeedx 证 明 因 为()f x在E上 可 测，所 以()f xe是 非 负 可 测 函 数，于 是 由 非 负 可 测 函 数 积 分 性 质，()()|()|()af xf xE x f xaE x f xaEe dxedxedx 而|()|()aaE x f xae dxemE x f xa，所以 ()|()af xEmE x f xaeedx 10设()f x是E上的可积函数，nE为E的一列可测子集，mE ，如果limnnmEmE 则lim()()nEEnf x dxf x dx 证明 因()f x在E上L可积，由积分

43、的绝对连续性知，对任意0，存在0，对任何AE，当mA时有|()|Af x dx，由 于limnnmEmE，故 对 上 述 的0，存 在0k，当0nk时nEE，且 有()nnmEmEm EE，于是|()()|()|nnEEE Ef x dxf x dxf x dx，即 lim()()nEEnf x dxf x dx 11证明集合等式：()()()ABCA CB C 证明 ()()()()()(cccABCABCACBCA CBC 12设nER是零测集，则E的任何子集F是可测集，且0mF 证明 设FE，*0m E，由外测度的单调性和非负性，*00m FmE，所以 *0m F，于是由卡氏条件易知F是

44、可测集 13 设(),(),(),(nnfx gxf x g x是E上 几 乎 处 处 有 限 的 可 测 函 数，且()()nfxf x，()()ngxg x，则()()()()nnfxgxf xg x.证明 对任何正数0，由于|()()()()|()()|()()|nnnnfxgxf xg xfxf xgxg x 所以|()()()()|nnE xfxgxf xg x|()()|()()|22nnE xfxf xE x gxg x 于是|()()()()|nnmE xfxgxf xg x|()()|()()|22nnmE xfxf xmE x gxg x0()n 定理有设为集合则设为集合则

45、精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 故()()()()nnfxgxf xg x 14设(),()f x g x是E上L可积函数，则22()()fxgx在E上也是L可积的 证明 因(),()f x g x是E上L可积，所以|()|,|()|f xg x在E上L可积，从而|()|()|f xg xL可积，又222()()(|()|()|)|()|()|fxgxf xg xf xg x 故22()()fxgx在E上L可积 15设()f x是可测集E上的非负可

46、测函数，如果()0Ef x dx，则()0.f xa e于E 证明 反证，令|()0AE x f x，则由()f x的可测性知，A是可测集.下证0mA，若不然，则0mA 由于11|()0|()nAE x f xE x f xn，所以存在1N，使 1|()0mE x f xdN 于是11|()|()111()()|()0EE x f xE x f xNNdf x dxf x dxdxmE x f xNNNN 因此()0Ef x dx，矛盾，故()0.f xa e于E 16证明等式：()()()ABCA BA C 证明 ()()()()()()(cccccABCABCABCABACABA C 17

47、设nER是有界集，则*m E 定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载.证明 因为E是有界集，所以存在开区间I，使EI 由 外 测 度 的 单 调 性，*m Em I，而*|m II （其 中|I表 示 区 间I的 体 积），所 以 *m E 181R上的实值连续函数()f x是可测函数 证明 因为()f x连续，所以对任何实数a，|()x f xa是开集，而开集为可测集，因此()f x是可测函数 19设mE ，函数()f x在E上

48、有界可测，则()f x在E上L可积，从而,a b上的连续函数是L可积的 证明 因为()f x在E上有界可测，所以存在0M，使|()|f xM，xE，|()|f x是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，|()|EEf xdxMdxM mE 故|()|f x在E上L可积，从而()f x在E上L可积 因为,a b上的连续函数是有界可测函数，所以L可积的 20设()nfx（1,2,n）是E上的L可积函数，如果lim|()|0nnEnfx dx，则()0nfx 证明 对任何常数0，|()|()|()|nnnE x fxmE xfxfxdx 所以|()|1|()|()|nnnE x fxmE xfx

49、fxdx 1|()|0()nEfxdxn 因此 ()0nfx 21.证明集合等式：ABCA CB C.证明 cccABCABCACBCA CB C 22.设00,1E 中的有理点，则0E为可测集且00mE.证明 因为0E为可数集，记为012,nEr rr，0，取11,1,2,22nnnnnIrrn 显然 01nnEI，所以0011102nnnnnnEIm EI，让0，得00m E.nTR，由于00cTTETE 所以00cm TmTEmTE.定理有设为集合则设为集合则精品资料欢迎下载在上几乎处处连续在上点是无界的设是上的可测函数则函数在上可测是非负简单函数列的极限处等于是非负可测函数是可积函数设

50、则是可测集的任何子集是可测集是精品资料 欢迎下载 又00,0cTET m E，所以000ccm TmTEmTEmTE.故00cm TmTEmTE 故0E为可测集，且00mE 23.证明：1R上的实值连续函数 f x必为1R上的可测函数 证明 1,a bR，不妨假设ab，因为 f x是1R上的连续函数，故 f x是,a b上的连续函数，记,Fa b，由 f x在F上连续，则,M m mM，使 mf xM，则显然易证，1,R Ff 是闭集，即 f x为,a b上的可测函数，由,a b的任意性可知，f x是1R上的可测函数.24.设 f xL E，nE为E的一列可测子集，mE ，如果limnnmEm