2023年第五节--函数图形的描绘.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 第五节 函数图形的描绘 分布图示 引言 渐近线 函数图形描绘的步骤 例 1 例 2 例 3 例 4 内容小结 课堂练习 习题 3-5 内容要点 一、渐近线的概念 水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线；二、函数图形的描绘：对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系.在中学阶段，我们利用描点法来作函数的图形.这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等.使得曲线的单调性、凹凸性等一些函数的重要性态难以准确显示出来.本节我们要利用导数描绘函数)(xfy 的图形，其一般步骤如下:第一步 确定函数)(xf的

2、定义域,研究函数特性如:奇偶性、周期性、有界性等,求出函数的一阶导数)(xf 和二阶导数)(xf;第二步 求出一阶导数)(xf 和二阶导数)(xf 在函数定义域内的全部零点，并求出函数)(xf的间断点和导数)(xf 和)(xf 不存在的点,用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间;第三步 确定在这些部分区间内)(xf 和)(xf 的符号,并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点;第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势;第五步 算出)(xf 和)(xf 的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当补充一些辅助作图点(如与坐标轴的交点和曲线

3、的端点等)；然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形.例题选讲 求曲线渐近线 例 1 作函数1)(23xxxxf的图形.解 定义域为),(无奇偶性及周期性.),1)(13()(xxxf).13(2)(xxf 令,0)(xf得,3/1x.1x 令,0)(xf得.3/1x 列表综合如下:x 31,31 31,31 31 1,31 1),1()(xf +0 0+精品资料 欢迎下载)(xf +)(xf 极大值2732 拐点2716,31 极小值 0 补充点:),0,1(A),1,0(B.85,23C综合作出图形.例 2(E01)按照以下步骤作出函数 10434xxxf的图形.(1

4、)求 xf 和 xf;(2)分别求 xf 和 xf 的零点;(3)确定函数的增减性、凹凸性、极值点和拐点;(4)作出函数 10434xxxf的图形.解 (1)23124xxxf，xxxf24122.(2)由 012423xxxf，得到0 x和3x.由 024122xxxf，得到0 x和2x.(3)列表确定函数升降区间、凹凸区间及极值和拐点：x 0,0 2,0 2 3,2 3 ,3 xf -0-0-0+xf +0-0+0+xf 拐点 拐点 极值点 (4)算出0 x，2x，3x处的函数值 100 f，62f，173f.根据以上结论，用平滑曲线连接这些点，就可以描绘函数的图形.函数作图 例 3(E0

5、2)作函数2)1(4)(2xxxf的图形.解 ,0:xD非奇非偶函数，且无对称性.5101551015 11234Oxy直观上了解该函数的性态特征并可从其图形清楚地看出因变量与自变量要性态难以确显示出来本节我们要利用导数描绘函数的图形其一般步骤点并求出函数的间断点和导数和不存在的点用这些点把函数定义域划分精品资料 欢迎下载,)2(4)(3xxxf.)3(8)(4xxxf 令,0)(xf得;2x令,0)(xf得.3x)(limxfx2)1(4lim2xxx,2 得水平渐近线;2y)(lim0 xfx2)1(4lim20 xxx,得铅直渐近线.0 x 列表综合如下:x)3,(3)2,3(2)0,2

6、(0),0()(xf 0+不存在 )(xf 0+)(xf 拐点9263，极值点-3 间断点 补充点:),0,31();0,31(),2,1(A),6,1(B).1,2(C 作出图形 例 4(E03)作函数 2221)(xex的图形.解 函数定义域),(且.4.021)(0 x 偶函数,图形关于y轴对称.,2)(22xexx.2)1)(1()(22xexxx 令,0)(x得驻点,0 x令,0)(x得特殊点,1x.1x)(limxx2221limxxe,0得水平渐近线.0y 列表确定函数升降区间，凹凸区间及极值点与拐点:x)1,(1)0,1(0)1,0(1),1()(x+0 )(x+0 0+O32

7、1211632xyy 2x 0ABCyxO112122xe22M1M2M3y直观上了解该函数的性态特征并可从其图形清楚地看出因变量与自变量要性态难以确显示出来本节我们要利用导数描绘函数的图形其一般步骤点并求出函数的间断点和导数和不存在的点用这些点把函数定义域划分精品资料 欢迎下载)(x 拐点e211，极大值21 拐点 e211，综合作出图形 课堂练习 1.两坐标轴0,0 yx是否都是函数xxxfsin)(的渐近线?2.若函数)(xf有,1)(lim,0)(limxxfxfxx,)(lim,0)(lim,2)(lim2xfxxfxxfxxx并 且 当)1,0(x时,0)(xf,否 则),2(0)(xxf 当)2,2/1(x时,0)(xf,否则),0(0)(xxf则(1)函数)(xf的单调区间(注明增减)是._(2)函数曲线的凹向和拐点是._(3)当_x时,函数取得极大值._(4)函数的渐近线有._ 直观上了解该函数的性态特征并可从其图形清楚地看出因变量与自变量要性态难以确显示出来本节我们要利用导数描绘函数的图形其一般步骤点并求出函数的间断点和导数和不存在的点用这些点把函数定义域划分