2023年用均值不等式求最值的方法和技巧学生版.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 用均值不等式求最值的方法和技巧 一、几个重要的均值不等式，、)(222222Rbabaababba当且仅当a=b时，“=”号成立；，、)(222 Rbabaababba当且仅当a=b时，“=”号成立；，、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a=b=c时,“=”号成立；)(3333Rcbacbaabcabccba、,当且仅当a=b=c时,“=”号成立.注：注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。例 1、求函

2、数21(1)2(1)yxxx 的最小值。2、求几个正数积的最大值。例 2、求下列函数的最大值：23(32)(0)2yxxx 2sincos(0)2yxxx 3、用均值不等式求最值等号不成立。例 3、若x、yR，求4()f xxx)10(x的最小值。4、条件最值问题。学习必备 欢迎下载 例 4、已知正数x、y满足811xy，求2xy的最小值。5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、添、减项（配常数项）例 1 求函数221632yxx的最小值.2、配系数（乘、除项）例 2 已知0,0 xy，且满足3212xy，求lglgxy的最大值.3、裂项 例 3

3、已知1x ，求函数 521xxyx的最小值.4、取倒数 例 4 已知102x，求函数2(1)(12)xyxx的最小值.5、平方 例 5 已知0,0 xy且22283yx 求262xy的最大值.6、换元（整体思想）链二用均值不等式求最值的常见的方法和技巧求几个正数和的最小值例求的最小值利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题三用均值不等例已知且求换元整体思想的最大值学习必备欢迎下载例求函数的最大值学习必备 欢迎下载 例 6 求函数225xyx的最大值.7、逆用条件 例 7 已知191(0,0)xyxy,则xy的最小值是（）.8、巧组合 例 8 若,0a b c 且()42 3a abcbc ,求

4、2abc 的最小值.9、消元 例 9、设,x y z为正实数，230 xyz，则2yxz的最小值是.练习：1、试填写两个正整数，满足条件411 ，且使这两个正整数的和最小。2、试分别求：21(1)1xyxxx；1xyx最大值。3、求222log(2)log(3)1yxx 最小值。总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的。链二用均值不等式求最值的常见的方法和技巧求几个正数和的最小值例求的最小值利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题三用均值不等例已知且求换元整体思想的最大值学习必备欢迎下载例求函数的最大值