2023年等差等比数列知识点总结归纳梳理及经典例题.pdf

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1、学习必备 精品知识点 A、等差数列知识点及经典例题 一、数列 由na与nS的关系求na 由nS求na时，要分 n=1 和 n2 两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)nnnSnaSSn。例根据下列条件，确定数列na的通项公式。分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用na与nS的关系求解。解答：（1）（2）累乘可得，故（3）学习必备 精品知识点 二、等差数列及其前 n 项和（一）等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)nnaadn常数，

2、第二种是利用等差中项，即112(2)nnnaaan。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前 n 项和直接判断。（1）通项法：若数列na的通项公式为 n 的一次函数，即na=An+B,则na是等差数列；（2）前 n 项和法：若数列na的前 n 项和nS是2nSAnBn的形式（A，B 是常数），则na是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例已知数列na的前 n 项和为nS，且满足111120(2),2nnnnSSS Sna（1）求证：1nS是等差数列；（2）求na的表达式。分析：（1）1120nnnnSSSS1nS与11nS的关系结论；（2）由1nS的

3、关系式nS的关系式na 解答：（1）等式两边同除以1nnSS得11nS-1nS+2=0，即1nS-11nS=2（n2）.1nS是以11S=11a=2为首项，以 2 为公差的等差数列。比数列法求解可转化后利用累乘法求解将无理问题有理化而后利用与的差中项即解选择题填空题时亦可用通项或前项和直接判断通项法若数列等差数列即可例已知数列的前项和为且满足求证是等差数列求的表达式学习必备 精品知识点（2）由（1）知1nS=11S+（n-1）d=2+(n-1)2=2n,nS=12n,当 n2 时，na=2nS1nS=12(1)n n。又112a，不适合上式，故1(1)21(2)2(1)nnann n。【例】已

4、知数列an的各项均为正数，a11.其前 n 项和 Sn满足 2Sn2pa2nanp(pR)，则an的通项公式为_ a11，2a12pa21a1p，即 22p1p，得 p1.于是 2Sn2a2nan1.当 n2 时，有 2Sn12a2n1an11，两式相减，得 2an2a2n2a2n1anan1，整理，得 2(anan1)(anan112)0.又an0，anan112，于是an是等差数列，故 an1(n1)12n12.（二）等差数列的基本运算 1、等差数列的通项公式na=1a+（n-1）d 及前 n 项和公式11()(1)22nnn aan nSnad，共涉及五个量1a，na，d,n,nS,“知

5、三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为11(1)222nSdddnaann ，故数列nSn是等差数列。例已知数列nx的首项1x=3，通项2(,)nnxpnq nNp q为常数，且1x，4x，5x成等差数列。求：（1）,p q的值；（2）数列nx的前 n 项和nS的公式。比数列法求解可转化后利用累乘法求解将无理问题有理化而后利用与的差中项即解选择题填空题时亦可用通项或前项和直接判断通项法若数列等差数列即可例已知数列的前项和为且满足求证是等差数列求的表达式学习

6、必备 精品知识点 分析：（1）由1x=3 与1x，4x，5x成等差数列列出方程组即可求出,p q；（2）通过nx利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由1x=3 得23pq 又454515424,25,2xpq xpqxxx且，得5532528pqpq 由联立得1,1pq。（2）由（1）得，nxnn 2 （三）等差数列的性质 1、等差数列的单调性：等差数列公差为 d，若 d0,则数列递增；若 d0,d0,且满足100nnaa，前 n 项和nS最大；（2）若 a10，且满足100nnaa，前 n 项和nS最小；（3）除上面方法外，还可将 na的前 n 项和的最值问题看作nS关于 n

7、的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN。例已知数列 na是等差数列。（1）若,(),;mnm nan am mna求（2）若,(),.mnm nSn Sm mnS求 比数列法求解可转化后利用累乘法求解将无理问题有理化而后利用与的差中项即解选择题填空题时亦可用通项或前项和直接判断通项法若数列等差数列即可例已知数列的前项和为且满足求证是等差数列求的表达式学习必备 精品知识点 解答：设首项为1a，公差为d，（1）由,mnan am，1nmdmn ()(1)0.m nmaamnm dnn （2）由已知可得11(1)2,(1)2n nmnadm mnmad解得221.2()nmmn

8、mnamnmndmn 1()(1)()()2m nmn mnSmn admn 【例】已知数列an的各项均为正数，Sn为其前 n 项和，对于任意的 nN*，满足关系式 2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是 bn1log3an log3an1，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正整数 n，总有 Tn1.(1)解 当 n1 时，由 2Sn3an3 得，2a13a13，a13.当 n2 时，由 2Sn3an3 得，2Sn13an13.两式相减得：2(SnSn1)3an3an1，即 2an3an3an1，an3an1，又a130，an是等比数列，an3n.验证：当

9、 n1 时，a13 也适合 an3n.an的通项公式为 an3n.(2)证明 bn1log3an log3an11log33n log33n1 1(n1)n1n1n1，Tnb1b2bn(112)(1213)(1n1n1)11n1Sn，得15265n ，562log114.925n ，最小正整数n 15【其他考点题】1、设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且56SS，678SSS，则下列结论错误的是（C）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 解析：由S5S6得a1+a2+a3+a50，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S

10、7S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由题设a7=0，a80，显然 C选项是错误的。2、limn2123nn （C）(A)2 (B)4 (C)21 (D)0 比数列法求解可转化后利用累乘法求解将无理问题有理化而后利用与的差中项即解选择题填空题时亦可用通项或前项和直接判断通项法若数列等差数列即可例已知数列的前项和为且满足求证是等差数列求的表达式学习必备 精品知识点 3、已知 a、b、c 成等比数列，a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列，且 xy0，那么ycxa的值为（B ）。（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4、已知等差数列na的前n项和为22(,),nSp

11、nnq p qR nN（）求q的值；（）若 a1与 a5的等差中项为 18，bn满足22lognnab，求数列的bn前 n 项和。()解法一：当1n 时，112aSpq ,当2n时,2212(1)2(1)nnnaSSpnnqp nnq 22pnp.na是等差数列,222pqpp ,0q 4 分 解法二：当1n 时,112aSpq ,当2n时,2212(1)2(1)nnnaSSpnnqp nnq 22pmp.当3n 时,11222(1)22naapnpp npp .22232apqppq .又222232appp ,所以3232pqp ,得0q.4 分()解：1532aaa,318a.又362app,6218pp ,4p 86nan 8 分 又22lognnab得432nnb.12b,4(1)1414322162nnnnbb,即nb是等比数列。所以数列nb的前n项和2(1 16)2(161)1 1615nnnT.比数列法求解可转化后利用累乘法求解将无理问题有理化而后利用与的差中项即解选择题填空题时亦可用通项或前项和直接判断通项法若数列等差数列即可例已知数列的前项和为且满足求证是等差数列求的表达式