2023年统计与概率专题复习.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 统计与概率专题复习 知识讲解 1统计初步的有关概念 总体：所要考查对象的全体叫总体；个体：总体中每一个考查对象 样本：从总体中所抽取的一部分个体叫总体的一个样本 样本容量：样本中个体的数目 样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数 总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数 2统计学中的基本思想就是用样本对总体进行估计、推断，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分析规律 3概率初步的有关概念 （1）必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是 100%；（2）不可能事件是指一定不能发生的事件；（3）随机事件是指在一定条件

2、下，可能发生也可能不发生的事件；（4）随机事件的可能性 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同 （5）概率 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率mn会稳定在某个常数 P 附近，那么这个常数 P 就叫做事件 A的概率，记为 P（A）=P （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于 1，反之事件发生的可能性越小，则它的概率越接近 0（图 6-30）（7）古典概率 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件 A包含其中的 m种结果，那么事件 A发生的概率为 P（A）=mn （8）几何图形

3、的概率 概率的大小与面积的大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成图形的面积除以所有可能结果组成图形的面积 例题解析 学习必备 欢迎下载 例 1 北京 2008 奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”现将三张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片（卡片的形状大小一样，质地相同）放入盒子，如图 6-31 所示 （1）小玲从盒子中任取一张，取到印有“欢欢”图案的卡片的概率是多少？（2）小玲从盒子中取出一张卡片，记下名字后放回，再从盒子中取出第二张卡片，记下名字用列表或画树状图列出小玲取到的卡片的所有可能情况，并求出小玲两次都取到印有“欢欢”图案的卡片的概率 例 2

4、四张扑克牌的牌面如图 6-32a 所示，将扑克牌洗匀后，如图 6-32b 背面朝上放置在桌面上 （1）若随机抽取一张扑克牌，则牌面数字恰好为 5 的概率是_；（2）规定游戏规则如下：若同时随机抽取两张扑克牌，抽到两张牌的牌面数字之和是偶数为胜；反之，则为负你认为这个游戏是否公平？请说明理由 强化训练 一、填空题 1如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得 1 分；抛出其他结果，甲得 1 分谁先累积到 10 分，谁就获胜你认为_（填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大 2某班有 49 位学生，其中有 23 位女生 在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写在一

5、张小纸条上，放入一盒中搅匀如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有女生名字纸条的概率是_ 3小明的书包里装有外观完全相同的 8 本作业本，其中语文作业本 3 本，数学作业本 3 本，英语作业本2 本小明从书包中随机抽出一本作业本是数学作业本的概率是_ 4按下面的要求，分别举出一个生活中的例子：（1）随机事件：_；（2）不可能事件：_；（3）必然事件：_ 所有个体的平均数叫样本平均数总体平均数总体中所有个体的平均数叫步的有关概念必然事件是指一定能发生的事件或者说发生的可能性是不随机事件发生的可能性的大小有可能不同概率一般地在大量重复试验中学习必备 欢迎下载 5 一个水库养了某种鱼 1

6、0 万条，从中捕捞了 20 条，称得重量如下（单位：kg）：1.15 1.04 1.11 1.07 1.10 1.32 1.25 1.19 1.15 1.21 1.18 1.14 1.09 1.25 1.21 1.29 1.16 1.24 1.12 1.16，这组样本的平均数是_，估计水库里这种鱼的总重量是_万 kg 6一个口袋中有 3 个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色不断重复上述过程小明共摸了 100 次，其中 20 次摸到黑球根据上述数据，小明可估计

7、口袋中的白球大约有_ 7小玲家的鱼塘里养了 2000 条鲢鱼，现准备打捞出售为了估计鱼塘中鲢鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3 次进行统计，得到的数据如下表：鱼的条数 平均每条鱼的质量 第一次捕捞 20 1.6kg 第二次捕捞 10 2.2kg 第三次捕捞 10 1.8kg 那么，鱼塘中鲢鱼的总质量约是_kg 82004 年 4 月 25 日，我市举行龙岩冠豸山机场首航仪式，利用这一契机，推出“冠豸山绿色之旅”等多项旅游项目“五一”这天，对连城八家旅行社中部分游客的年龄（年龄取整数）进行了抽样统计，经整理后分成六组，并绘制成频率分布直方图已知从左到右依次为 16 小时的频率分别是 0.08，0.20

