2023年等差数列知识点总结归纳及类型题.pdf

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1、名师总结 优秀知识点 等差数列知识点及类型题 一、数列 由na与nS的关系求na 由nS求na时，要分 n=1和 n2 两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)nnnSnaSSn。例1 根据下列条件，确定数列na的通项公式。nnnSaa222,0 分析：将无理问题有理化，而后利用na与nS的关系求解。二、等差数列及其前 n 项和（一）等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)nnaadn常数，第二种是利用等差中项，即112(2)nnnaaan。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前 n 项和直接

2、判断。（1）通项法：若数列na的通项公式为 n 的一次函数，即na=An+B,则na是等差数列；（2）前 n 项和法：若数列na的前 n 项和nS是2nSAnBn的形式（A，B是常数），则na是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例 2已知数列na的前 n 项和为nS，且满足111120(2),2nnnnSSSSna（1）求证：1nS是等差数列；（2）求na的表达式。【变式】已知数列an的各项均为正数，a11.其前 n 项和 Sn满足 2Sn2pa2nanp(pR)，名师总结 优秀知识点 则an的通项公式为_ （二）等差数列的基本运算 1、等差数列

3、的通项公式na=1a+（n-1）d 及前 n 项和公式11()(1)22nnn aan nSnad，共涉及五个量1a，na，d,n,nS,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为11(1)222nSdddnaann ，故数列nSn是等差数列。例 3已知数列nx的首项1x=3，通项2(,)nnxpnq nNp q为常数，且1x，4x，5x成等差数列。求：（1）,p q的值；（2）数列nx的前 n 项和nS的公式。分析：（1）由1x=3 与1x，4x，5x成

4、等差数列列出方程组即可求出,p q；（2）通过nx利用条件分成两个可求和的数列分别求和。（三）等差数列的性质 1、等差数列的单调性：等差数列公差为 d，若 d0,则数列递增；若 d0,d0,且满足100nnaa，前 n 项和nS最大；（2）若 a10，且满足100nnaa，前 n 项和nS最小；（3）除上面方法外，还可将 na的前 n 项和的最值问题看作nS关于 n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN。例 4在等差数列 na中，161718936aaaa，其前 n 项和为nS。（1）求nS的最小值，并求出nS取最小值时 n 的值；（2）求12nnTaaa。分析：（1）

5、可由已知条件，求出 a1,d,利用100nnaa求解，亦可用nS利用二次函数求最值；（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。例 5已知数列 na是等差数列。（1）若,(),;mnm nan am mna求（2）若,(),.mnm nSn Sm mnS求 【变式】已知数列an的各项均为正数，Sn为其前 n 项和，对于任意的 nN*，满足关系式 2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；理化而后利用与的关系求解二等差数列及其前项和一等差数列的判定等数列通项法若数列的前项和的形式是常数则常数前项和法若数列列注若为正数其前项和满足名师总结优秀知识点则的通项公式为二等差数列的名师总结 优秀知识点(2

6、)设数列bn的通项公式是 bn1log3an log3an1，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正整数 n，总有 Tn0，anan112，于是an是等差数列，故 an1(n1)12n12.（二）等差数列的基本运算 1、等差数列的通项公式na=1a+（n-1）d 及前 n 项和公式11()(1)22nnn aan nSnad，共涉及五个量1a，na，d,n,nS,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为11(1)222nSdddnaann ，故数列nS

7、n是等差数列。例 3已知数列nx的首项1x=3，通项2(,)nnxpnq nNp q为常数，且1x，4x，5x成等差数列。求：（1）,p q的值；（2）数列nx的前 n 项和nS的公式。分析：（1）由1x=3 与1x，4x，5x成等差数列列出方程组即可求出,p q；（2）通过nx利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由1x=3 得23pq 又454515424,25,2xpq xpqxxx且，得5532528pqpq 由联立得1,1pq。（2）由（1）得2n nnx，（三）等差数列的性质 1、等差数列的单调性：等差数列公差为 d，若 d0,则数列递增；若 d0,d0,且满足100n

