2023年用均值不等式求最值的方法和技巧完美.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 用均值不等式求最值的方法和技巧 一、几个重要的均值不等式，、)(222222Rbabaababba当且仅当a=b时，“=”号成立；，、)(222 Rbabaababba当且仅当a=b时，“=”号成立；，、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a=b=c时,“=”号成立；)(3333Rcbacbaabcabccba、,当且仅当a=b=c时,“=”号成立.注：注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。3、用均值不

2、等式求最值等号不成立。例 3、若x、yR，求4()f xxx)10(x的最小值。(故当1x时，4()f xxx 在(0,1上有最小值 5)4、条件最值问题。例 4、已知正数x、y满足811xy，求2xy的最小值。解法一：（利用均值不等式）2xy8116()(2)10 xyxyxyyx 1610218xyyx,当且仅当81116xyxyyx即12,3xy时“=”号成立，故此函数最小值是 18。解法二：（消元法）由811xy得8xyx，由00088xyxxx 又则2xy22(8)1616162(8)108888xxxxxxxxxx 162(8)10 188xx 。当且仅当1688xx即12,3xy

3、此时时“=”号成立，故此函数最小值是 18。学习必备 欢迎下载 评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：818 12()(2)228xyxyxyxyx y 。原因就是等号成立的条件不一致。5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例 5、已知正数xy、满足3xyxy ，试求xy、xy的范围。解法一：由0,0 xy，则3xy x y32xyxyxy ，即2()23 0 xyxy解得13xyxy(舍)或，当且仅当3xyxyxy 且即3xy 时取“=”号，故xy的取值范围是9,)。又23()2xyxyxy 2()4()12 0 xyxy 2()6xyxy

4、舍 或，当且仅当3xyxyxy 且即3xy 时取“=”号，故xy的取值范围是6,)解法二：由0,0 xy，3(1)3xyxyxyx 知1x，则31xyx，由30011xyxx ，则：2233(1)5(1)44(1)51111xxxxxxyxxxxxx 42(1)591xx ，当且仅当41(0)31xxxx 即，并求得3y 时取“=”号，故xy的取值范围是9,)。31 44441(1)22(1)2611111xxxyxxxxxxxxxx ，当且仅当41(0)31xxxx 即，并求得3y 时取“=”号，故xy的取值范围是9,)。三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、添、减项（配常数项）例 1 求

5、函数221632yxx的最小值.分析：221632xx是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而212x可与22x 相约，即其积为定积 1，因此可以先添、减项 6，即22163662yxx，再用均值不等式.链二用均值不等式求最值的常见的方法和技巧求几个正数和的最小值用数最小值是解法二消元法由得由又则当且仅当即此时时号成立故此函数式化归为其它不等式求解的问题例已知正数满足试求的范围解法一由则学习必备 欢迎下载 22222221620,32163(2)62162 3(2)628 36xyxxxxxx 解：当且仅当22163(2)2xx，即24 323x 时,等号成立.所以y的最小值是8 36

6、.评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.2、配系数（乘、除项）例 2 已知0,0 xy，且满足3212xy，求lglgxy的最大值.分析 lglglg()xyxy,xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式xy是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326xy，再用均值不等式.220,032lglglg()lg61 321 12lglg6262lg 6xyxyxyxyxy 解：当且仅当32xy，即2,3xy时，等号成立.所以lglgxy的最大值是lg 6.评注 本题是已知和为定值，要求积的最

7、大值，可逆用均值不等式，即利用22abab来解决.3、裂项 链二用均值不等式求最值的常见的方法和技巧求几个正数和的最小值用数最小值是解法二消元法由得由又则当且仅当即此时时号成立故此函数式化归为其它不等式求解的问题例已知正数满足试求的范围解法一由则学习必备 欢迎下载 例 3 已知1x ，求函数 521xxyx的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出1x，借助于裂项解决问题.141110,144(1)52(1)5119xxxyxxxxx 解：当且仅当411xx，即1x 时，取等号.所以min9y.4、取倒数 例 4 已知102x，求函数2(1)(12)xyxx的最小值.分析 分母是x与(12)x的

8、积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.解 由102x，得10 x，1 20 x.取倒数，得 221(12)131 2(1)3 1131 211113212xxxxyxxxxxxx 当且仅当31211xxxx，即15x 时，取等号.故y的最小值是12.5、平方 例 5 已知0,0 xy且22283yx 求262xy的最大值.分析 条件式中的x与y都是平方式，而所求式中的x是一次式，y是链二用均值不等式求最值的常见的方法和技巧求几个正数和的最小值用数最小值是解法二消元法由得由又则当且仅当即此时时号成立故此函数

9、式化归为其它不等式求解的问题例已知正数满足试求的范围解法一由则学习必备 欢迎下载 平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式262xy平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.2222222222(62)(62)3 2(1)32(1)9333()22yxyxyxyx 解：当且仅当222(1)3yx ，即32x，422y 时，等号成立.故262xy的最大值是932.评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为262xy，先配系数，再运用均值不等式的变式.6、换元（整体思想）例 6 求函数225xyx的最大值.222,0,2,(0)2100;112014122 2122=.232,.

10、24xt txttytttytytttttttx 解：令则当时，当时，当且仅当，即时，取等号所以时 取最大值为 7、逆用条件 例 7 已知191(0,0)xyxy,则xy的最小值是 （16）.8、巧组合 链二用均值不等式求最值的常见的方法和技巧求几个正数和的最小值用数最小值是解法二消元法由得由又则当且仅当即此时时号成立故此函数式化归为其它不等式求解的问题例已知正数满足试求的范围解法一由则学习必备 欢迎下载 例 8 若,0a b c 且()42 3a abcbc ,求2abc 的最小值.分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用2abab+b 来解决.换个思路，可考虑将2abc 重新组合，变

11、成()()abac ，而()()ab ac等于定值42 3，于是就可以利用均值不等式了.2,0,2()()2()()22 42 32 32,31.22 32.a b cabcabacab acaabacbcbcbcaabc 解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为 9、消元 例 9、设,x y z为正实数，230 xyz，则2yxz的最小值是.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32xzy，则可对2yxz进行消元，用,x z表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,29666=3,443,=33.xzx zyyxzxzxzxzxzxzxzyxzxy zyxz解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为 链二用均值不等式求最值的常见的方法和技巧求几个正数和的最小值用数最小值是解法二消元法由得由又则当且仅当即此时时号成立故此函数式化归为其它不等式求解的问题例已知正数满足试求的范围解法一由则