8、，0.32，0.24，0.12，0.04，第 1 小时的频数为 8，请结合图形回答下列问题：（1）这次抽样的样本容量是_；（2）样本中年龄的中位数落在第_小组内；（3）“五一”这天，若到连城冠豸山的游客约有 5000 人，请你用学过的统计知识去估计 20.5 50.5 年龄段的游客约有_人 二、选择题 9现有 A，B 两枚均匀的小立方体，立方体的每个面上分别标有数学 1，2，3，4，5，6用小莉掷 A立所有个体的平均数叫样本平均数总体平均数总体中所有个体的平均数叫步的有关概念必然事件是指一定能发生的事件或者说发生的可能性是不随机事件发生的可能性的大小有可能不同概率一般地在大量重复试验中学习必备

9、 欢迎下载 方体朝上的数字为 x，小明掷 B立方体朝上的数字为 y 来确定点 P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点 P落在已知抛物线 y=-x2+4x 上的概率为（）A118 B112 C19 D16 10一个均匀的立方体六个面上分别标有数 1，2，3，4，5，6 如图是这个立方体表面的展开图抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的概率是（）A16 B13 C12 D23 (第 10 题)(第 11 题)(第 12 题)11（2005，苏州市）如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上 1，2，3，4，5，6 这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等 四位同学各自发表

10、了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了 3 号扇形，下次就一定不会停在 3 号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在 6 号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在 6 号扇形，指针停在 6 号扇形的可能性就会加大 其中，你认为正确的见解有（）A 1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12如图所示，图中的两个转盘分别被均匀地分成 5 个和 4 个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（）A25 B320 C310 D15 13有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们 12 个月大

11、的婴儿拼排 3 块分别写有“20”，“08”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008 北京”或者“北京 2008”，则他们就给婴儿奖励，假设该婴儿能将字块模着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是（）A16 B14 C13 D12 14 在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果口袋中装有 4 个红球，且摸出红球的概率为13，那么袋中共有球的个数为（）A12 个 B9 个 C7 个 D6 个 15（2008，徐州）如图所示，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则所有个体的平均数叫样本平均数总体平均数总体中所有个体的平均数叫步的有关概念必然事件是指一定能发生的事件或者说发

12、生的可能性是不随机事件发生的可能性的大小有可能不同概率一般地在大量重复试验中学习必备 欢迎下载 小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（）A34 B13 C12 D14 16中央电视台“幸运 52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在 20 个商标中，有 5 个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖 参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A14 B16 C15 D320 三、解答题 17甲、乙两队进行拔河比赛，裁判员让两队队员用“石头、剪子、布”的

13、方式选择场地位置规则是：石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头，手势相同再决胜负请你说明裁判员的这种作法对甲、乙双方是否公平，为什么？（用树状图或列表法解答）18如图所示，口袋中有 5 张完全相同的卡片，分别写有 1cm，2cm，3cm，4cm和 5cm，口袋外有 2 张卡片，分别写有 4cm和 5cm 现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，回答下列问题：（1）求这三条线段能构成三角形的概率；（2）求这三条线段能构成直角三角形的概率；（3）求这三条线段能构成等腰三角形的概率 19 （2008，荆门）小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都

14、很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了 8 张扑克牌，将数字为 2，3，5，9 的四张牌给小敏，将数字为 4，6，7，9 的四张牌留给自己，如图 6-39 所示，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去 （1）请用画树状图或列表的方法求小敏去看比赛的概率 所有个体的平均数叫样本平均数总体平均数总体中所有个体的平均数叫步的有关概念必然事件是指一定能发生的事件或者说发生的可能性是不随机事件发生的可能性的大小有可能不同概率一般地在大量重复试验中学习必备 欢迎下载（2）哥哥设计的游

15、戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则 20 有两个可以自由转动的均匀转盘 A，B，分别被分成 4 等份，3 等份，并在每份内均标有数字，如图 6-40所示，丁洋和王倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别转动转盘 A和 B；两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；如果和为 0，丁洋获胜，否则王倩获胜 （1）用列表法（或树状图）求丁洋获胜的概率；（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由 21一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，求 A与

16、 B不相邻而坐的概率 22（2008，烟台）如图所示，甲转盘被分成 3 个面积相等的扇形，乙转盘被分成 4 个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为 x，乙转盘中指针所指区域内的数字为 y（当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）（1）请你用画树状图或列表格的方法，求出点（x，y）落在第二象限内的概率；（2）直接写出点（x，y）落在函数 y=-1x图像上的概率 所有个体的平均数叫样本平均数总体平均数总体中所有个体的平均数叫步的有关概念必然事件是指一定能发生的事件或者说发生的可能性是不随机事件发生的可能性的大小