8、naa，前 n 项和nS最大；（2）若 a10，且满足100nnaa，前 n 项和nS最小；（3）除上面方法外，还可将 na的前 n 项和的最值问题看作nS关于 n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN。理化而后利用与的关系求解二等差数列及其前项和一等差数列的判定等数列通项法若数列的前项和的形式是常数则常数前项和法若数列列注若为正数其前项和满足名师总结优秀知识点则的通项公式为二等差数列的名师总结 优秀知识点 例 4在等差数列 na中，161718936aaaa，其前 n 项和为nS。（1）求nS的最小值，并求出nS取最小值时 n 的值；（2）求12nnTaaa。分析：（

9、1）可由已知条件，求出 a1,d,利用100nnaa求解，亦可用nS利用二次函数求最值；（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答：（1）设等差数列 na的首项为1a，公差为d，1791617181717336,12,3,179aaaaaaad 91(9)363,360nnaandnan，令13630,:2021,3600nnannan 得 202120 60(3)6302SS ，当 n=20 或 21 时，nS最小且最小值为-630.（2）由（1）知前 20 项小于零，第 21 项等于 0，以后各项均为正数。2(60363)312321.222nnnnnSnn 当时，T 2212122(

10、60363)312321221260.2223123(21)22.31231260(21)22nnnnnnTSSSnnnnnTnnn 当时，综上，例 5已知数列 na是等差数列。（1）若,(),;mnm nan am mna求（2）若,(),.mnm nSn Sm mnS求 解答：设首项为1a，公差为d，（1）由,mnan am，1nmdmn ()(1)0.m nmaamnm dnn （2）由已知可得11(1)2,(1)2n nmnadm mnmad解得221.2()nmmnmnamnmndmn 1()(1)()()2m nmn mnSmn admn 【变式】已知数列an的各项均为正数，Sn为

11、其前 n 项和，对于任意的 nN*，满足关系式 2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是 bn1log3an log3an1，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正整数 n，总有 Tn1.(1)解 当 n1 时，由 2Sn3an3 得，2a13a13，a13.当 n2 时，由 2Sn3an3 得，2Sn13an13.两式相减得：2(SnSn1)3an3an1，即 2an3an3an1，理化而后利用与的关系求解二等差数列及其前项和一等差数列的判定等数列通项法若数列的前项和的形式是常数则常数前项和法若数列列注若为正数其前项和满足名师总结优秀知识点则的通项公式为二等

12、差数列的名师总结 优秀知识点 an3an1，又a130，an是等比数列，an3n.验证：当 n1 时，a13 也适合 an3n.an的通项公式为 an3n.(2)证明 bn1log3an log3an11log33n log33n1 1(n1)n1n1n1，Tnb1b2bn(112)(1213)(1n1n1)11n11.跟踪训练 1.已知等差数列首项为 2，末项为 62，公差为 4，则这个数列共有 （）A13 项 B14 项 C15 项 D16 项 2.已知等差数列的通项公式为 an=-3n+a，a 为常数，则公差 d=（）3.在等差数列an 中，若 a1+a2=-18，a5+a6=-2，则

13、30 是这个数列的（）A第 22 项 B第 21 项 C第 20 项 D第 19 项 4.已知数列 a，-15，b，c，45 是等差数列，则 a+b+c 的值是（）A-5 B0 C5 D10 5.已知等差数列an 中，a1+a2+a3=-15，a3+a4=-16，则 a1=（）A-1 B-3 C-5 D-7 6.已知等差数列an 满足 a2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是（）7.已知数列an 是等差数列，且 a3+a11=40，则 a6+a7+a8等于（）A84 B 72 C60 D43 8.已知等差数列an 中，a1+a3+a5=3，则 a2+a4=（）A3 B2 C1 D-1 9

14、.已知数列na：3，7，11，15，19，则191在此数列na中应是（）A第 21 项 B第 41 项 C第 48 项 D第 49 项 10.已知数列na中，31a前n和1(1)(1)12nnSna （1）求证：数列na是等差数列 （2）求数列na的通项公式（3）设数列 11nnaa的前n项和为nT，是否存在实数M，使得MTn对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。理化而后利用与的关系求解二等差数列及其前项和一等差数列的判定等数列通项法若数列的前项和的形式是常数则常数前项和法若数列列注若为正数其前项和满足名师总结优秀知识点则的通项公式为二等差数列的名师总结 优秀知识点 理化而后利用与的关系求解二等差数列及其前项和一等差数列的判定等数列通项法若数列的前项和的形式是常数则常数前项和法若数列列注若为正数其前项和满足名师总结优秀知识点则的通项公式为二等差数列的