2023年直线参数方程的几何意义.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 一、参数方程及参数等的几何意义 若倾斜角为 的直线过点)(00yxM，t 为参数，则该直线的参数方程可写为 为参数，ttyytxxsincos00 若直线过点M，直线与圆锥曲线交于两点 P、Q，则|MP|、|MQ|的几何意义就是：|21tMQtMP，；|MP|+|MQ|的几何意义就是：|MQMP|t|t|21；|MP|MQ|的几何意义就是：|21ttMQMP；|PQ|的几何意义就是：2122121214)(|PQ|PQ|tttttttt，即.例 1：已知直线 l：01yx与抛物线2xy 交于BA，两点，求线段AB的长和点)2,1(M到BA,两点的距离之积。（1）如何写出直线

2、 l 的参数方程 解：因为直线 l 过定点M，且 l 的倾斜角为43，所以它的参数方程是 43sin243cos1tytx，（t为参数），即tytx222221，（t为参数）（2）如何求出交点 A，B 所对应的参数21tt，？把代入抛物线的方程，得 0222tt，222121t ttt，（3）|MBMAAB、与21tt，有什么关系？由参数方程的几何意义可得：104)(|2122121t tttttAB|MBMA=2|2|21 tt 精品资料 欢迎下载 二、求弦的中点坐标 若过点 M)(00yx，、倾斜角为 的直线 l 与圆锥曲线交于 A、B 两点，则弦的中点坐标公式为：2)sin()sin(2

3、2)cos()cos(2201021201021tytyyyytxtxxxx 或)(22)()(2)(22)()(2212022012021211021011021ttpytpytpyyyyttpxtpxtpxxxx，21pp，为常数，均不为零(其中 中点 M 的相应参数为 t，而221ttt，所以中点坐标也为：tpyytpxx2010 )若过点 M)(00yx，、倾斜角为 的直线 l 与圆锥曲线交于 A、B 两点，且 M 恰为弦AB 中点，则中点 M 的相应参数：221ttt=0 （因为tpyytpxx200100，而21pp，均不为 0，所以 t=0）例 2：直线 l)(542531为参数

4、，ttytx与双曲线1)2(22xy相交于 A、B 两点，求弦 AB中点 M 的坐标。解：把)(542531为参数，ttytx 直接代入1)2(22xy中，可得：1)531()54(22tt，即0503072 tt，则73021 tt，所以 M 的横坐标为：716791)730(21531-,点 M 的纵坐标为：727122)730(21542（注：这部分内容在演草纸上显示即可）所以中点 M 的坐标为)72716(，直线与抛物线交于两点求线段的长和点到两点的距离之积如何写出直线几何意义可得精品资料欢迎下载二求弦的中点坐标若过点倾斜角为的直弦中点则中点的相应参数因为而均不为所以例直线为参数与双曲

5、线相交精品资料 欢迎下载 三应用部分 例 3：经过点 M(2,1)作直线 l，交椭圆141622yx于 A，B 两点，如果点 M 恰好为线段 AB的中点，求直 l 的方程。解：设经过点 M(2,1)的直线 l 的参数方程为：)(,sin1cos2为参数，ttytx 代入椭圆方程，整理得：08)sin2(cos4)1sin3(22tt 由 t 的几何意义可知|B|21tMtMA，因为点 M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以1sin3)sin2(cos4221tt.因为点 M 为线段 AB 的中点，所以0sin2cos0221，即tt 于是直线 l 的斜率为21tank，因此，直线 l 的方程

6、是0421)2(21yxxy，即.例 4：已知经过点 P(2，0)，斜率为34的直线和抛物线xy22相交于 A，B 两点，设线段AB 的中点为 M，求点 M 的坐标.解：设过点 P(2，0)的直线 AB 的倾斜角为 ，由已知可得：54sin,53cos.所以，直线的参数方程为)(54532为参数，ttytx 代 入 抛 物 线xy22，整 理 得：05 01 582 tt，中 点 M的 相 应 参 数 为1615221ttt，所以点 M 的坐标是)43,1641(直线与抛物线交于两点求线段的长和点到两点的距离之积如何写出直线几何意义可得精品资料欢迎下载二求弦的中点坐标若过点倾斜角为的直弦中点则

7、中点的相应参数因为而均不为所以例直线为参数与双曲线相交精品资料 欢迎下载 例 5：已知直线 l：x+y-1=0 与抛物线2xy 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长和点 M(-1,2)到 A、B 两点的距离之积.解法一：解：由201xyyx可得：012 xx（*）由韦达定理可得：1-12121xxxx，10524)(k1|AB|212212xxxx 由(*)解得25-1-25121xx，25325321yy，记直线与抛物线的交点坐标为 A)253251()253,251(，B，则 24)53)(53(5353)2532()2511()2532()2511(|2222 MBMA 解法二：解：因为直线 l 过定点M，且 l 的倾斜角为43，所以它的参数方程是 43sin243cos1tytx，（t为参数），即tytx222221，（t为参数）把代入抛物线的方程，得 0222tt，222121t ttt，104)(|2122121t tttttAB|MBMA=2|2|21 tt.直线与抛物线交于两点求线段的长和点到两点的距离之积如何写出直线几何意义可得精品资料欢迎下载二求弦的中点坐标若过点倾斜角为的直弦中点则中点的相应参数因为而均不为所以例直线为参数与双曲线相交