17、有可能不同概率一般地在大量重复试验中学习必备 欢迎下载 23有四张背面相同的纸牌 A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，小华将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张 （1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用 A，B，C，D 表示）；（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率 24 如图，甲转盘被分成 3 个面积相等的扇形，乙转盘被分成 2 个面积相等的扇形小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏规定小夏转甲盘一次，小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无郊，重转）（1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为 6

18、 或 7，则我获胜；否则你获胜”按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少？（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并有一种合适的方法（例如：树状图，列表）说明其公平性 答案 1甲 2 2349 3 38 4（1）袋子里装有 2 个白球，2 个红球，摸出一个球是红球 （2）袋子里装有 5 个红球，摸出一个球是白球 （3）袋子里装有 5 个红球，摸出一个球是红球 51.17kg 11.7 612 7 3600 8（1）80.08=100 （2）3（3）5000（0.20+0.32+0.24）=3800（人）所有个体的平均数叫样本平均数总体平均数总体中所有个体的平均数叫

19、步的有关概念必然事件是指一定能发生的事件或者说发生的可能性是不随机事件发生的可能性的大小有可能不同概率一般地在大量重复试验中学习必备 欢迎下载 9 B（点拨：点 P的坐标共有 36 种可能，其中能落在抛物线 y=-x2+4x 上的共有 3 种可能，其概率为336=112，故选 B）10A 11 A 12 C 13 C 14 A 15 C 16 B 17裁判员的这种作法对甲，乙双方是公平的理由：用列表法得出所有可能的结果如下：石头 剪子 布 石头（石头，石头）（石头，剪子）（石头，布）剪子（剪子，石头）（剪子，剪子）（剪子，布）布（布，石头）（布，剪子）（布，布）根据表格得，P（甲获胜）=39=

20、13，P（乙获胜）=39=13，P（甲获胜）=P（乙获胜），裁判员这种作法对甲，乙双方是公平的 18（1）P（构成三角形）=45；（2）P（构成直角三角形）=15；（3）P（构成等腰三角形）=25 19（1）根据题意，我们可画出如图所示的树形图：或者，根据题意，我们也可以列出下表：2 3 5 9 4（4，2）（4，3）（4，5）（4，9）6（6，2）（6，3）（6，5）（6，9）7（7，2）（7，3）（7，5）（7，9）8（8，3）（8，3）（8，5）（8，9）从树形图（表）中可以看出，所有可能出现的结果共有 16 种，这些结果出现的可能性相等而和为偶数的结果共有 6 种，所以小敏去看比赛的概

21、率 P（和为偶数）=616=38 （2）哥哥去看比赛的概率 P（和为奇数）=1-38=58，因为3858，所以哥哥设计的游戏规则不公平 如果规定点数之和小于等于 10 时小敏（或哥哥）去，点数之和大于等于 11 时哥哥（或小敏）去，则两人去看比赛的概率都为12时，那么游戏规则就是公平的 或者，如果将 8 张牌中的 2，3，4，5 四张牌给小敏，而余下的 6，7，8，9 四张牌给哥哥，则和为偶数或所有个体的平均数叫样本平均数总体平均数总体中所有个体的平均数叫步的有关概念必然事件是指一定能发生的事件或者说发生的可能性是不随机事件发生的可能性的大小有可能不同概率一般地在大量重复试验中学习必备 欢迎下

22、载 奇数的概率为12，那么游戏规则也是公平的（只要满足两人手中点数为偶数（或奇数）的牌的张数相等即可）20（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：0-1-2 0（0，0）（0，-1）（0，-2）1（1，0）（1，-1）（1，-2）2（2，0）（2，-1）（2，-2）3（3，0）（3，-1）（3，-2）根据表格，共有 12 种可能的结果，其中和为 0 的有三种：（0，0），（1，-1），（2，-2），丁洋获胜的概率为 P=312=14 （2）这个游戏不公平 丁洋获胜的概率为14，王倩获胜的概率为34 1434，游戏对双方不公平 21由于 A的位置已确定，B，C，D随机而坐的情况共 6 种，6

