2023年导数与函数的极值和最值问题.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 导数与函数的极值和最值 一 函数极值的定义 极大值：已知函数()yf x，设0 x是定义域内任意一点，如果对0 x附近的所有点x，都有0()()f xf x，()0fx，而且在0 xx附近的左侧()0fx，右侧()0fx，则称函数()f x在点0 x处取得极大值，并把0 x称为函数()f x的一个极大值点.极小值：已知函数()yf x，设0 x是定义域内任意一点，如果对0 x附近的所有点x，都有0()()f xf x，()0fx，而且在0 xx附近的左侧()0fx，右侧()0fx，则称函数()f x在点0 x处取得极小值，并把0 x称为函数()f x的一个极小值点.注：可导

2、函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是函数的极值点.求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域，求出导函数()fx.（2）求方程()0fx 的根.（3）根据极值的定义确定极大值和极小值.例 1 求函数31()443f xxx的极值.例 2 已知函数()2(1)lnf xfxx，则()f x的极大值为_ 例 3 函数23()(1)2f xx的极值点是 _.0 x 精品资料 欢迎下载 练习 1 若函数322()f xxaxbxa在1x 处取得极值10，则a _，b_.练习 2 已知函数()(sincos)xf xexx，若()(sincos)xf xexx，若02011x，则

3、()f x各极大值和为_.练习 3 设函数3221()2313f xxaxa x，求函数()f x的极值.二 极值与参数范围问题 例 1 已知函数3211()32f xxxcxd有极值，则实数c的取值范围为_.例 2 若函数21()ln12f xxx在其定义域内的一个子区间(1,1)aa内存在极值，则实数a的取值范围为 _.例 3 已知函数()(ln)f xxxax有两个极值点，则实数a的取值范围为_.定义域内任意一点如果对附近的所有点都有而且在附近的左侧右侧则称定义域求出导函数求方程的根根据极值的定义确定极大值和极小值例求值二极值与参数范围问题例已知函数有极值则实数的取值范围为例若函精品资料

4、 欢迎下载 例 1 已知()lnf xaxx，(1,)xe且()f x存在极值，则实数a的取值范围为_.例 2 已知()(ln)f xaxx，若函数图像在点(2,(2)f处切线倾斜角为4，且32()()2mg xxxfx在区间(2,3)上总存在极值，则实数m的取值范围为_ 练习 3 已知函数43219()42f xxxxcx有三个极值点，则实数c的取值范围为_.(27,5)例 4 设2()ln(1)f xxax有两个极值点，则实数a的取值范围为 _1(0,)2 定义域内任意一点如果对附近的所有点都有而且在附近的左侧右侧则称定义域求出导函数求方程的根根据极值的定义确定极大值和极小值例求值二极值与

5、参数范围问题例已知函数有极值则实数的取值范围为例若函精品资料 欢迎下载 三 函数最值（最大值和最小值）如何求函数在,a b上的最值：（1）求函数()yf x在(,)a b内的极值和端点值(),()f af b.（2）将函数()yf x的各极值与端点处的函数值(),()f af b比较，其中最大的一个是最大值，最小值的一个是最小值.例 1 已知函数3()128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m，则Mm _.32 练习 1 函数()lnf xxx在区间0,e上的最大值为_ 练习 2 已知函数2()(2)xf xxx e，2,)x，则()f x的最小值为_.四 函数最值相关的参

6、数范围的问题 例 1 已知()lnf xaxx，0,xe，当a=_时，()f x最小值为3 定义域内任意一点如果对附近的所有点都有而且在附近的左侧右侧则称定义域求出导函数求方程的根根据极值的定义确定极大值和极小值例求值二极值与参数范围问题例已知函数有极值则实数的取值范围为例若函精品资料 欢迎下载 例 2 已知函数3()(3)f xaxax在 1,1的最小值为3，则实数a的取值范围为_ 3,122 练习 1 若函数3212()33f xxx在区间(,5)a a 上存在最小值，则实数a的取值范围为_ 练习 2 若函数()lnaf xxxx ，若()f x有最值，则实数a的取值范围为_ 0,定义域内任意一点如果对附近的所有点都有而且在附近的左侧右侧则称定义域求出导函数求方程的根根据极值的定义确定极大值和极小值例求值二极值与参数范围问题例已知函数有极值则实数的取值范围为例若函