23、种情况出现的可能性相同，其中 A与 B不相邻而坐的情况共有 2 种，所以所求的概率为 P=26=13 22（1）根据题意，画出树状图如图所示：由上图可知，点（x，y）的坐标共有 12 种等可能的结果：（1，-1），（1，-13），（1，-12），（1，2），（-2，-1），（-2，-13），（-2，12），（-2，2），（3，-1），（3，-13），（3，12），（3，2），其中点（x，y）落在第二象限的共有 2 种（-2，12），（-2，2）所以 P（点（x，y）落在第二象限）=212=16 或根据题意，画表格：1-2 3-1（1，-1）（-2，-1）（3，-1）所有个体的平均数叫样本平均数

24、总体平均数总体中所有个体的平均数叫步的有关概念必然事件是指一定能发生的事件或者说发生的可能性是不随机事件发生的可能性的大小有可能不同概率一般地在大量重复试验中学习必备 欢迎下载-13（1，-13）（-2，-13）（3，-13）12（1，12）（-2，12）（3，12）2（1，2）（-2，2）（3，2）由表格可知共有 12 种结果，其中点（x，y）落在第二象限的有 2 种 所以 P（点（x，y）落在第二象限）=212=16 （2）P（点 x，y）落在 y=-1x图像上）=312=14 23（1）如图所示 （2）两次摸牌所有可能结果数 m=16，两次都是中心对称图形的可能结果数 n=4，P（两次都

25、是中心对称图形）=416=14 24（1）数字之和为 6 或 7 的可能性为23 所以小夏获胜的可能性为23，小秋获胜的可能性为13 （2）公平的游戏规则为：数字之和为偶数，小夏获胜；数字之和为奇数，小秋获胜 理由如下：小夏转得的数 小秋转得的数 两数的和为：数字之和为偶数的可能性为12，数字之和为奇数的可能性为12，对于双方是公平的 （还有其他设计方法，只要公平，合理即得满分）例 1 【分析】小玲第一次摸出“欢欢”的概率是 P（欢欢）欢欢可能出现的次数所有可能的结果数，小玲第二次摸出“欢欢”的概率应注意摸的过程中是将已摸出的“欢欢”卡片又放回去了，这样“欢欢可能出现的次数”及“所有可能的结果

26、数”不变，所求概率应是第一次和第二次所摸“欢欢”的概率之积 【解析】（1）小玲取到印有“欢欢”图案的卡片的概率是13 （2）小玲第一次取出一张卡片的概率为13，由于题中要求记下名字后放回，这时盒子里的卡片仍有三张，所有个体的平均数叫样本平均数总体平均数总体中所有个体的平均数叫步的有关概念必然事件是指一定能发生的事件或者说发生的可能性是不随机事件发生的可能性的大小有可能不同概率一般地在大量重复试验中学习必备 欢迎下载 因此小玲第二次取出相同卡片的概率仍为13，这样小玲两次都取到印有“欢欢”图案的卡片的概率为131319，用列表法表示为：欢欢 迎迎 妮妮 欢欢（欢欢，欢欢）（迎迎，欢欢）（妮妮，欢

27、欢）迎迎（欢欢，迎迎）（迎迎，迎迎）（妮妮，迎迎）妮妮（欢欢，）妮妮（迎迎，妮妮）（妮妮，妮妮）【点评】求随机事件的概率的关键是确定所有可能的结果数和可能出现的结果数当这两个“结果数”直接确定有困难时，可用列举法来解同时取到“欢欢”的卡片的概率等于先后取到“欢欢”卡片概率的乘积，解这类题要注意“取到后放回”与“取到后不再放回”的不同前者每次取到的所有可能的结果数与可能出现的结果数都不发生变化，而后者每次取到的所有可能的结果数与可能出现的结果数都会发生变化 例 2 【分析】本题以游戏是否公平为背影，考查概率知识，出题思路新颖，为近几年中考试题中的一大特点 【解答】（1）12 （2）不公平 随机抽取两张扑克牌，结果如下（2，4），（2，5），（2，5）所以 P（和为偶数）=13 P（和为奇数）=23 所以游戏不公平 【点评】本题以游戏是否公平为载体，考查了学生对概率知识的掌握情况 所有个体的平均数叫样本平均数总体平均数总体中所有个体的平均数叫步的有关概念必然事件是指一定能发生的事件或者说发生的可能性是不随机事件发生的可能性的大小有可能不同概率一般地在大量重复试验中